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2017年高考数学(文)一轮复习精品资料:专题11 函数与方程(教学案)

资料类别: 数学/同步

所属版本: 通用

所属地区: 全国

上传时间:2016/9/18

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1.考查函数零点的个数和取值范围;
2.利用函数零点求解参数的取值范围;
3.利用二分法求方程近似解;
4.与实际问题相联系,考查数学应用能力.
 
1.函数的零点
(1)定义:如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零,即f(α)=0,则α叫做这个函数的零点.
(2)变号零点:如果函数图象经过零点时穿过x轴,则称这样的零点为变号零点.
(3)几个等价关系
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
2.零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即f(a)f(b)<0,则这个函数在这个区间上,至少有一个零点,即存在一点x0∈(a,b),使f(x0)=0.
3.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
第一步,确定区间,验证f(a)f(b)<0;
第二步,求区间(a,b)的中点c1;
第三步,计算f(c1):
(1)若f(c1)=0,则c1就是函数的零点;
(2)若f(a)f(c1)<0,则令b=c1(此时零点x0∈(a,c1));
(3)若f(b)f(c1)<0,则令a=c1(此时零点x0∈(c1,b));
第四步,判断x0是否满足给定的精确度;否则重复第二、三、四步.
一 函数零点的确定
例1已知函数f(x)=lnx-x-2的零点为x0,则x0所在的区间是 (  )
A.(0,1)  	B.(1,2)  
C.(2,3) 	D.(3,4)
答案 C
(1)函数f(x)=的零点个数是.
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是(  )
A.多于4	B.4
C.3	D. 2
答案 (1)2 (2)B
解析 (1)当x≤0时,令x2-2=0,解得x=-(正根舍去),所以在(-∞,0]上有一个零点.当x>0时,f′(x)=2+>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.又因为f(2)=-2+ln2<0,f(3)=ln3>0,所以f(x)在(0,+∞)上有一个零点,综上,函数f(x)的零点个数为2.
(2)由题意知,f(x)是周期为2的偶函数.
在同一坐标系内作出函数y=f(x)及y=log3|x|的图象,如图:

观察图象可以发现它们有4个交点,
即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点.
求函数的零点
例已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为(  )
A.{1,3}	B.{-3,-1,1,3}
C.{2-,1,3}	D.{-2-,1,3}
答案 D
(1)确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法.(2)判断函数零点个数的方法:解方程法;零点存在性定理、结合函数的性质;数形结合法:转化为两个函数图象的交点个数.
(1)已知函数f(x)=-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(  )
A.(0,1)  	B.(1,2)
C.(2,4)  	D.(4,+∞)
(2)函数f(x)=x-x的零点个数为(  )
A.0	B.1
C.2	D.3
答案 (1)C (2)B
 函数零点的应用
例若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实根,求实数a的取值范围.
解 方法一 (换元法)
设t=2x (t>0),则原方程可变为t2+at+a+1=0,(*)
原方程有实根,即方程(*)有正根.
令f(t)=t2+at+a+1.
若方程(*)有两个正实根t1,t2,
对于“a=f(x)有解”型问题,可以通过求函数y=f(x)的值域来解决,解的个数可化为函数y=f(x)的图象和直线y=a交点的个数.
(1)函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(  )
A.(1,3)  	B.(1,2)
C.(0,3)  	D.(0,2)
(2)已知函数f(x)=若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是(  )
A.(1,3)  B.(0,3) C.(0,2)  D.(0,1)
答案 (1)C (2)D
解析 (1)因为函数f(x)=2x--a在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0.所以0<a<3.
(2)画出函数f(x)的图象如图所示,

观察图象可知,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则函数y=f(x)的图象与直线y=a有3个不同的交点,此时需满足0<a<1,故选D.
 二次函数的零点问题
例已知f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数a的取值范围.
【感悟提升】解决与二次函数有关的零点问题:(1)可利用一元二次方程的求根公式;(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系;(3)利用二次函数的图象列不等式组.
若函数f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是(  )
A.	B.
C.	D.
答案 C

【2016高考山东文数】已知函数 其中,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是________________.
【答案】 
【解析】画出函数图象如下图所示:

由图所示,要有三个不同的根,需要红色部分图像在深蓝色图像的下方,即,解得  
【2016高考天津文数】已知函数在R上单调递减,且关于x的方程恰有两个不相等的实数解,则的取值范围是_________.

【2016高考上海文科】 
已知R,函数=.
(1)当	时,解不等式>1;
(2)若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素,求的值;
(3)设>0,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围.
【答案】(1).(2)或.(3).
【解析】
(1)由,得,解得.
(2)有且仅有一解,
等价于有且仅有一解,等价于有且仅有一解.
当时,,符合题意;
当时,,.
在平面直角坐标系中,若直线与函数的图像只有一个交点,则的值为             【答案】 
【解析】在同一直角坐标系内,作出的大致图像,如下图:

由题意,可知
函数的零点个数为_________.
【答案】.


【2015高考湖南,文14】若函数有两个零点,则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】有两个零点,可得有两个不等的根,从而可得函数函数的图象有两个交点,结合函数的图象可得,,故答案为:.

【2015高考山东,文10】设函数,若,则 (   )
(A)   (B)  (C)   (D)
 【答案】
【解析】由题意,由得,或,解得,故选.
(2014·北京卷)已知函数f(x)=-log2x,在下列区间中,包含f(x)的零点的区间是(  )
A.(0,1)  B.(1,2)
C.(2,4)  D.(4,+∞)
【答案】C 【解析】方法一:对于函数f(x)=-log2x,因为f(2)=2>0,f(4)=-0.5<0,根据零点的存在性定理知选C.
方法二:在同一坐标系中作出函数h(x)=与g(x)=log2x的大致图像,如图所示,可得f(x)的零点所在的区间为(2,4).

(2014·浙江卷)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则(  )
A.c≤3  B.3<c≤6
C.6<c≤9  D.c>9
【答案】C 
(2014·重庆卷)已知函数f(x)=且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是(  )
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
【答案】A 
(2014·福建卷)函数f(x)=的零点个数是________.
【答案】2 【解析】当x≤0时,f(x)=x2-2,
令x2-2=0,得x=(舍)或x=-,
即在区间(-∞,0)上,函数只有一个零点.
当x>0时,f(x)=2x-6+ln x,
令2x-6+ln x=0,得ln x=6-2x.
作出函数y=ln x与y=6-2x在区间(0,+∞)上的图像,
则两函数图像只有一个交点,即函数f(x)=2x-6+ln x(x>0)只有一个零点.
综上可知,函数f(x)的零点的个数是2.
(2014·湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为(  )
A.{1,3}  B.{-3,-1,1,3}
C.{2-,1,3}  D.{-2-,1,3}
【答案】D 
(2014·江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是________.
【答案】. 【解析】先画出y=x2-2x+在区间上的图像,再将x轴下方的图像对称到x轴上方,利用周期为3,将图像平移至区间内,即得f(x)在区间上的图像如下图所示,其中f(-3)=f(0)=f(3)=0.5,f(-2)=f(1)=f(4)=0.5.
函数y=f(x)-a在区间上有10个零点(互不相同)等价于y=f(x)的图像与直线y=a有10个不同的交点,由图像可得a∈. 

(2014·江西卷)已知函数f(x)=(a∈R).若f=1,则a=(  )
A.  B.  C.1  D.2
【答案】A 【解析】因为f(-1)=21=2,f(2)=a·22=4a=1,所以a=.
(2014·浙江卷)设函数f(x)=若f(f(a))=2,则a=________.
【答案】 【解析】令t=f(a),若f(t)=2,则t2+2t+2=2 满足条件,此时t=0或t=-2,所以f(a)=0或f(a)=-2,只有-a2=-2满足条件,故a=.
(2014·全国卷)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.
(2014·天津卷)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为________.
【答案】(1,2) 【解析】在同一坐标系内分别作出y=f(x)与y=a|x|的图像,如图所示,当y=a|x|与y=f(x)的图像相切时,联立整理得x2+(5-a)x+4=0,则Δ=(5-a)2-4×1×4=0,解得a=1或a=9(舍去),∴当y=a|x|与y=f(x)的图像有四个交点时,有10,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)<0	  D.f(x1)<0,f(x2)>0
解析:选C 在同一坐标系下作出函数f(x)=x,f(x)=-的图象(图略),由图象可知当x∈(-∞,x0)时,x>-;当x∈(x0,0)时,x<-,所以当x1∈(-∞,x0),x2∈(x0,0)时,有f(x1)>0,f(x2)<0.
6.已知f(x)=g(x)=f(x)-x-b有且仅有一个零点时,b的取值范围是________.
解析:要使函数g(x)=f(x)--b有且仅有一个零点,只需要函数f(x)的图象与函数y=+b的图象有且仅有一个交点,通过在同一坐标系中同时画出两个函数的图象(图略)并观察得,要符合题意,须满足b≥1或b=或b≤0.
答案:(-∞,0]∪[1,+∞)∪
7.若f(x)=则函数g(x)=f(x)-x的零点为________.
解析:要求函数g(x)=f(x)-x的零点,即求f(x)=x的根,
∴或
解得x=1+或x=1.
∴g(x)的零点为1+,1.
答案:1+,1
8.已知00和k<0作出函数f(x)的图象.当01或k<0时,没有交点,故当0
        
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