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2017年高考数学(文)一轮复习精品资料:专题03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(教学案)

资料类别: 数学/同步

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专题03 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(教学案)-2017年高考数学(文)一轮复习精品资料   
 1.以量词为载体,判断命题的真假;
2.考查基本逻辑联结词的含义,在与其他知识交汇处命题.
 
1.命题
能判断真假的语句叫做命题.
2.全称量词与全称命题
(1)全称量词:短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,在逻辑中通常叫做全称量词.
(2)全称命题:含有全称量词的命题.
(3)全称命题的符号表示
形如“对M中所有x,p(x)”的命题,可用符号简记为“∀x∈M,p(x)”.
3.存在量词与存在性命题 
(1)存在量词:短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词。
(2)存在性命题:含有全称量词的命题. 
(3)存在性命题的符号表示 
形如“存在集合M中的元素x,q(x)”的命题,用符号简记为 ∃x∈M,q(x)。
4.基本逻辑联结词 
常用的基本逻辑联结词有“且”、“或”、“非”. 
5.命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断 
p 	q 	p∧q 	p∨q 	綈p 		真 	真 	真 	真 	假 		真 	假 	假 	真 	假 		假 	真 	假 	真 	真 		假 	假 	假 	假 	真 		
6.含有一个量词的命题的否定
命题 	命题的否定 		∀x∈M,p(x) 	∃x∈M,綈p(x) 		∃x∈M,p(x) 	∀x∈M,綈p(x) 		
高频考点一 命题及其关系
例1、(1)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数“的逆否命题是(  )
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
(2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是(  )
A.真,假,真	B.假,假,真
C.真,真,假	D.假,假,假
答案 (1)C (2)B
【感悟提升】(1)写一个命题的其他三种命题时,需注意:
①对于不是“若p,则q“形式的命题,需先改写;
②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.
(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.
【变式探究】 (1)命题“若α=,则cosα=”的逆命题是(  )
A.若α=,则cosα≠
B.若α≠,则cosα≠
C.若cosα=,则α=
D.若cosα≠,则α≠
(2)已知命题α:如果x<3,那么x<5;命题β:如果x≥3,那么x≥5;命题γ:如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是(  )
①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题;
②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题;
③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题.
A.①③	B.②
C.②③	D.①②③
答案 (1)C (2)A
高频考点二 充分必要条件的判定
例2、(1)(2015·四川)设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的(  )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
(2)一次函数y=-x+的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是(  )
A.m>1,且n<1	B.mn<0
C.m>0,且n<0	D.m<0,且n<0
答案 (1)B (2)B
解析 (1)根据指数函数的单调性得出a,b的大小关系,然后进行判断.
∵3a>3b>3,∴a>b>1,此时loga33b>3,例如当a=,b=时,loga3b>1.故“3a>3b>3”是“loga30,<0,即m>0,n<0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为mn<0.
【感悟提升】充要条件的三种判断方法
(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断;
(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断;
(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是 “x≠1或y≠1”的某种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的某种条件.
【变式探究】 (1)(2015·陕西)“sinα=cosα”是“cos2α=0”的(  )
A.充分不必要条件	B.必要不充分条件
C.充分必要条件	D.既不充分也不必要条件
(2)若命题p:φ=+kπ,k∈Z,命题q:f(x)=sin(ωx+φ)(ω≠0)是偶函数,则p是q的(  )
A.充要条件	B.充分不必要条件
C.必要不充分条件	D.既不充分也不必要条件
答案 (1)A (2)A
高频考点三 充分必要条件的应用
例3、已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.
解 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,
∴P={x|-2≤x≤10},
由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.
则
∴当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件,即所求m的取值范围是.
【感悟提升】充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
【变式探究】 (1)ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是(  )
A.01或x<},
綈q对应的集合B={x|x>a+1或x1”是“>1”的(   ) 
A、充分不必要条件                                     B、必要不充分条件
C、充要条件                                           D、既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】>1”可以推得“>1”, “>1”不一定得到“>1”,所以“>1”是“>1”的充分不必要条件,故选A.
6.【2015高考安徽,文3】设p:x<3,q:-1b不一定推出a2>b2,反之也不成立.
2.(2014·广东卷) 在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sin A≤sin B”的(  )
A.充分必要条件  
B.充分非必要条件
C.必要非充分条件  
D.非充分非必要条件
A 3.(2014·新课标全国卷Ⅱ)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f′(x0)=0,q:x=x0是f(x)的极值点,则(  )
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
C 4.(2014·浙江卷) 设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(  )
A.充分不必要条件  
B.必要不充分条件
C.充分必要条件  
D.既不充分也不必要条件
A 【解析】若四边形ABCD为菱形,则AC⊥BD;反之,若AC⊥BD,则四边形ABCD不一定为平行四边形.故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.故选A.
1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是(  )
A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”
C. “若一个数不是负数,则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”
答案 B
解析 依题意,得原命题的逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数.
2.给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限,在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中,真命题的个数是(  )
A.3B.2C.1D.0
答案 C
解析 原命题是真命题,故它的逆否命题是真命题;
它的逆命题为“若函数y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数”,
显然逆命题为假命题,故原命题的否命题也为假命题.
因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个.
3.下列结论错误的是(  )
A.命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x≠4,则x2-3x-4≠0”
B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件
C.命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0”
答案 C
4.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为菱形的对角线互相垂直,所以“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BD”,所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件;又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形,所以“AC⊥BD”“四边形ABCD为菱形”,所以“四边形ABCD为菱形”不是“AC⊥BD”的必要条件.
综上,“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.
5.设U为全集.A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
答案 C
解析 由Venn图易知充分性成立.反之,A∩B=∅时,由Venn图(如图)可知,存在A=C,同时满足A⊆C,B⊆∁UC.

故“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的充要条件.
6.函数f(x)=有且只有一个零点的充分不必要条件是(  )
A.a<0	B.01
答案 A
7.“若a≤b,则ac2≤bc2”,则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________.
答案 2
解析 其中原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题.
8.若xm+1是x2-2x-3>0的必要不充分条件,则实数m的取值范围是________.
答案 
解析 由已知易得{x|x2-2x-3>0}{x|xm+1},又{x|x2-2x-3>0}={x|x<-1或x>3},
∴或∴0≤m≤2.
9.给定两个命题p、q,若綈p是q的必要而不充分条件,则p是綈q的________条件.
答案 充分不必要
解析 若綈p是q的必要不充分条件,则q⇒綈p但綈pq,其逆否命题为p⇒綈q但綈q⇒/p,所以p是綈q的充分不必要条件.
10.下列命题:
①若ac2>bc2,则a>b;
②若sinα=sinβ,则α=β;
③“实数a=0”是“直线x-2ay=1和直线2x-2ay=1平行”的充要条件;
④若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数.
其中正确命题的序号是________.
答案 ①③④
解析 对于①,ac2>bc2,c2>0,∴a>b正确;
对于②,sin30°=sin150°30°=150°,
所以②错误;
对于③,l1∥l2⇔A1B2=A2B1,即-2a=-4a⇒a=0且A1C2≠A2C1,所以③正确;
④显然正确.
11.设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案 C
12.已知集合A=,B={x|-13,即m>2.
13.设a,b为正数,则“a-b>1”是“a2-b2>1”的________条件.
答案 充分不必要
解析 ∵a-b>1,即a>b+1.
又∵a,b为正数,
∴a2>(b+1)2=b2+1+2b>b2+1,即a2-b2>1成立,反之,当a=,b=1时,满足a2-b2>1,但a-b>1不成立.所以“a-b>1”是“a2-b2>1”的充分不必要条件.
14.下列四个结论中:
①“λ=0”是“λa=0”的充分不必要条件;②在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件;③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b全不为零”的充要条件;④若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为零”的充要条件.
正确的是________.
答案 ①④
解析 由λ=0可以推出λa=0,但是由λa=0不一定推出λ=0成立,所以①正确.
由AB2+AC2=BC2可以推出△ABC是直角三角形,但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角,所以②不正确.
由a2+b2≠0可以推出a,b不全为零,
反之,由a,b不全为零可以推出a2+b2≠0,
所以“a2+b2≠0”是“a,b不全为零”的充要条件,而不是“a,b全不为零”的充要条件,③不正确,④正确.














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