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2015高考真题——数学理科(湖北卷)Word版含答案

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 湖北

上传时间:2015/6/9

下载次数:1569次

资料类型:历年高考题

文档大小:1.85M

所属点数: 0

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绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数  学(理工类)
本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答卷前,将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。在试题卷、草稿纸无效。
3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。在试题卷、草稿纸无效。
4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑答题卡上对应的答题区域内在试题卷、草稿纸上效。
5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
.的共轭复数为
A.           B.           C.D.2.我国古代数学名著《数书》有米谷粒分题:粮开仓收粮,有人送来米1534石,谷,抽样取米一把254粒内谷28粒,则这批米内谷约为
A.134石B.169石C.338石D.1365石3.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相,则奇数项的二项式系数和为A.           B.        C.    D.4.,,这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是
A.B.C.,      
D.,

5.设,. 若p:成等比数列,则
A....6.符号函数 是增函数,
    A.           B.C.           D.7.上随机取两个数,记为事件“”的概率,为事件“”的概率,为事件“”的概率,则 
A.     		B.    
C.     		D. 
8.将离心率为双曲线的实半轴长和虚半轴长增加长度,得到离心率为双曲线,则A.,          	B.当时,;当时,C.,          	D.当时,;当时,.,,定义集合
    ,则中元素的个数为
    A.B.C.D.10.,表示不超过的最大整数. 若存在实数,使得,,…, 
同时成立,则正整数的最大值是
    A.B.C.D.二、填空题:本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 
(一)必考题(11—14题)
11.,,则          .
12.的零点个数为13.如图,处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上,行驶600m后到达处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,则          m. 








14.如图,圆与轴相切于点,与轴正半轴交于两点且.
(Ⅰ)圆的方程为;
(Ⅱ)过点任作一条直线与圆相交于;  ②;  ③.()选题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请在答题卡指定位置将你所选的题目序号用2B铅笔涂黑.如果全,则按第15题作答结果计分.)
15.(选修4-1:几何证明选讲)
如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割线且,则       16.(选修4-4:坐标系与参数方程)
在直角坐标系xy中以为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知,曲线  ( t为参数) 相交于B两点则       三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分1分)
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入部分数据,如下表:
	0														0	5		0		   (Ⅰ)请将上表数据,并直接写出函数的解析式;(Ⅱ)图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到的图
象. 若图象的一个对称中心为,求的最小值. 
18.(本小题满分12分)
设等差数列的公差为d,前n项和为等比数列的公比为q.已知,,,.
(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)时,记,数列的前n项和. 19.(本小题满分12分)
如图在中,底面,,的中点作交于点 
().试判断四面体鳖臑;()面所成二面角的大小为,
      求的值.20.(本小题满分12分)
两种奶制品.生产1吨产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1000元;生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1200元.要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍,设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为
W	12	15	18		P	0.3	0.5	0.2		该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利(单位:元)是一个随机变量.
()的分布列和均值;
()21.(本小题满分1分)
是滑槽的中点,短杆ON可绕转动,通过处铰链与连接,上的可沿,,.当绕处的笔尖画出为原点,所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设动直线与两定直线和分别交于两点.若直线
总与曲线有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若
存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.










22.(本小题满分14分)
已知的各项均为正数,e为自然对数的底数.(Ⅰ)求函数的单调区间,并比较与e的大小;
(Ⅱ)计算,,,由此的,并给证明;
(Ⅲ),数列,的前项和分别记为,, 证明:. 




















绝密★启用前 
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学(类)试题参考答案一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分
1.A   2.B   3.D   4.C   5.A   6.B   7.B   8.D   9.C   10.B
二、填空题本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分11.9            	12.2            13.
14.(Ⅰ);(Ⅱ)①②③    15.         	16.
三、解答题本大题共6小题,共75分17.(Ⅰ)根据表中已知数据,解得. 数据补全如下表:
	0														0	5	0		0		且函数表达式为.                            
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,得.
的对称中心为,. 
         令,解得, . 
由于函数的图象关于点成中心对称,,
解得,. 可知,当时,取得最小值.          18.(Ⅰ)由题意有, 即
解得 或 故或(Ⅱ)由,知,,,,.         ②
①-②可得
,
故.                                               
19.(解法1)(Ⅰ)因为底面,所以,为长方形,有,而,
所以. 而,所以. 
又因为,点是的中点,所以. 
而,所以. 而,所以.
又,,所以. 
由平面,平面,可知四面体四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为.                              (Ⅱ)如图1,在面内,延长与交于点,则是平面与平面的交线. 由(Ⅰ)知,,所以. 
又因为底面,所以. 而,所以. 
故是面与面所成二面角的平面角设,,, 得, 
则 , 解得. 所以面所成二面角的大小为时,. 

(解法2)(Ⅰ)如图2,以为原点,射线分别为轴的正半轴,建立空间直角坐标系. 设,,则,,点是的中点,所以,,
于是,即. 
又已知,而,所以. 
, , 则, 所以.
由平面,平面,可知四面体即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为.                                              












(Ⅱ)由,所以是平面的一个法向量;
由(Ⅰ)知,,所以是平面的一个法向量. 面与面所成二面角的大小为,则,
解得. 所以 面所成二面角的大小为时,.               

20.(Ⅰ)设每天两种产品的生产数量分别为,相应的获利为,则有
                      (1)
目标函数为  .                                    








当时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为.将变形为,
当时,直线:在轴上的截距最大,最大获利.
当时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为.
将变形为,当时,直线:在轴上的截距最大,最大获利.
当时,(1)表示的平面区域如图3,四个顶点分别为将变形为,当时,直线:在轴上的截距最大,最大获利.
    故最大获利的分布列为
	8160	10200	10800			0.3	0.5	0.2		    因此,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,一天最大获利超过10000元的概率由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为
 	
21.(Ⅰ)设点,,依题意,
,且,







所以,且
即且 
由于当点不动时,点也不动,所以不恒等于0,
于是,故,代入,可得,
即所求的曲线的方程为                              
的斜率不存在时,直线为或,都有. 
(2)当直线的斜率存在时,设直线, 
由  消去,可得.
因为直线总与椭圆有且只有一个公共点,
所以,即.               ①
又由 可得;同理可得.
由原点到直线的距离为和,可得
.          ②
将①代入②得,. 
当时,;
当时,.
因,则,,所以,
当且仅当时取等号.
所以当时,的最小值为8.
综合(1)(2)可知,当直线与椭圆在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.                                                          

22.(Ⅰ)的定义域为,.
当,即时,单调递增;
当,即时,单调递减. 
故的单调递增区间为,单调递减区间为. 
当时,,即.
令,得,即.       ①(Ⅱ);;
            ②
下面用数学归纳法证明②(1)当时,左边右边,②成立. 
(2)假设当时,②成立,即.
时,,由归纳假设可得
.
时,②成立. 
(1)(2),可知②对一切正整数n成立. (Ⅲ)由的定义②,算术-几何平均不等式,的定义及①得






. 即. 





































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第题图
第题图


y

N

M

O

D

x



第19题图



第15题图

B

M

 A

N

C

T

 y

O

x



第14题图

第13题图

第4题图

第19题解答图2



第19题解答图1

第20题解答图1

第20题解答图2

第20题解答图3





第21题解答图








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