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2015高考真题——数学文(福建卷)Word版含解析

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 福建

上传时间:2015/6/12

下载次数:873次

资料类型:历年高考题

文档大小:927KB

所属点数: 0

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第I卷(选择题共60分)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若(是虚数单位),则的值分别等于(   )
A.  B.   C.  D.
【答案】A
【解析】
试题分析:由已知得,所以,选A.
考点:复数的概念.
2.若集合,,则等于(     )
A.      B.       C.     D
【答案】D

考点:集合的运算.
3.下列函数为奇函数的是(     )
A.   B. C. D. 
【答案】D
【解析】
试题分析:函数和是非奇非偶函数; 是偶函数;是奇函数,故选D.
考点:函数的奇偶性.
4.阅读如图所示的程序框图,阅读相应的程序.若输入的值为1,则输出的值为(    )
A.2   B.7   C.8    D.128

【答案】C
【解析】
试题分析:由题意得,该程序表示分段函数,则,故选C.
考点:程序框图.
5.若直线过点,则的最小值等于(    )
A.2    B.3   C.4   D.5
【答案】C

考点:基本不等式.
6.若,且为第四象限角,则的值等于(     )
A.   B.    C.  D. 
【答案】D
【解析】
试题分析:由,且为第四象限角,则,则
,故选D.
考点:同角三角函数基本关系式.
7.设,,.若,则实数的值等于(     )
A.     B.     C.   D.
【答案】A

考点:平面向量数量积.
8.如图,矩形中,点在轴上,点的坐标为.且点与点在函数
的图像上.若在矩形内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率等于(   )
A.   B.   C.   D.

【答案】B

考点:古典概型.
9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于(    )
A.  B.    C.    D.

【答案】B
【解析】
试题分析:由三视图还原几何体,该几何体是底面为直角梯形,高为的直四棱柱,且底面直角梯形的两底分别为,直角腰长为,斜腰为.底面积为,侧面积为则其表面积为
,所以该几何体的表面积为,故选B.
考点:三视图和表面积.
10.变量满足约束条件,若的最大值为2,则实数等于(   )
A.   B.   C.   D.
【答案】C
【解析】

试题分析:将目标函数变形为,当取最大值,则直线纵截距最小,故当时,不满足题意;当时,画出可行域,如图所示, 其中.显然不是最优解,故只能是最优解,代入目标函数得,解得,故选C.
考点:线性规划.
11.已知椭圆的右焦点为.短轴的一个端点为,直线交椭圆于两点.若,点到直线的距离不小于,则椭圆的离心率的取值范围是(  )
A.      B.  C.   D.
【答案】A
考点:1、椭圆的定义和简单几何性质;2、点到直线距离公式.
12.“对任意,”是“”的(    )
A.充分而不必要条件   B.必要而不充分条件   C. 充分必要条件  D.既不充分也不必要条件
【答案】B

考点:导数的应用.
第II卷(非选择题共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.某校高一年级有900名学生,其中女生400名,按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为_______.
【答案】
【解析】
试题分析:由题意得抽样比例为,故应抽取的男生人数为.
考点:分层抽样.
14.若中,,,,则_______.
【答案】
【解析】
试题分析:由题意得.由正弦定理得,则,
所以.
考点:正弦定理.
15.若函数满足,且在单调递增,则实数的最小值等于_______.
【答案】
【解析】
试题分析:由得函数关于对称,故,则,由复合函数单调性得在递增,故,所以实数的最小值等于.
考点:函数的图象与性质.
16.若 是函数 的两个不同的零点,且 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 的值等于________.
【答案】9
考点:等差中项和等比中项.
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
等差数列中,,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)利用基本量法可求得,进而求的通项公式;(Ⅱ)求数列前n项和,首先考虑其通项公式,根据通项公式的不同特点,选择相应的求和方法,本题,故可采取分组求和法求其前10项和.
试题解析:(I)设等差数列的公差为.
由已知得,
解得.
所以.

考点:1、等差数列通项公式;2、分组求和法.
18.(本题满分12分)
全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.


组号	   分组	频数		     1	   	    2		     2	   	    8		     3	   	    7		     4	  	    3		(Ⅰ)现从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在的概率;
(Ⅱ)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
解法一:(I)融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为,,;融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为,.从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取家的所有基本事件是:,,,,,,,,,,共个.
其中,至少有家融合指数在内的基本事件是:,,,,,,,,,共个.
所以所求的概率.
(II)这家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于.
解法二:(I)融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为,,;融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为,.从融合指数在和内的“省级卫视新闻台”中随机抽取家的所有基本事件是:,,,,,,,,,,共个.
其中,没有家融合指数在内的基本事件是:,共个.
所以所求的概率.
(II)同解法一.
考点:1、古典概型;2、平均值.
19.(本小题满分12分)
已知点为抛物线的焦点,点在抛物线上,且.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)已知点,延长交抛物线于点,证明:以点为圆心且与直线相切的圆,必与直线相切.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)利用抛物线定义,将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化.本题由可得,可求的值,进而确定抛物线方程;(Ⅱ)欲证明以点为圆心且与直线相切的圆,必与直线相切.可证明点到直线和直线的距离相等(此时需确定两条直线方程);也可以证明,可转化为证明两条直线的斜率互为相反数.
试题解析:解法一:(I)由抛物线的定义得.
因为,即,解得,所以抛物线的方程为.
(II)因为点在抛物线上,
所以,由抛物线的对称性,不妨设.
由,可得直线的方程为.
由,得,
解得或,从而.
又,
所以,,
所以,从而,这表明点到直线,的距离相等,
故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切.
解法二:(I)同解法一.
(II)设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为.
因为点在抛物线上,
所以,由抛物线的对称性,不妨设.

由,可得直线的方程为.
由,得,
解得或,从而.
又,故直线的方程为,
从而.
又直线的方程为,
所以点到直线的距离.
这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切.
考点:1、抛物线标准方程;2、直线和圆的位置关系.
20.(本题满分12分)
如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,垂直于圆所在的平面,且.

(Ⅰ)若为线段的中点,求证平面;
(Ⅱ)求三棱锥体积的最大值;
(Ⅲ)若,点在线段上,求的最小值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)要证明平面,只需证明垂直于面内的两条相交直线.首先由垂直于圆所在的平面,可证明;又,为的中点,可证明,进而证明结论;(Ⅱ)三棱锥中,高,要使得体积最大,则底面面积最大,又是定值,故当边上的高最大,此时高为半径,进而求三棱锥体积;(Ⅲ)将侧面绕旋转至平面,使之与平面共面,此时线段的长度即为的最小值.
试题解析:解法一:(I)在中,因为,为的中点,
所以.
又垂直于圆所在的平面,
所以.
因为,
所以平面.
(II)因为点在圆上,
所以当时,到的距离最大,且最大值为.
又,所以面积的最大值为.
又因为三棱锥的高,
故三棱锥体积的最大值为.
(III)在中,,,
所以.
同理,所以.
在三棱锥中,将侧面绕旋转至平面,使之与平面共面,如图所示.

当,,共线时,取得最小值.
又因为,,
所以垂直平分,
即为中点.
从而,
亦即的最小值为.
解法二:(I)、(II)同解法一.
(III)在中,,,
所以,.同理.
所以,所以.
在三棱锥中,将侧面绕旋转至平面,使之与平面共面,如图所示.
当,,共线时,取得最小值.
所以在中,由余弦定理得:

     
     .
从而.
所以的最小值为.
考点:1、直线和平面垂直的判定;2、三棱锥体积.
21.(本题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)将函数的图象向右平移个单位长度,再向下平移()个单位长度后得到函数的图象,且函数的最大值为2.
(ⅰ)求函数的解析式;
(ⅱ)证明:存在无穷多个互不相同的正整数,使得.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(ⅰ);(ⅱ)详见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将化为,然后利用求周期;(Ⅱ)由函数的解析式中给减,再将所得解析式整体减去得的解析式为,当取1的时,取最大值,列方程求得,从而的解析式可求;欲证明存在无穷多个互不相同的正整数,使得,可解不等式,只需解集的长度大于1,此时解集中一定含有整数,由周期性可得,必存在无穷多个互不相同的正整数.
试题解析:(I)因为

.
所以函数的最小正周期.
(II)(i)将的图象向右平移个单位长度后得到的图象,再向下平移()个单位长度后得到的图象.
又已知函数的最大值为,所以,解得.
所以.
(ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数,使得,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数,使得,即.
由知,存在,使得.
由正弦函数的性质可知,当时,均有.
因为的周期为,
所以当()时,均有.
因为对任意的整数,,
所以对任意的正整数,都存在正整数,使得.
亦即存在无穷多个互不相同的正整数,使得.
考点:1、三角函数的图像与性质;2、三角不等式.
22.(本小题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)证明:当时,;
(Ⅲ)确定实数的所有可能取值,使得存在,当时,恒有.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)求导函数,解不等式并与定义域求交集,得函数的单调递增区间;(Ⅱ)构造函数,.欲证明,只需证明的最大值小于0即可;(Ⅲ)由(II)知,当时,不存在满足题意;当时,对于,
有,则,从而不存在满足题意;当时,构造函数,,利用导数研究函数的形状,只要存在,当时
即可.
试题解析:(I),.
由得解得.
故的单调递增区间是.
(II)令,.
则有.
当时,,
所以在上单调递减,
故当时,,即当时,.
(III)由(II)知,当时,不存在满足题意.
当时,对于,有,则,从而不存在满足题意.
当时,令,,
则有.
由得,.
解得,.
当时,,故在内单调递增.
从而当时,,即,
综上,的取值范围是.
考点:导数的综合应用.

















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