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2015高考真题——数学(江苏卷)Word版含解析

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 江苏

上传时间:2015/6/12

下载次数:1578次

资料类型:历年高考题

文档大小:2.34M

所属点数: 0

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一、填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分.
1.已知集合,,则集合中元素的个数为_______.
【答案】5
【解析】
试题分析:
考点:集合运算
2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________.
【答案】6

考点:平均数
3.设复数z满足(i是虚数单位),则z的模为_______.
【答案】
【解析】
试题分析:
考点:复数的模
4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为________.

【答案】7
【解析】
试题分析:第一次循环:;第二次循环:;第三次循环:;结束循环,输出
考点:循环结构流程图
5.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.
【答案】
考点:古典概型概率
6.已知向量a=,b=, 若ma+nb=(), 的值为______.
【答案】
【解析】
试题分析:由题意得:
考点:向量相等
7.不等式的解集为________.
【答案】
【解析】
试题分析:由题意得:,解集为
考点:解指数不等式与一元二次不等式
8.已知,,则的值为_______.
【答案】3
【解析】
试题分析:
考点:两角差正切公式
9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为          
【答案】
【解析】
试题分析:由体积相等得:
考点:圆柱及圆锥体积
10.在平面直角坐标系中,以点为圆心且与直线相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为          
【答案】

考点:直线与圆位置关系
11.数列满足,且(),则数列的前10项和为          
【答案】
【解析】
试题分析:由题意得:
所以
考点:数列通项,裂项求和
12.在平面直角坐标系中,为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立,则是实数c的最大值为          
【答案】
【解析】
试题分析:设,因为直线平行于渐近线,所以c的最大值为直线与渐近线之间距离,为
考点:双曲线渐近线,恒成立转化
13.已知函数,,则方程实根的个数为         
【答案】4
考点:函数与方程
14.设向量,则的值为          
【答案】
【解析】
试题分析:

因此
考点:向量数量积,三角函数性质
二、解答题 (本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 
15.(本小题满分14分)
中,已知.
(1)求的长;
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】
考点:余弦定理,二倍角公式
16.(本题满分14分)
中,已知,,设的中点为,
.求证:(1);
         (2).

【答案】(1)详见解析(2)详见解析
【解析】
试题分析:(1)由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点,从而由三角形中位线性质得,再由线面平行判定定理得(2)因为直三棱柱中,所以侧面为正方形,因此,又,(可由直三棱柱推导),因此由线面垂直判定定理得,从而,再由线面垂直判定定理得,进而可得

考点:线面平行判定定理,线面垂直判定定理
17.(本小题满分14分)
   某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到的距离分别为5千米和40千米,点N到的距离分别为20千米和2.5千米,以所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数(其中a,b为常数)模型.
   

(1)求a,b的值;
   (2)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.
       ①请写出公路l长度的函数解析式,并写出其定义域;
       ②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.
【答案】(1)(2)①定义域为,②千米
(2)①由(1)知,(),则点的坐标为,
设在点处的切线交,轴分别于,点,,

考点:利用导数求函数最值,导数几何意义
18.(本小题满分16分)
xOy中,已知椭圆的离心率为,且右焦点F到左
准线l的距离为3.
  (1)求椭圆的标准方程;
  (2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.

【答案】(1)(2)或.
(2)当轴时,,又,不合题意.
当与轴不垂直时,设直线的方程为,,,
将的方程代入椭圆方程,得,
则,的坐标为,且
.
若,则线段的垂直平分线为轴,与左准线平行,不合题意.
从而,故直线的方程为,
则点的坐标为,从而.
因为,所以,解得.
此时直线方程为或.
考点:椭圆方程,直线与椭圆位置关系
19.(本小题满分16分)
.
   (1)试讨论的单调性;
   (2)若(实数c是a与无关的常数),当函数有三个不同的零点时,a
        的取值范围恰好是,求c的值.
【答案】(1)当时, 在上单调递增;
当时, 在,上单调递增,在上单调递减;
当时, 在,上单调递增,在上单调递减.
(2)
考点:利用导数求函数单调性、极值、函数零点
20.(本小题满分16分)
    设是各项为正数且公差为d的等差数列
   (1)证明:依次成等比数列;
   (2)是否存在,使得依次成等比数列,并说明理由;
   (3)是否存在及正整数,使得依次成等比数列,并说明理由.

【答案】(1)详见解析(2)不存在(3)不存在
7(2)令,则,,,分别为,,,(,,).
假设存在,,使得,,,依次构成等比数列,
则,且.
令,则,且(,),
化简得(),且.将代入()式,
,则.
显然不是上面方程得解,矛盾,所以假设不成立,
因此不存在,,使得,,,依次构成等比数列.
(3)假设存在,及正整数,,使得,,,依次构成等比数列,
则,且.
分别在两个等式的两边同除以及,并令(,),
则,且.
将上述两个等式两边取对数,得,
且.
化简得,
且.
再将这两式相除,化简得().
令,
则.
令,
则.
令,则.
令,则.
由,,
知,,,在和上均单调.
故只有唯一零点,即方程()只有唯一解,故假设不成立.
所以不存在,及正整数,,使得,,,依次构成等比数列.
考点:等差、等比数列的定义及性质,函数与方程


附加题
21.A(选修4—1:几何证明选讲)
中,,的外接圆圆O的弦交于点D
求证:∽

【答案】详见解析

考点:三角形相似
21.B(选修4—2:矩阵与变换)
,向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量,矩阵以及它的另一个特征值.
【答案】,另一个特征值为.
【解析】
试题分析:由矩阵特征值与特征向量可列出关于x,y的方程组,再根据特征多项式求出矩阵另一个特征值
试题解析:由已知,得,即,
则,即,所以矩阵.
从而矩阵的特征多项式,所以矩阵的另一个特征值为.
考点:矩阵运算,特征值与特征向量
21.C(选修4—4:坐标系与参数方程)

【答案】
考点:圆的极坐标方程,极坐标与之间坐标互化
21.D(选修4—5:不等式选讲)

【答案】
【解析】
试题分析:根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集,分别求解即可
试题解析:原不等式可化为或.
解得或.
综上,原不等式的解集是.
考点:含绝对值不等式的解法
22.(本小题满分10分)
中,已知平面,且四边形为直角梯   
形,,
  (1)求平面与平面所成二面角的余弦值;
  (2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成角最小时,求线段BQ的长

【答案】(1)(2)

考点:空间向量、二面角、异面直线所成角
23.(本小题满分10分
   已知集合,,
,令表示集合所含元素的个数.
(1)写出的值;
(2)当时,写出的表达式,并用数学归纳法证明.
【答案】(1)13(2)
下面用数学归纳法证明:
①当时,,结论成立;
②假设()时结论成立,那么时,在的基础上新增加的元素在,
考点:计数原理、数学归纳法

















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Q

D

C

B

A

P

(第21——A题)

O

D


E

C

B

A

(第4题图)

S←1
I←1
While  I10
      S←S+2
      I←I+3
End  While
Print  S






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