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2016年高考北京卷理数试题(解析版)

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 北京

上传时间:2016/6/15

下载次数:1097次

资料类型:历年高考题

文档大小:1.42M

所属点数: 0

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本试卷共5页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合,则
A.B.      C.    D.
【答案】C
考点:集合交集.
1.	首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)是数集还是点集如集合,,三者是不同的.
2集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性特别是互异性在判断集合中元素的个数时以及在含参的集合运算中常因忽视互异性疏于检验而出错.
3数形结合常使集合间的运算更简捷、直观.对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算可借助图实施对连续的数集间的运算常利用数轴进行对点集间的运算则通过坐标平面内的图形求解这在本质上是数形结合思想的体现和运用.
4空集是不含任何元素的集合在未明确说明一个集合非空的情况下要考虑集合为空集的可能.另外不可忽视空集是任
2.若,则的最大值为
A.0           B.3            C.4             D.5
【答案】C
【解析】

考点:线性规划.
可行域是封闭区域时可以将端点代入目标函数从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2需先准确地画出可行域再将目标函数对应直线在可行域上移动观察z的大小变化得到最优解.
执行如图所示的程序框图,若输入的值为1,则输出的值为
A.1              B.2	           C.3                   D.4

【答案】B
【解析】
试题分析:输入,则,;
进入循环体,,否,,,否,,,此时,输出,则,选B.
考点:算法与程序框图
解决循环结构框图问题要先找出控制循环的变量的初值、步长、终值(或控制循环的条件)然后看循环体循环次数比较少时可依次列出循环次数较多时可先循环几次找出规律要特别注意最后输出的是什么不要出现多一次或少一次循环的错误.
设是向量,则”是”的
A.充分而不必要条件           必要而不充分条件
充分必要条件               既不充分也不必要条件
【答案】D
考点:
【名师点睛】由向量数量积的定义(为的夹角)可知数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一再考虑到数量积还可以用坐标表示因此又可以借助坐标进行运算.当然无论怎样变化其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高应熟练掌握其解法.
已知,且,则
A.     B.    C.     D.
【答案】C
【解析】
试题分析:A:由,得,即,A不正确;
B:由及的单调性,可知不一定成立;
C:由,,得,故,C正确;
D:由,得,不一定大于1,故不一定成立,故选C.
考点: 函数性质
函数单调性的判断(1)常用的方法有:定义法、导数法、图象法及复合函数法.
(2)两个
(3)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性
6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为

          B.          C.            D.
【答案】A
【解析】
试题分析:分析三视图可知,该几何体为一三棱锥,其体积,故选A.

考点:
【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类:①三视图为三个三角形对应的几何体为三棱锥;②三视图为两个三角形一个四边形对应的几何体为四棱锥;③三视图为两个三角形一个圆对应的几何体为圆锥;④三视图为一个三角形两个四边形对应的几何体为三棱柱;⑤三视图为三个四边形对应的几何体为四棱柱;⑥三视图为两个四边形一个圆对应的
7.将函数上的点向左平移() 个单位长度得到点若位于函数的上,则
A.,的最小值为 ,的最小值为
,的最小值为,的最小值为
【答案】A
考点:三角函数平移
三角函数的图象变换有两种选择:一是先伸缩再平移二是先平移再伸缩.特别注意平移变换时当自变量x的系数不为1时要将系数先提出.翻折变换要注意翻折的方向;三角函数名不同的图象变换问题应先将三角函数名统一再进行变换
袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球         乙盒中红球与丙盒中黑球一样多   
乙盒中红球不多于丙盒中红球         乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
【答案】C 
考点:概率统计分析
【名师点睛】本题将与概率知识结合创新味十足是能力立意的好题.如果所求事件对应的基本事件那么一般我们通过逐一列举计数再求概率此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律)从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用.

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.设,若复数在复平面内对应的点位于实轴上,则_______________.
【答案】
【解析】
试题分析:.
考点复数运算
复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据加减运算类似于多项式的合并同类项乘法法则类似于多项式乘法法则除法运算则先将除式写成分式的形式再将分母实数化
在的展开式中,的系数为__________________.(用数字作答)
【答案】60

【解析】
试题分析:,.
考点:二项式定理
【名师点睛】1.所谓二项展开式的特定项是指展开式中的某一项如第项、常数项、有理项、求解时先准确写出通项再把系数与字母分离出来(注意符号)根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征列出方程或不等式来求解即可求有理项时要注意运用整除的性质同时应注意结合的范围分析.
在极坐标系中,直线与圆交于A,B两点,则______.
【答案】2
考点:
【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程直接利用公式即可.将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程要灵活运用x=以及同时要掌握必要的技巧
12.已知为等差数列,为其前项和,若,,则.
【答案】6
【解析】
试题分析:是等差数列,,,,,
,故填:6.
考点:等差数列基本性质
【名师点睛】在等差数列五个基本量中已知其中三个量可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量计算时须注意整体代换及方程思想的应用.
双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2,则_______________.
【答案】2
考点:双曲线的性质
在双曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质也是考查的重点内容.对渐近线1)掌握方程;(2)掌握其倾斜角、斜率的求法;(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式当时为椭圆当时为双曲线.
设函数.
①若,则的最大值为______________;
②若无最大值,则实数的取值范围是________.
【答案】.
【解析】
试题分析:如图作出函数与直线的图象,它们的交点是,由,知是函数的极大值点,
①当时,,因此的最大值是;
②由图象知当时,有最大值是;只有当时,由,因此无最大值,所求的范围是,.

考点分段函数求最值数形结合
【名师点睛】1.分段函数的函数值时应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围然后选取相应的对应关系.若自变量值为较大的正整数一般可考虑先求函数的周期.若给出函数值求自变量值应根据每一段函数的解析式分别求解但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围在研究函数的单
三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)
15.(本小题13分)
在ABC中,.
()求 的大小;  
()求 的最大值.
【答案】()()

考点:
【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据.其主要方法有:化角法,化边法,面积法,运用初等几何法.注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想.
(本小题13分)
A、B、C三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时);
A班	6    6.5    7     7.5      8		B班	6    7      8     9      10    11    12		C班	3    4.5     6    7.5      9    10.5   12     13.5		试估计C班的学生人数;
从A班和C班抽出的学生中,各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙,假设所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;
再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ,表格中数据的平均数记为 ,试判断和的大小,(结论不要求证明)
【答案】()40()().
【解析】
试题分析:(Ⅰ)根据图表判断C班人数,由分层抽样的抽样比计算C班的学生人数;
(Ⅱ)根据题意列出“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”的所有事件,由独立事件概率公式求概率.
(Ⅲ)根据平均数公式进行判断即可.
考点:分层抽样独立事件的概率平均数
求复杂的互斥事件的概率的方法一是直接法将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和运用互斥事件的求和公式计算;二是间接法先求此事件的对立事件的概率再用公式即运用逆向思维的方法(正难则反)求解应用此公式时一定要分清事件的对立事件到底是什么事件不能重复或遗漏.特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目用第二种方法往往显得比较简便.
(本小题14分)
如图,在四棱锥中,平面平面,
,,.

()求证:平面
()求直线与平面所成角的正弦值; 
()在棱上是否存在点,使得平面若存在,求的值;若不存在,说明理由.
【答案】()见解析;()()存在,

()设是棱上一点,则存在使得.
因此点.
因为平面,所以平面当且仅当,
即,解得.
所以在棱上存在点使得平面,此时.
考点:空间垂直判定与性质;异面直线所成角的计算;
【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用当两个平面垂直时常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线把面面垂直转化为线面垂直进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.
(本小题13分)
设函数,曲线在点处的切线方程为,
求的值;
()求的单调区间.
【答案】(Ⅰ)()的单调递增区间为
从而.
综上可知,,,故的单调递增区间为.
考点:导数的应用
【名师点睛】用导数判断函数的单调性时首先应确定函在对函数划分单调区间时除了必须确定使导数等于0的点外还要注意定义区间内的间断点.
(本小题14分)
已知椭圆C: ()的离心率为 ,,,的面积为1.
()求椭圆C的方程;
()设的椭圆上一点,直线与轴交于点M,直线PB与轴交于点N.
求证:为定值.
【答案】()()解析
()由(Ⅰ)知,,

考点:椭圆方程
【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种:(1)从特殊入手求出定点、定值、定线再证明定点、定值、定线与变量无关;(2)直接计算、推理并在计算、推理的过程中消去变量从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
(本小题13分)
 设数列A: , ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 < ,则称是数列A的一个G时刻.记“是数列A的所有G时刻组成的集合.
()对数列A:-2,2,-1,1,3,写出的所有元素;
()证明:若数列A中存在使得>,则 ;
()证明:若数列A满足- ≤1(n=2,3, …,N),则的元素个数不小于 -.
【答案】()的元素为和()解析;()解析.
设,记.
则.
对,记.
如果,取,则对任何.
从而且.
又因为是中的最大元素,所以.
从而对任意,,特别地,.

考点:数列、对新定义的理解.
数列的实际应用题要注意分析题意将实际问题转化为常用的数列模型数列的综合问题涉及到的数学思想:函数与方程思想(如:求最值或基本量)、转化与化归思想(如:求和或应用)、特殊到一般思想(如:求通项公式)、分类讨论思想(如:等比数列求和或)等.














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