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2017年高考数学(文)一轮复习精品资料:专题16 任意角和弧度制及任意角的三角函数(教学案)

资料类别: 数学/同步

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1.了解任意角的概念;
2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
 
1.角的概念的推广
(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式	|α|=(弧长用l表示)		角度与弧度的换算	①1°= rad;②1 rad=°		弧长公式	弧长l=|α|r		扇形面积公式	S=lr=|α|r2		
3.任意角的三角函数
三角函数	正弦	余弦	正切		定义	设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么			y叫做α的正弦,记作sin α	x叫做α的余弦,记作cos α	叫做α的正切,记作tan α		各象限符号	Ⅰ	+	+	+			Ⅱ	+	-	-			Ⅲ	-	-	+			Ⅳ	-	+	-		三角函
数线	
有向线段MP为正弦线	
有向线段OM为余弦线	
有向线段AT为正切线		
高频考点一 角及其表示
例1、(1)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界),则角α用集合可表示为________.

(2)若角α在第三象限,则在第________象限.
答案 (1) (k∈Z)
(2)二或四
 (2)∵2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z),
∴kπ+<<kπ+π(k∈Z).
当k=2n(n∈Z)时,2nπ+<<2nπ+π,是第二象限角,
当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+<<2nπ+π,是第四象限角,
综上知,当α是第三象限角时,是第二或第四象限角.
【感悟提升】(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
(2)利用终边相同的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成内与角α有相同终边的角β=________.
答案 (1)B (2)-675°或-315°
高频考点二 弧度制的应用
例2、已知一扇形的圆心角为α,半径为R,弧长为l.
(1)若α=60°,R=10cm,求扇形的弧长l;
(2)已知扇形的周长为10cm,面积是4cm2,求扇形的圆心角:
(3)若扇形周长为20cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大?
【感悟提升】应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
【变式探究】(1)将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 (  )
A.	B.
C.-	D.-
(2)已知扇形的周长为4cm,当它的半径为________cm和圆心角为________弧度时,扇形面积最大.
答案 (1)C (2)1 2
解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角,故A、B不正确;又因为拨快10分钟,故应转过的角为圆周的.
即为-×2π=-.
(2)设扇形圆心角为α,半径为r,则
2r+|α|r=4,∴|α|=-2.
∴S扇形=|α|·r2=2r-r2=-(r-1)2+1,
∴当r=1时,(S扇形)max=1,此时|α|=2.
高频考点三 三角函数的概念
例3、(1)已知角α的终边过点P(-8m,-6sin30°),且cosα=-,则m的值为(  )
A.-	B.
C.-	D.
(2)点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q点的坐标为 (  )
A.	B.
C.	D.
答案 (1) B (2)A
【变式探究】(1)若sinα<0且tanα>0,则α是(  )
A.第一象限角	B.第二象限角
C.第三象限角	D.第四象限角
(2)设θ是第三象限角,且=-cos,则是(  )
A.第一象限角	B.第二象限角
C.第三象限角	D.第四象限角
答案 (1)C (2)B
解析 (1)∵sinα<0,
∴α的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴上;
又tanα>0,
∴α在第一象限或第三象限,故α在第三象限.
高频考点四 三角函数线
例4、满足cosα≤-的角α的集合为________.
答案 

解析 作直线x=-交单位圆于C、D两点,连接OC、OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为
.
【感悟提升】(1)利用三角函数的定义,求一个角的三角函数值,需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r.
(2)根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号,理解并记忆:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”.
(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍,结合三角函数的周期性正确写出角的范围.
【变式探究】(1)已知角α的余弦线是单位长度的有向线段,那么角α的终边在(  )
A.x轴上	B.y轴上
C.直线y=x上	D.直线y=-x上
(2)已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是(  )
A.(-2,3]  	B.(-2,3)
C.
答案 (1)A (2)A
高频考点五、数形结合思想在三角函数中的应用
例5、(1)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2,1)时,的坐标为________.

(2)(2015·合肥调研)函数y=lg(3-4sin2x)的定义域为________.
解析 (1)如图所示,

过圆心C作x轴的垂线,垂足为A,过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2,所以劣弧=2,即圆心角∠PCA=2,
则∠PCB=2-,所以|PB|=sin(2-)=-cos 2,
|CB|=cos(2-)=sin 2,
所以xP=2-|CB|=2-sin 2,yP=1+|PB|=1-cos 2,
所以=(2-sin 2,1-cos 2).
【特别提醒】(1)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化,结合弧长公式、三角函数定义寻找关系.
(2)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况,然后观察适合条件的角的位置.
【方法技巧】
1.在利用三角函数定义时,点P可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|=r一定是正值.
2.三角函数符号是重点,也是难点,在理解的基础上可借助口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
3.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.
【易错点睛】
1.注意易混概念的区别:象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角,第二、第三类是区间角.
2.角度制与弧度制可利用180°=πrad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.
3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.

在中,,边上的高等于,则
(A) (B)(C)(D)

【解析】设边上的高线为,则,所以.由正弦定理,知,即,解得,故选D.
=       .
【答案】
【解析】由三角函数诱导公式.
【2015高考上海,文17】已知点 的坐标为,将绕坐标原点逆时针旋转至,则点的纵坐标为(    ).
A.                                           B.  
C.                                             D. 
【答案】D
(2014·全国卷已知角α的终边经过点(-4,3),则=(  )         B.
C.-- 解析根据题意,==-2013·四川卷设=-,α,,则的值是________. 解析方法一:由已知=-,即2=-,又α,故,cos α=-,进而=,于是=-,所以===方法二:同上得=-,又α,可得α=tan 2α==
 
1.给出下列四个命题:
①-是第二象限角;②是第三象限角;
③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.
其中正确的命题有(  )
A.1个	B.2个
C.3个	D.4个
答案 C
2.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α∈(0,π)的弧度数为(  )
A.	B.
C.	D.2
答案 C
解析 设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为r,
所以r=α·r,∴α=.
3.已知α是第二象限角,P(x,)为其终边上一点,且cosα=x,则x等于(  )
A.	B.±
C.-	D.-
答案 D
解析 依题意得cosα==x<0,
由此解得x=-.
4.若α是第三象限角,则下列各式中不成立的是(  )
A.sinα+cosα<0	B.tanα-sinα<0
C.cosα-tanα<0	D.tanαsinα<0
答案 B
解析 α是第三象限角,sinα<0,cosα<0,tanα>0,则可排除A、C、D,故选B.
5.给出下列命题:
①第二象限角大于第一象限角;
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关;
④若sinα=sinβ,则α与β的终边相同;
⑤若cosθ<0,则θ是第二或第三象限的角.
其中正确命题的个数是(  )
A.1	B.2
C.3	D.4
答案 A
6.已知扇形的圆心角为,面积为,则扇形的弧长等于________.
答案 
解析 设扇形半径为r,弧长为l,则
解得
7.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=++的值为________.
答案 -1
解析 由α=2kπ-(k∈Z)及终边相同的概念知,
角α的终边在第四象限,
又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,
所以sinθ<0,cosθ>0,tanθ<0.
所以y=-1+1-1=-1.
8.函数y=+的定义域是_______________________________________.
答案 (k∈Z)
9.一个扇形OAB的面积是1cm2,它的周长是4cm,求圆心角的弧度数和弦长AB.
解 设扇形的半径为rcm,弧长为lcm,
则解得
∴圆心角α==2.
如图,过O作OH⊥AB于H,则∠AOH=1rad.
∴AH=1·sin1=sin1(cm),
∴AB=2sin1(cm).
所以圆心角的弧度数为2,弦长AB为2sin1cm.
10.已知角θ的终边上有一点P(x,-1)(x≠0),且tanθ=-x,求sinθ+cosθ.
解 ∵θ的终边过点(x,-1)(x≠0),
∴tanθ=-,
又tanθ=-x,
∴x2=1,即x=±1.
当x=1时,sinθ=-,cosθ=,
因此sinθ+cosθ=0;
当x=-1时,sinθ=-,cosθ=-,
因此sinθ+cosθ=-.
故sinθ+cosθ的值为0或-.
11.已知圆O:x2+y2=4与y轴正半轴的交点为M,点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N,以ON为终边的角记为α,则tanα等于(  )
A.-1	B.1
C.-2	D.2
答案 B
解析 圆的半径为2,的弧长对应的圆心角为,故以ON为终边的角为,故tanα=1.
12.给出下列各函数值:
①sin(-1000°);②cos(-2200°);③tan(-10),
其中符号为负的是(  )
A.①②	B.②
C.③	D.①③
答案 C
13.已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,则在内,α的取值范围是(  )
A.∪	B.∪
C.∪	D.∪
答案 B
解析 由已知得α∈,
∴
故α∈∪.
14.在直角坐标系中,O是原点,A点坐标为(,-1),将OA绕O逆时针旋转450°到B点,则B点的坐标为________.
答案 (1,)
解析 设B(x,y),由题意知|OA|=|OB|=2,∠BOx=60°,且点B在第一象限,
∴x=2cos60°=1,y=2sin60°=,
∴B点的坐标为(1,).
15.如图所示,动点P,Q从点A(4,0)出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求点P,点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长.
















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