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2015高考真题——数学理(福建卷)Word版含解析

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 福建

上传时间:2015/6/11

下载次数:1160次

资料类型:历年高考题

文档大小:1.03M

所属点数: 0

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第I卷(选择题共50分)一、选择题:本题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 ( 是虚数单位), ,则 等于 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析:由已知得,故,故选C.考点:1、复数的概念;2、集合的运算. 2.下列函数为奇函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 考点:函数的奇偶性. 3.若双曲线 的左、右焦点分别为,点在双曲线上,且,则 等于( ) A.11    B.9 C.5    D.3 【答案】B 【解析】试题分析:由双曲线定义得,即,解得,故选B.考点:双曲线的标准方程和定义. 4.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入 (万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 (万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程 ,其中 ,据此估计,该社区一户收入为15万元家庭年支出为( ) A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元【答案】B 考点:线性回归方程. 5.若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ( ) A. B. C. D.2 【答案】A 【解析】试题分析:画出可行域,如图所示,目标函数变形为,当最小时,直线的纵截距最大,故将直线经过可行域,尽可能向上移到过点时,取到最小值,最小值为,故选A.考点:线性规划. 6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为( ) A.2 B.1 C.0 D. 【答案】C 【解析】试题分析:程序在执行过程中的值依次为:;;;;;,程序结束,输出,故选C.考点:程序框图. 7.若 是两条不同的直线, 垂直于平面 ,则“ ”是“ 的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B 考点:空间直线和平面、直线和直线的位置关系. 8.若 是函数 的两个不同的零点,且 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 的值等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】D 【解析】试题分析:由韦达定理得,,则,当适当排序后成等比数列时,必为等比中项,故,.当适当排序后成等差数列时,必不是等差中项,当是等差中项时,,解得,;当是等差中项时,,解得,,综上所述,,所以,选D.考点:等差中项和等比中项. 9.已知 ,若 点是 所在平面内一点,且 ,则 的最大值等于( ) A.13 B.15 C.19 D.21 【答案】A 考点:1、平面向量数量积;2、基本不等式. 10.若定义在上的函数 满足 ,其导函数 满足 ,则下列结论中一定错误的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 考点:函数与导数.第II卷(非选择题共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. 的展开式中,的系数等于 .(用数字作答)【答案】【解析】试题分析: 的展开式中项为,所以的系数等于.考点:二项式定理. 12.若锐角的面积为 ,且 ,则 等于________.【答案】【解析】试题分析:由已知得的面积为,所以,,所以.由余弦定理得,.考点:1、三角形面积公式;2、余弦定理. 13.如图,点 的坐标为 ,点 的坐标为 ,函数 ,若在矩形 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 . 【答案】【解析】试题分析:由已知得阴影部分面积为.所以此点取自阴影部分的概率等于.考点:几何概型. 14.若函数 ( 且 )的值域是 ,则实数 的取值范围是 .【答案】考点:分段函数求值域. 15.一个二元码是由0和1组成的数字串 ,其中 称为第 位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0)已知某种二元码 的码元满足如下校验方程组: 其中运算 定义为: .现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定 等于 .【答案】.考点:推理证明和新定义.三、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)分布列见解析,期望为.【解析】试题分析:(Ⅰ)首先记事件“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为.则银行卡被锁死相当于三次尝试密码都错,基本事件总数为,事件包含的基本事件数为,代入古典概型的概率计算公式求解;(Ⅱ)列出随机变量的所有可能取值,分别求取相应值的概率,写出分布列求期望即可.试题解析:(Ⅰ)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则(Ⅱ)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3 又所以X的分布列为 所以.考点:1、古典概型;2、离散型随机变量的分布列和期望. 17.如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB平面BEC,BEEC,AB=BE=EC=2,G,F分别是线段BE,DC的中点. (Ⅰ)求证:平面 ; (Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值. 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ) .试题解析:解法一:(Ⅰ)如图,取的中点,连接,,又G是BE的中点,,又F是CD中点,,由四边形ABCD是矩形得,,所以.从而四边形是平行四边形,所以,,又,所以. 所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.解法二:(Ⅰ)如图,取中点,连接,,又是的中点,可知,又面,面,所以平面.在矩形ABCD中,由M,F分别是AB,CD的中点得.又,面,所以.又因为面,面,所以平面,因为,所以. (Ⅱ)同解法一.考点:1、直线和平面平行的判断;2、面面平行的判断和性质;3、二面角. 18..已知椭圆E:过点,且离心率为. (Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)设直线交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) G在以AB为直径的圆外.在圆上.试题解析:解法一:(Ⅰ)由已知得解得所以椭圆E的方程为. 故所以,故G在以AB为直径的圆外.解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设点,则由所以从而 所以不共线,所以为锐角. 故点G在以AB为直径的圆外.考点:1、椭圆的标准方程;2、直线和椭圆的位置关系;3、点和圆的位置关系. 19.已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到:先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移个单位长度. (Ⅰ)求函数的解析式,并求其图像的对称轴方程; (Ⅱ)已知关于的方程在内有两个不同的解. (1)求实数m的取值范围; (2)证明:【答案】(Ⅰ) ,;(Ⅱ)(1);(2)详见解析.【解析】试题分析:(Ⅰ)纵向伸缩或平移: 或;横向伸缩或平移:(纵坐标不变,横坐标变为原来的倍),(时,向左平移个单位;时,向右平移个单位);(Ⅱ) (1)由(Ⅰ)得,则,利用辅助角公式变形为(其中),方程在内有两个不同的解,等价于直线和函数有两个不同交点,数形结合求实数m的取值范围;(2)结合图像可得和,进而利用诱导公式结合已知条件求解.试题解析:解法一:(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到的图像,再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像,故,从而函数图像的对称轴方程为 (2)1) (其中)依题意,在区间内有两个不同的解当且仅当,故m的取值范围是. 2)因为是方程在区间内有两个不同的解,所以,. 当时,当时, 所以解法二:(1)同解法一. (2)1) 同解法一. 2) 因为是方程在区间内有两个不同的解,所以,. 当时,当时, 所以于是 考点:1、三角函数图像变换和性质;2、辅助角公式和诱导公式. 20已知函数, (Ⅰ)证明:当; (Ⅱ)证明:当时,存在,使得对 (Ⅲ)确定k的所以可能取值,使得存在,对任意的恒有.【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ) .【解析】试题分析:(Ⅰ)构造函数只需求值域的右端点并和0比较即可;(Ⅱ)构造函数即,求导得,利用导数研究函数的形状和最值,证明当时,存在,使得即可;(Ⅲ)由(Ⅰ)知,当时,对于故,则不等式变形为,构造函数,只需说明,易发现函数在递增,而,故不存在;当时,由(Ⅱ)知,存在,使得对任意的任意的恒有,此时不等式变形为,构造,易发现函数在递增,而,不满足题意;当时,代入证明即可.试题解析:解法一:(1)令则有当 ,所以在上单调递减;故当时,即当时,. (2)令则有当 ,所以在上单调递增, 故对任意正实数均满足题意. 当时,令得.取对任意恒有,所以在上单调递增, ,即 . 综上,当时,总存在,使得对任意的恒有. (3)当时,由(1)知,对于故,,令,则有故当时,,在上单调递增,故,即,所以满足题意的t不存在. 当时,由(2)知存在,使得对任意的任意的恒有.此时, 令,则有故当时,,在上单调递增,故,即,记与中较小的为,则当,故满足题意的t不存在. 当,由(1)知,,令,则有当时,,所以在上单调递减,故, 故当时,恒有,此时,任意实数t满足题意. 综上,. 解法二:(1)(2)同解法一. (3)当时,由(1)知,对于,故,令,从而得到当时,恒有,所以满足题意的t不存在. 当时,取由(2)知存在,使得. 此时, 令,此时 , 记与中较小的为,则当,故满足题意的t不存在. 当,由(1)知,,令,则有当时,,所以在上单调递减,故, 故当时,恒有,此时,任意实数t满足题意. 综上,. 考点:导数的综合应用. 21.本题设有三个选考题,请考生任选2题作答. 选修4-2:矩阵与变换已知矩阵 (Ⅰ)求A的逆矩阵; (Ⅱ)求矩阵C,使得AC=B. 【答案】(Ⅰ); (Ⅱ).【解析】试题分析:因为,得伴随矩阵,且,由可求得;(Ⅱ) 因为,故,进而利用矩阵乘法求解.试题解析:(1)因为所以 (2)由AC=B得, 故考点:矩阵和逆矩阵.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,圆C的参数方程为.在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位,且以原点O为极点,以轴非负半轴为极轴)中,直线l的方程为 (Ⅰ)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.【答案】(Ⅰ) ,;(Ⅱ) .【解析】试题分析:(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得 ,利用,将直线的极坐标方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)利用点到直线距离公式求解.试题解析:(Ⅰ)消去参数t,得到圆的普通方程为, 由,得, 所以直线l的直角坐标方程为. (Ⅱ)依题意,圆心C到直线l的距离等于2,即解得考点:1、参数方程和普通方程的互化;2、极坐标方程和直角坐标方程的互化;3、点到直线距离公式.选修4-5:不等式选讲已知,函数的最小值为4. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的最小值.【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ).【解析】试题分析:(Ⅰ)由绝对值三角不等式得 的最小值为,故,即 ;(Ⅱ)利用柯西不等式求解.试题解析:(Ⅰ)因为当且仅当时,等号成立又,所以,所以的最小值为, 所以. (Ⅱ)由(1)知,由柯西不等式得 , 即. 当且仅当,即时,等号成立所以的最小值为. 考点:1、绝对值三角不等式;2、柯西不等式. 高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识!

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