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2016年高考北京卷理数试题(含答案)

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 北京

上传时间:2016/6/15

下载次数:997次

资料类型:历年高考题

文档大小:1.70M

所属点数: 0

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2016年
数学(理)
本试卷共5页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
B=,则
     (A)                          (B)
(C)                    (D)  

(2)若x,y满足     ,则2x+y的最大值为
(A)0                          (B)3
(C)4                          (D)5
(3)执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为

(A)1                         
(B)2
(C)3                      
(D)4
(4)设a,b是向量,则“IaI=IbI”是“Ia+bI=Ia-bI”的
(A) 充分而不必要条件                 (B)必要而不充分条件
(C) 充分必要条件                     (D)既不充分也不必要条件
(5)已知x,yR,且xyo,则
(A)-               (B)
(C) (-0           (D)lnx+lny
(6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为
(A)                                           
(B)
(C)
(D)1

(7)将函数图像上的点P( ,t )向左平移s(s﹥0) 个单位长度得到点P′.若 P′位于函数的图像上,则
(A)t= ,s的最小值为          (B)t= ,s的最小值为     
(C)t= ,s的最小值为          (D)t= ,s的最小值为  

(8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则
(A)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球         
(B)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多   
(C)乙盒中红球不多于丙盒中红球                           
(D)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多


第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=_______________。
(10)在的展开式中,的系数为__________________.(用数字作答)
(11)在极坐标系中,直线与圆交于A,B两点,
      则 =____________________.
(12)已知为等差数列,为其前n项和,若 ,,则.
(13)双曲线 的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2,则a=_______________.
(14)设函数
       ①若a=0,则f(x)的最大值为____________________;
       ②若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是_________________。

三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)

在ABC中,
(I)求 的大小
(II)求 的最大值
(16)(本小题13分)A、B、C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时);
A班	6    6.5    7     7.5      8		B班	6    7      8     9      10    11    12		C班	3    4.5     6    7.5      9    10.5   12     13.5		(I) 试估计C班的学生人数;
(II) 从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙,假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;
(III)再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ,表格中数据的平均数记为  ,试判断   和的大小,(结论不要求证明)

(17)(本小题14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD 平面ABCD,PAPD   ,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD= ,
(I)求证:PD平面PAB; 
(II)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;
(II I)在棱PA上是否存在点M,使得BMll平面PCD?若存在,求 的值;若不存在,说明理由。

(18)(本小题13分)
设函数f(x)=xe +bx,曲线y=f(x)d hko (2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4,
(I)求a,b的值;
 (I I) 求f(x)的单调区间。

(19)(本小题14分)
已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.
(I)求椭圆C的方程;
(I I)设P的椭圆C上一点,直线PA与Y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N。
求证:lANl lBMl为定值。

(20)(本小题13分)
 设数列A: , ,… (N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有 < 
(I)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出G(A)的所有元素;
(I I)证明:若数列A中存在使得>,则G(A)  ;
(I I I)证明:若数列A满足- ≤1(n=2,3, …,N),则G(A)的元素个数不小于 -。
2016年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理)(北京卷)参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
(1)C     (2)C     (3)B     (4)D
(5)C     (6)A     (7)A     (8)B
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
(9)      (10)
(11)        (12)
(13)       (14)   
三、解答题(共6小题,共80分)
(15)(共13分)
解:(Ⅰ)由余弦定理及题设得.
又因为,所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.

,
因为,所以当时,取得最大值.
(16)(共13分)
解:(Ⅰ)由题意知,抽出的名学生中,来自班的学生有名.根据分层抽样方法,班的学生人数估计为.
(Ⅱ)设事件为“甲是现有样本中班的第个人”,,
事件为“乙是现有样本中班的第个人”,,
由题意可知,,;,.
,,.
设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,


因此
(Ⅲ).
(17)(共14分)
解:(Ⅰ)因为平面平面,,
所以平面.
所以.
又因为,
所以平面.
(Ⅱ)取的中点,连结.
因为,所以.
又因为平面,平面平面,
所以平面.
因为平面,所以.
因为,所以.
如图建立空间直角坐标系.由题意得,
.
设平面的法向量为,则
即
令,则.
所以.
又,所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.

(Ⅲ)设是棱上一点,则存在使得.
因此点.
因为平面,所以平面当且仅当,
即,解得.
所以在棱上存在点使得平面,此时.
(18)(共13分)
解:(Ⅰ)因为,所以.
依题设,即
解得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.
由即知,与同号.
令,则.
所以,当时,,在区间上单调递减;
当时,,在区间上单调递增.
故是在区间上的最小值,
从而.
综上可知,,,故的单调递增区间为.
(19)(共14分)
解:(Ⅰ)由题意得解得.
所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
设,则.
当时,直线的方程为.
令,得.从而.
直线的方程为.
令,得.从而.
所以

.
当时,,
所以.
综上,为定值.
(20)(共13分)
解:(Ⅰ)的元素为和.
(Ⅱ)因为存在使得,所以.
记,
则,且对任意正整数.
因此,从而.
(Ⅲ)当时,结论成立.
以下设.
由(Ⅱ)知.
设,记.
则.
对,记.
如果,取,则对任何.
从而且.
又因为是中的最大元素,所以.
从而对任意,,特别地,.
对.
因此.
所以.
因此的元素个数不小于.















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