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2015高考真题——数学理(湖南卷)Word版含答案

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 湖南

上传时间:2015/6/9

下载次数:1406次

资料类型:历年高考题

文档大小:1.48M

所属点数: 0

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2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)(理科)本试题包括选择题,填空题和解答题三部分,共6页,时间120分钟,满分150分. 一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,贼每小题给出的四个选项中,只有一项是复合题目要求的. 1.已知(为虚数单位),则复数=( ) A. B. C. D. 2.设A,B是两个集合,则””是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.执行如图1所示的程序框图,如果输入,则输出的( ) A. B. C. D. 4.若变量满足约束条件,则的最小值为( ) A.-7 B.-1 C.1 D.2 5.设函数,则是( ) A.奇函数,且在上是增函数 B. 奇函数,且在上是减函数 C. 偶函数,且在上是增函数 D. 偶函数,且在上是减函数 6.已知的展开式中含的项的系数为30,则( ) A. B. C.6 D-6 7.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 8.已知点A,B,C在圆上运动,且.若点P的坐标为(2,0),则的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 9.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像,若对满足的,有,则( ) A. B. C. D. 10.某工件的三视图如图3所示,现将该工件通过切割,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)( ) A. B. C. D. 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11. . 12.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图4所示. 若将运动员按成绩由好到差编为号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 . 13.设F是双曲线C:的一个焦点,若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为 . 14.设为等比数列的前项和,若,且成等差数列,则 . 15.已知,若存在实数,使函数有两个零点,则a的取值范围是 . 三、解答题 16.(Ⅰ)如图,在圆O中,相交于点E的两弦AB、CD的中点分别是M、N,直线MO与直线CD相交于点F,证明:(1);(2) (Ⅱ)已知直线(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为. 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;设点M的直角坐标为,直线与曲线C 的交点为A,B,求的值. (Ⅲ)设,且. (1);(2)与不可能同时成立. 17.设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,且B为钝角》 (1)证明:(2)求的取值范围 18.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望. 19.如图,已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形,,且底面ABCD,点P、Q分别在棱、BC上. (1)若P是的中点,证明:;(2)若PQ//平面,二面角P-QD-A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积. 20.已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点,与的公共弦的长为. (1)求的方程;(2)过点F的直线与相交于A、B两点,与相交于C、D两点,且与同向(ⅰ)若,求直线的斜率(ⅱ)设在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线绕点F旋转时,总是钝角三角形 21.已知,函数. 记为的从小到大的第n个极值点,证明:(1)数列是等比数列(2)若,则对一切,恒成立. 选择题,每小题5分,满分50分. (1)D (2)C (3)B (4)A (5)A (6)D (7)C (8)B (9)D (10)A 填空题,每小题5分,满分25分. (11)0 (12)4 (13) (14) (15)()()三、解答题满分75分 16、证明(I)如图a所示, 因为M,N分别是弦AB,CD的中点,所以OMAB,ONCD, 即OME=, ENO=,OME+ENO =。又四边形的内角和等于,故MEN+NOM=. (II)由(I)知,O,M,E,N四点共圆,故由割线定理即得 17、解(I)由a=btanA及正弦定理,得,所以sinB=cosA,即 sinB=sin(+A). 又B为钝角,因此+A(,A),故B=+A,即B-A=. (II)由(I)知,C=-(A+B)=-(2A+)=-2A>0,所以A,于是 sinA+sinC=sinA+sin(-2A) = sinA+cos2A=-2A+sinA+1 =-2(sinA-)+ 因为0==. 而二面角P-QD-A的余弦值为,因此=,解得m=4,或者m=8(舍去),此时Q(6,4,0)设=(0<1),而=(0,-3,6),由此得点P(0,6-3,6), =(6,3-2,-6). 因为PQ//平面,且平面的一个法向量是=(0,1,0),所以=0,即3-2=0,亦即=,从而P(0,4,4)于是,将四面体ADPQ视为以△ADQ为底面的三棱锥P-ADQ,则其高h=4,故四面体ADPQ的体积 . 解法二 (I)如图c,取的中点R,连结PR,BR,因为,是梯形的两腰,P是的中点,所以PR//AD,于是由AD//BC知,PR//BC, 所以P,R,B,C四点共面. 由题设知,BCAB,BC,所以BC平面,因此 BC. 因为tan====tan,所以tan=tan,因此 ==,于是BR,再由即知平面PRBC,又PQ平面PRBC,故PQ. (II)如图d,过点P作PM//交AD于点M,则 PM//平面. 因为平面ABCD,所以OM平面ABCD,过点M作MNQD于点N,连结PN,则PNQD,为二面角P-QD-A的平面角,所以cos=,即=,从而 . 连结MQ,由PQ//平面,所以MQ//AB,又ABCD是正方形,所以ABQM为矩形,故MQ=AB=6. 设MD=t,则 MN==. 过点作交AD于点E,则为矩形,所以==6,AE==3,因此ED=AD-AE=3,于是,所以PM=2MD=2t,再由得=,解得t=2,因此PM=4.故四面体ADPQ的体积 . 20、解(I)由:知其焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆的一焦点,所以 又与的公共弦的长为2,与都关于y轴对称,且的方程为,由此易知与的公共点的坐标为(),所以 联立,得=9,=8,故的方程为 (II)如图,设A()B()C()D(). (i)因与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而=,即 =,于是 -4= -4 设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1. 由得+16kx-64=0.而,是这个方程的两根.所以 =4k,=-4 由得(9+8)+16kx-64=0.而,是这个方程的两根.所以 =-,=-. 将带入 ,得16(+1)=+,即 16(+1)=,所以=,解得k=,即直线l的斜率为. (ii)由得=,所以在点A处的切线方程为y-=(x-),即 y=-. 令y=0得x=,即M(,0),所以=(,-1).而=().于是 =-=+1>0,因此是锐角,从而是钝角. 故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形. 21、证明:(I) 其中tan=,0<<. 令=0,由x得x+=mx, 即x=-,m. 对kN,若2k0;若(2k+1)0)设g(t)=(t)0),则.令=0得t=1 当01时,,所以g(t)在区间(0,1)上单调递增. 从而当t=1时,函数g(t)取得最小值g(1)=e 因此,要是()式恒成立,只需,即只需. 而当a=时,tan==且.于是,且当n时,.因此对一切 ,,所以g().故()式亦恒成立. 综上所述,若a,则对一切,恒成立. 高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识!

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