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2015高考真题——数学文(新课标Ⅰ卷)Word版含解析

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 全国

上传时间:2015/6/15

下载次数:4120次

资料类型:历年高考题

文档大小:1.98M

所属点数: 0

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2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标1卷)
文数
一、选择题:每小题5分,共60分
1、已知集合,则集合中的元素个数为
          (A) 5     (B)4       (C)3         (D)2
【答案】D
【解析】
试题分析:由条件知,当n=2时,3n+2=8,当n=4时,3n+2=14,故A∩B={8,14},故选D.
考点:集合运算
2、已知点,向量,则向量 
(A)       (B)      (C)       (D)	
【答案】A

考点:向量运算
3、已知复数满足,则(  )  
(A)       (B)      (C)       (D)	
【答案】C
【解析】
试题分析:∴,∴z=,故选C.
考点:复数运算
4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为(  )
(A)       (B)      (C)       (D)
【答案】C
【解析】
试题分析:从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,故3个数构成一组勾股数的取法只有1种,故所求概率为,故选C5、已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线的焦点重合,是C的准线与E的两个交点,则 
(A)       (B)      (C)       (D)
【答案】B

考点:抛物线性质;椭圆标准方程与性质
6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米有(  )
(A)斛   (B)斛   (C)斛   (D)斛
【答案】B
【解析】
试题分析:设圆锥底面半径为r,则=,所以米堆的体积为,故堆放的米约为7、已知是公差为1的等差数列,为的前项和,若,则(  )
   (A)       (B)      (C)       (D)
【答案】B
【解析】
试题分析:∵公差,,∴,解得,∴,故选B8、函数的部分图像如图所示,则的单调递减区间为(  )
   (A) 
(B)
(C)
(D)
【答案】D
【解析】
试题分析:由五点作图知,,解得,所以令解得<,故单调减区间为,),,故选9、执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的(  )
   (A)       (B)      (C)       (D)




【答案】C
考点10、已知函数 ,且,则 
   (A)     (B)       (C)    (D)
【答案】A
【解析】
试题分析:∵,∴当时,则此等式显然不成立时,解得=,故选A11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为,则(  )      

 (A)      (B)
(C)      (D)
【答案】B
【解析】
试题分析:由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为==16 + 20,解得r=2,故选B.
考点12、设函数的图像与的图像关于直线对称,且,则(  )
(A)       (B)      (C)       (D)
【答案】C
【解析】
试题分析:设是的图像上任意一点,它关于直线对称为(),由已知知)在函数的图像上,∴,解得即∴,解得故选C4小题,每小题5分
13、数列中为的前n项和,若,则        .
【答案】6
【解析】
试题分析:∵,∴数列是首项为,∴,∴n=6.
考点:等比数列定义与前n项和公式
14. 已知函数的图像在点的处的切线过点,则         .
【答案】1
【解析】
试题分析:∵,∴,即切线斜率,∴切点为),∵切线过(2,7),∴,解得15. 若x,y满足约束条件 ,则z=3x+y的最大值为         .
【答案】4
【解析】
试题分析:作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线:,平移直线当直线z=3x+y过点A时,z取最大值,由解得Az=3x+y的最大值为4.

考点:简单线性规划解法
16.已知是双曲线的右焦点,P是C左支上一点, ,当周长最小时,该三角形的面积为         .
【答案】

考点:双曲线的定义;直线与双曲线的位置关系;最值问题
三、解答题
17. (本小题满分12分)已知分别是内角的对边,.
(I)若,求 
(II)若,且 求的面积.
【答案】(I)(II)1
【解析】
试题分析:(I)先由正弦定理将化为变得关系结合条件用其中一边把另外两边表示出来再用余弦定理即可求出角B的余弦值II)由(I)知,根据勾股定理和即可求出的面积.
试题解析:(I)由题设及正弦定理可得.
又,可得,,
由余弦定理可得.
(II)由(1)知.
因为90°,由勾股定理得.
故,得.
所以ABC的面积为1.
考点:正弦定理;余弦定理;运算求解能力
18.  (本小题满分12分)如图四边形ABCD为菱形,G为AC与BD交点,,

(I)证明:平面平面;
(II)若, 三棱锥的体积为,求该三棱锥的侧面积.
【答案】(I)见解析(II)
试题解析:(I)因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD,
因为BE平面ABCD,所以ACBE,故AC平面BED.
又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED
(II)设AB=,在菱形ABCD中,由ABC=120°,可得AG=GC=,GB=GD=.
因为AEEC,所以在AEC中,可得EG=.
由BE平面ABCD,知EBG为直角三角形,可得BE=.
由已知得,三棱锥E-ACD的体积.故=2
从而可得AE=EC=ED=.
所以EAC的面积为3,EAD的面积与ECD的面积均为.
故三棱锥E-ACD的侧面积为.
考点:线面垂直的判定与性质;面面垂直的判定;三棱锥的体积与表面积的计算;逻辑推理能力;运算求解能力

19. (本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

								46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8		表中w1 =1, , =
(I)根据散点图判断,与,哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);
(II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(III)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为 ,根据(II)的结果回答下列问题:
(i)当年宣传费时,年销售量及年利润的预报值时多少?
(ii)当年宣传费为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据,,……,,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
【答案】(Ⅰ)适合作为年销售的回归方程类型(Ⅲ)46.24
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数;(Ⅱ)令,先求出建立的线性回归方程,即可关于的回归方程;(Ⅲ)(ⅰ)利用关于的回归方程先求出年销售量的预报值,再根据年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x即可年利润z的预报值;(ⅱ)根据(Ⅱ)的结果知,年利润z的预报值,列出关于的方程,利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.
考点20. (本小题满分12分)已知过点且斜率为k的直线l与圆C:交于M,N两点.
(I)求k的取值范围;
(II),其中O为坐标原点,求.
【答案】(I)(II)2
【解析】
试题分析:(I)设出直线l的方程,利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k的不等式,即可求出k的取值范围;(II)设,将直线l方程代入圆的方程化为关于x的一元二次方程,利用韦达定理将用列出关于I)由题设,可知直线l的方程为.
因为l与C交于两点,所以.
解得.
所以的取值范围是.
(II)设.
将代入方程,整理得,
所以
,
由题设可得,解得,所以l的方程为.
故圆心在直线l上,所以.
考点:直线与圆的位置关系;设而不求思想;运算求解能力
21. (本小题满分12分)设函数.
(I)讨论的导函数的零点的个数;
(II)证明:当时.
【答案】(I)当时,没有零点;当时,存在唯一零点.(II)见解析
【解析】
试题分析:(I)先求出导函数,分与考虑的单调性及性质即可判断出零点个数II)由(I)可设在的唯一零点为,根据的正负即可判定函数的图像与性质求出函数的最小值即可证明其最小值不小于即证明了所证不等式I)的定义域为,.
当时,,没有零点;
当时,因为单调递增,单调递增,所以在单调递增.又,当b满足且时,,故当时,存在唯一零点.
(II)由(I),可设在的唯一零点为,当时,;
当时,.
故在单调递减,在单调递增,所以当时,取得最小值,最小值为.
由于,所以.
故当时,.
考点:常见函数导数及导数运算法则;函数的零点;利用导数研究函数图像与性质;利用导数证明不等式;运算求解能力.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号
22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图AB是O直径,AC是O切线,BC交O与点E.

(I)若D为AC中点,求证:DE是O切线;
(II)若 ,求的大小.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)60°
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由圆的切线性质及圆周角定理知,AE⊥BC,AC⊥AB,由直角三角形中线性质知DE=DC,OE=OB,利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°,即∠OED=90°,所以DE是圆O的切线;(Ⅱ)设CE=1,由得,设,由勾股定理得由直角三角形射影定理可得列出关于,即可求出∠ACB的大小,由已知得AB=,,
 由射影定理可得,,
∴,解得,∴∠ACB=60°.        ……10分

考点23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,直线,圆,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(I)求的极坐标方程.
(II)若直线的极坐标方程为,设的交点为,求 的面积.
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得,的极坐标方程;(Ⅱ)将将代入即可求出MN|,利用三角形面积公式即可求出,
∴的极坐标方程为,的极坐标方程为代入得=,=,|MN|=-=,
因为的半径为的面积=.
考点
24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数 .
(I)当 时求不等式 的解集;
(II)若 图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)
(Ⅱ)由题设可得,,
 所以函数的图像与轴围成的三角形的三个顶点分别为,,所以△ABC的面积为>.
所以的取值范围为考点

















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