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2016年高考江苏卷数学试题(解析版)

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 江苏

上传时间:2016/6/15

下载次数:1096次

资料类型:历年高考题

文档大小:3.43M

所属点数: 0

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2016年江苏卷数学高考试题
填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合则________▲________. 
【答案】
【解析】
试题分析:2. 复数其中i为虚数单位,则z的实部是________▲________. 
【答案】
【解析】
试题分析:故z的实部是. 其次要熟悉复数相关基本概念,如复数的实部为、虚部为、模为、共轭为
3. 在平面直角坐标系xOy中,双曲线的焦距是________▲________. 
【答案】考点:双曲线性质
【名师点睛】本题重点考查双曲线基本性质,而双曲线性质是与双曲线标准方程息息相关,明确双曲线标准方程中量所对应关系是解题关键:揭示焦点在x轴,实轴长为,虚轴长为,焦距为,渐近线方程为,离心率为
4. 已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是________▲________. 
【答案】【解析】
试题分析:,.故5. 函数y=的定义域是   ▲    .
【答案】考点:函数定义域
【名师点睛】函数定义域的考查,一般是多知识点综合考查,先列,后解是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发,而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式联系在一起.
6. 如图是一个算法的流程图,则输出的a的值是   ▲    .

【答案】
【解析】
试题分析:,第二次循环:,此时循环结束,故
考点:循环结构流程图
【名师点睛】算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.
7. 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是   ▲    .
【答案】

考点:古典概型概率
【名师点睛】概率问题的考查,侧重于对古典概型和对立事件的概率考查,属于简单题.江苏对古典概型概率考查,注重事件本身的理解,淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义,然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题,而当正面问题比较复杂时,往往采取计数其对立事件.
8. 已知是等差数列,是其前项和.若,则的值是   ▲    .
【答案】
【解析】由得,因此
考点:等差数列性质
【名师点睛】本题考查等差数列基本量,对于特殊数列,一般采取待定系数法,即列出关于首项及公差的两个独立条件即可.为使问题易于解决,往往要利用等差数列相关性质,如
及等差数列广义通项公式
9. 定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是   ▲    .
【答案】7
【解析】由,因为,所以共7个
考点:三角函数图像
【名师点睛】求函数图像交点个数,可选用两个角度:一是直接求解,如本题,解一个简单的三角方程,此方法立足于易于求解,二是数形结合,分别画出函数图像,数交点个数,此法直观,但对画图要求较高,必须准确,尤其明确增长幅度.
10. 如图,在平面直角坐标系中,是椭圆 的右焦点,直线 与椭圆交于两点,且,则该椭圆的离心率是   ▲    .

【答案】

考点:椭圆离心率
【名师点睛】椭圆离心率的考查,一般分两个层次,一是由离心率的定义,只需分别求出,这注重考查椭圆标准方程中量的含义,二是整体考查,求的比值,这注重于列式,即需根据条件列出关于的一个齐次等量关系,通过解方程得到离心率的值.
11. 设是定义在上且周期为2的函数,在区间上, 
其中 若 ,则的值是   ▲    .
【答案】
【解析】,
因此
考点:分段函数,周期性质
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性,即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时,要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值,尤其是分段函数结合点处函数值.
12.  已知实数满足 ,则的取值范围是   ▲    .
【答案】
考点:线性规划
【名师点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
13. 如图,在中,是的中点,是上的两个三等分点,, ,则 的值是   ▲    .           

【答案】
【解析】因为,,
因此,
考点:向量数量积
【名师点睛】研究向量数量积,一般有两个思路,一是建立直角坐标系,利用坐标研究向量数量积;二是利用一组基底表示所有向量,两种实质相同,坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线向量问题,利用向量加法与减法的平行四边形法则,可以得到一个很实用的结论:
14. 在锐角三角形中,若,则的最小值是   ▲    .
【答案】8.
考点:三角恒等变换,切的性质应用
【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律,利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口,斜三角形中恒有,这类同于正余弦定理,是一个关于切的等量关系,平时多总结积累常见的三角恒等变形,提高转化问题能力,培养消元意识
二、解答题 (本大题共6小题,共90分.请在答题卡制定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 
15. (本小题满分14分)
在中,AC=6,
(1)求AB的长;
(2)求的值.  
【答案】(1)(2) 
【解析】
试题分析:(1)利用同角三角函数关系求 再利用正弦定理求 (2)利用诱导公式及两角和余弦公式分别求,最后根据两角差余弦公式求,注意开方时正负取舍.
试题解析:解(1)因为所以
由正弦定理知,所以

考点:同角三角函数关系,正余弦定理,两角和与差公式
【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数,因此解三角函数题,首先从角进行分析,善于用已知角表示所求角,即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等,选用恰当的公式,是解决三角问题的关键,明确角的范围,对开方时正负取舍是解题正确的保证.
16. (本小题满分14分)
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且 ,.
求证:(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 

【答案】(1)详见解析(2)详见解析



考点:直线与直线、平面与平面位置关系
【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱柱的侧棱长为6m,则当为多少时,仓库的容积最大?

【答案】(1)312(2)


 









考点:函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积
【名师点睛】对应用题的训练,一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点方面进行强化,注重培养将文字语言转化为数学语言能力,强化构建数学模型的几种方法.而江苏应用题,往往需结合导数知识解决相应数学最值问题,因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求,需熟练掌握.
18. (本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系中,已知以为圆心的圆及其上一点

(1)设圆与轴相切,与圆外切,且圆心在直线上,求圆的标准方程;
(2)设平行于的直线与圆相交于两点,且,求直线的方程;
(3)设点满足:存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。

【答案】(1)(2)(3)
 (2)因为直线l||OA,所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,
则圆心M到直线l的距离
 
因为 
而 
所以,解得m=5或m=-15. 
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

考点:直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算
【名师点睛】直线与圆中三个定理:切线的性质定理,切线长定理,垂径定理;两个公式:点到直线距离公式及弦长公式,其核心都是转化到与圆心、半径关系上,这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题,也可先确定主元,如本题以为主元,揭示在两个圆上运动,从而转化为两个圆有交点这一位置关系,这也是解决直线与圆问题的一个思路,即将问题转化为直线与圆、圆与圆位置关系.
19. (本小题满分16分)
已知函数.
设.
(1)求方程的根;
(2)若对任意,不等式恒成立,求实数的最大值;
(3)若,函数有且只有1个零点,求的值。
【答案】(1)①0 ②4(2)1



【解析】









考点:指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点
【名师点睛】对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.(2)详见解析(3)详见解析
【解析】
(2)因为,,
所以.
因此,.




考点:等比数列的通项公式、求和
【名师点睛】本题三个难点,一是数列新定义,利用新定义确定等比数列首项,再代入等比数列通项公式求解,二是利用放缩法求证不等式,放缩目的,是将非特殊数列转化为特殊数列,从而可利用特殊数列性质,以算代征,三是结论含义的应用,实质又是一个新定义,只不过是新定义的性质应用.
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 
A.【选修4—1几何证明选讲】(本小题满分10分)
如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,D为垂足,E是BC的中点,求证:∠EDC=∠ABD.

【答案】详见解析
考点:相似三角形
【名师点睛】1.相似三角形的证明方法:(1)先找两对内角对应相等;(2)若只有一个角对应相等,再判定这个角的两邻 边是否对应成比例;(3)若无角对应相等,就要证明三边对应成比例.
2.利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时,要善于联想变换比例式,通过添加辅助线构造相似三角形,同时注意面积法的应用.B.【选修4—2:矩阵与变换】(本小题满分10分)
已知矩阵 矩阵B的逆矩阵 ,求矩阵AB.
【答案】
【解析】
试题分析:先求逆矩阵的逆:  ,再根据矩阵运算求矩阵AB.
试题解析:解:设,则,

考点:逆矩阵,矩阵乘法
【名师点睛】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则,实质是考查一种运算法则:
,,类似求矩阵特征值及特征向量也是如此.
C.【选修4—4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为 (t为参数),椭圆C的参数方程为 (为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.
【答案】



考点:直线与椭圆参数方程
【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程,消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法.
2.把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个量是参数,并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响.D. 【选修4—5:不等式选讲】(本小题满分10分)
设a>0,|x-1|< ,|y-2|< ,求证:|2x+y-4|<a.
【答案】详见解析
试题分析:利用含绝对值的三角不等式|a+b|≤|a|+|b|
所以
考点:含绝对值的不等式证明
【名师点睛】利用绝对值三角不等式求最值时,可借助绝对值三角不等式性质定理:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项来放缩求解,但一定要注意取等号的条件.将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.22题、第23题,每题10分,共计20分. 请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22. (本小题满分10分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线,抛物线
(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证:线段PQ的中点坐标为;
②求p的取值范围.






【答案】(1)(2)①详见解析,②
(2)设,线段PQ的中点
因为点P和Q关于直线对称,所以直线垂直平分线段PQ,
于是直线PQ的斜率为,则可设其方程为
①由消去得
因为P 和Q是抛物线C上的相异两点,所以
从而,化简得.
方程(*)的两根为,从而
因为在直线上,所以
因此,线段PQ的中点坐标为
②因为在直线上
所以,即
由①知,于是,所以
因此的取值范围为 
考点:直线与抛物线位置关系
【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑:
(1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
(4)利用基本不等式求出参数的取值范围;
(5)利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.23. (本小题满分10分)
(1)求 的值;
(2)设m,nN*,n≥m,求证: 
(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+n+(n+1)=(m+1).
【答案】(1)0(2)详见解析






考点:组合数及其性质
【名师点睛】本题从性质上考查组合数性质,从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题,从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型. 组合数性质不仅有课本上介绍的、,更有,现在又有,这些性质不需记忆,但需会推导,更需会应用.















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