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2015高考真题——数学理(北京卷)Word版含解析

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 北京

上传时间:2015/6/11

下载次数:1875次

资料类型:历年高考题

文档大小:1.54M

所属点数: 0

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本试卷共5页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共40分) 8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.1.复数 A. B. C. D. 【解析】试题分析:考点:复数运算 2.若,满足则的最大值为 A.0 B.1 C. D.2 【解析】试题分析:如图,先画出可行域,由于,则,令,作直线,在可行域中作平行线,得最优解,此时直线的截距最大,取得最小值2 考点:线性规划; 3.执行如图所示的程序框图,输出的结果为 A. B. C. D. 考点:程序框图 4.设,是两个不同的平面,是直线且.“”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】试题分析:因为,是两个不同的平面,是直线且.若“”,则平面可能相交也可能平行,不能推出,反过来若,,则有,则“”是“”的必要而不充分条件考点:1.空间直线与平面的位置关系;2.充要条件. 5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是 A. B. C. D.5 【解析】 试题分析:根据三视图恢复成三棱锥,其中平面ABC,,底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2, ,,,. 考点:1.三视图;2.三棱锥的表面积. 6.设是等差数列. 下列结论中正确的是 A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 考点:1.等差数列通项公式;2.作差比较法 7.如图,函数的图象为折线,则不等式的解集是 A. B. C. D. 【解析】 考点:1.函数图象;2.解不等式. 8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是 A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省【答案】【解析】试题分析:“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程消耗1升汽油,以相同速度行驶相同路,甲燃油效率最高,所以甲最省油,B错误,C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,甲车每消耗1升汽油行驶的里程10消耗8升汽油,C错误,D中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省考点:1.函数应用问题;2.对“燃油效率”新定义的理解;3.对图象的理解. 第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(共6个小题,每题5分,共30分) 9.在的展开式中,的系数为 .(用数字作答) 【解析】试题分析:利用通项公式,,令,得出的系数为 10.已知双曲线的一条渐近线为,则 . 考点:双曲线的几何性质 11.在极坐标系中,点到直线的距离为 . 【解析】试题分析:先把点极坐标化为直角坐标,再把直线的极坐标方程化为直角坐标方程,利用点到直线距离公式考点:1.极坐标与直角坐标的互化;2.点到直线距离. 12.在中,,,,则 . 【解析】试题分析:考点:正弦定理、余弦定理 13.在中,点,满足,.若,则 ; . 【解析】 试题分析:特殊化,不妨设,轴,为轴,建立直角坐标系,,,则,考点:平面向量 14.设函数 ①若,则的最小值为 ; ②若恰有2个零点,则实数的取值范围是 . 或考点:1.函数的图象;2.函数的零点;3.分类讨论思想. 三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 15.(本小题13分)已知函数. (Ⅰ) 求的最小正周期; (Ⅱ) 求在区间上的最小值.,(2) 试题分析:先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形,把函数化为形式,再利用周期公式求出周期,第二步由于则可求出,借助正弦函数图象,即时,取得最小值为:试题解析:(Ⅰ) (1)的最小正周期为;,当时,取得最小值为: 16.(本小题13分),两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:组:10,11,12,13,14,15,16 组:12,13,15,16,17,14,假设所有病人的康复时间互相独立,从,两组随机各选1人,组选出的人记为甲,组选出的人记为乙. (Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率; (Ⅱ) 如果,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率; (Ⅲ) 当为何值时,,两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明),(2),(3)或(本小题14分)如图,在四棱锥中,为等边三角形,平面平面,,,,,为的中点. (Ⅰ) 求证:; (Ⅱ) 求二面角的余弦值; (Ⅲ) 若平面,求的值. 【答案】(1)证明见解析,(2),(3) 试题分析:证明线线垂直可寻求线面垂直,利用题目提供的面面垂直平面平面,平面,进而得出线线垂直,第二步建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,平面AEF的法向量易得,只需求平面AEB的法向量,设平面AEB的法向量,利用线线垂直,数量积为零,列方程求出法向量,再根据二面角公式求出法向量的余弦值;第三步由于,要想平面,只需,利用向量的坐标,借助数量积为零,求出的值,根据实际问题予以取舍试题解析:(Ⅰ)由于平面平面,为等边三角形,为的中点,则,根据面面垂直性质定理,所以平面,又平面,则(Ⅱ)取CB的中点D,连接OD,以O为原点,分别以为轴建立空间直角坐标系,,,,由于与轴垂直,则的法向量为,设平面的法向量,,,则,二面角的余弦值,由二面角为钝二面角,所以二面角的余弦值. (Ⅲ)平面,则,若平面,只需,,又,,解得或,由于,则考点:1.线线垂直的证明;2.利用法向量求二面角;3.利用数量积解决垂直问题. 18.(本小题13分) 已知函数. (Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求证:当时,;(Ⅲ)设实数使得对恒成立,求的最大值.(Ⅰ),(Ⅱ)证明见解析,(Ⅲ)的最大值为2 试题解析:(Ⅰ),曲线在点处的切线方程为;(Ⅱ)当时,,即不等式,对成立,设,则,当时,,故在(0,1)上为增函数,则,因此对,成立; (Ⅲ)使成立,,等价于,;,时,,函数在(0,1)上位增函数,,符合题意;时,令, 0 + 极小值 ,显然不成立,的最大值为2 考点:1.导数的几何意义;2.利用导数研究函数的单调性,证明不等式;3.含参问题讨论. 19.(本小题14分)已知椭圆:的离心率为,点和点都在椭圆上,直线交轴于点.(Ⅰ)求椭圆的方程,并求点的坐标(用,表示);(Ⅱ)设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点.问:轴上是否存在点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由. 【解析】试题分析:椭圆:的离心率为,点在椭圆上,利用条件列方程组,解出待定系数,写出椭圆方程;由点和点,写出PA直线方程,令求出由点,写出直线的方程,令求出,求出和,利用二者相等,求出,则存在点使得试题解析:(Ⅰ)椭圆:过点且离心率为, ,,椭圆的方程为 ,直线的方程为:,令,; 20.(本小题13分)已知数列满足:,,且.记集合.(Ⅰ)若,写出集合的所有元素;(Ⅱ)若集合存在一个元素是3的倍数,证明:的所有元素都是3的倍数;(Ⅲ)求集合的元素个数的最大值.,(2)证明见解析,(3)8 ①试题分析:(Ⅰ),可知则;(Ⅱ)因为集合存在一个元素是3的倍数,所以不妨设是3的倍数,用数学归纳法证明对任意,是3的倍数当时,则M中的所有元素都是3的倍数,如果时,因为或是3的倍数,于是是3的倍数,类似可得,都是3的倍数,从而对任意,是3的倍数的所有元素都是3的倍数集合存在一个元素是3的倍数,所以不妨设是3的倍数,由已知,用数学归纳法证明对任意,是3的倍数;第三步中的元素都不超过36,中的元素个数最多除了前面两个数外,都是4的倍数,因为第二个数必定为偶数,由的定义可知,第三个数及后面的数必定是4的倍数,和除以9的余数一样,分中有3的倍数和集合的元素个数的最大值为8 试题解析:(Ⅰ)由已知可知:(Ⅱ)因为集合存在一个元素是3的倍数,所以不妨设是3的倍数,由已知,可用用数学归纳法证明对任意,是3的倍数当时,则M中的所有元素都是3的倍数,如果时,因为或是3的倍数,于是是3的倍数,类似可得,都是3的倍数,从而对任意,是3的倍数的所有元素都是3的倍数(Ⅲ)中的元素都不超过36,由,易得,类似可得,其次中的元素个数最多除了前面两个数外,都是4的倍数,因为第二个数必定为偶数,由的定义可知,第三个数及后面的数必定是4的倍数,另外,和除以9的余数一样, 高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识!

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