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2017届高三数学(文)黄金考点总动员:考点04 函数的概念(定义域、值域、解析式、分段函数)(含解析)

资料类别: 数学/同步

所属版本: 通用

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2017届高三数学33个黄金考点总动员
考点4  函数的概念(定义域和值域、解析式和分段函数)
【考点剖析】整合化简结论,即先对解析式中的各部位进行必要的考察,得到自变量应满足的条件,再把上述条件整合成自变量应满足的不等式(组),解这个不等式(组)得到的解集即为函数的定义域.
4.名师二级结论:
形如的函数的值域的求法:可令或,利用三角换元求解,如果是更复杂的式子,如:,可令,,可令利用三角公式或其他方法解决.
5.课本经典习题:
(1)新课标A版第17页,例1 已知函数,
(1)求函数的定义域;
(2)求,的值;
(3)当时,求,的值
【经典理由】对于函数定义域的求解给出了总结,也从抽象-具体的给出函数值的概念及其当自变量取定义域内某一值时,函数值的求法.
新课标A版第18页,例2 下列函数中哪个与函数相等?
(1);(2);(3);(4).
【经典理由】给出了函数相等的定义,并对如何判断两个函数相等作出了总结.
6.考点交汇展示:
(1)函数与方程相结合
例1.【2016高考山东文数】已知函数 其中,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是________________.
【答案】 

 (2)函数与不等式相结合
例2若函数是奇函数,则使成立的的取值范围为(   )
(A)( )   (B)()  (C) (D)
【答案】
【解析】由题意,即所以,,由得,故选.
已知集合,,则=
(A)		(B)		(C)		(D)


【】下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是
(A)y=x(B)y=lgx(C)y=2x(D)

【解析】,定义域与值域均为,只有D满足,故选D.
2.函数的定义域为(   )
A.         		B.         
C.       	D.
【答案】.
【解析】由函数的表达式可知,函数的定义域应满足条件:,解之得,即函数的定义域为,故应选.
的定义域为,函数的定义域为,则(   )
 A.       B.          C.       D.
【答案】C
【解析】对于函数而言,自变量满足,解得,所以,对于函数而言,自变量满足,解得,所以,,A、B选项错误;,C选项正确;,D选项错误.故选C.
4. 已知函数的定义域为,则函数的定义域(    )
A.   B.   C.  D.
【答案】B

【方法规律】与定义域有关的几类问题
第一类是给出函数的解析式,这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围;
第二类是实际问题或几何问题,此时除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题或几何问题有意义;
第三类是不给出函数的解析式,而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域.
第四类是已知函数的定义域,求参数范围问题,常转化为恒成立问题来解决.
【解题技巧】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大于0:(4)实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域,来年需要注意一些常见函数:带有分式,对数,偶次根式等的函数的定义域的求法
【易错点睛】求复合函数,的定义域的方法:
①若的定义域为,则解不等式得即可求出的定义域;②若的定义域为,则求出的值域即为的定义域,如第4题,首先根据条件的定义域为,可令,解得,即的定义域为.
热点2   函数的解析式
1.设函数满足当时,,则(    )
   B.    C.0    D.
【答案】A

2. 下列函数中,不满足的是(  )
A.	B.	C.	D.
【解析】与均满足:得:满足条件
3.【2016高考浙江文数】设函数f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0,且f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)2,x∈R,则实数a=_____,b=______.
【答案】-2;1.
【解析】
试题分析:,
,
所以,解得.
二次函数满足,且则________.
【解析】设二次函数,∴,有
,∴,
∴,,∴.
【解题技巧】(1)配凑法:由已知条件,可将改写成关于的表达式,然后以替代,便得的解析式;
(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法;
(3)换元法:已知复合函数的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;
(4)方程思想:已知关于与或的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出.
【易错点睛】解决函数解析式问题,必须优先考虑函数的定义域,用换元法解题时,应注意换元前后的等价性,例如第11题,在利用换元法进行整体代换后,由可知,因此必须说明从而保证换元前后的等价性,
热点3   分段函数
1.设,定义符号函数 则(   )
A.   		B.  	
C.  		D.
【答案】.
设函数,若,则 (   )
(A)   (B)  (C)   (D)
 【答案】
【解析】由题意,由得,或,解得,故选.
 【2016年高考北京理数】设函数.
若,则的最大值为______________;
若无最大值,则实数的取值范围是________.
【答案】.

4.已知函数,则          ,的最小值是        .
【答案】.
【解析】,所以.当时,;当时,,当时取到等号.因为,所以函数的最小值为.
【方法规律】对于分段函数结合复合函数的求值问题,一定要先求内层函数的值,因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外,要注意自变量的取值对应着哪一段区间,就使用哪一段解析式,体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用,来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式,千万别代错解析式.
【解题技巧】求分段函数的值域,关键在于“对号入座”:即看清待求函数值的自变量所在区域,再用分段函数的定义即可解决。求分段函数解析式主要是指已知函数在某一区间上的图象或解析式,求此函数在另一区间上的解析式,常用解法是利用函数性质、待定系数法及数形结合法等.画分段函数的图象要特别注意定义域的限制及关键点(如端点、最值点)的准确性.分段函数的性质主要包括奇偶性、单调性、对称性等,它们的判断方法有定义法、图象法等.总而言之,“分段函数分段解决”,其核心思想是分类讨论,如第14题,即通过或分类讨论,从而求解.
【】
已知函数,那么的定义域是
A.B.C.D.

2.已知函数在上是单调函数,且满足对任意,都有,则的值是A.       		B.       	  C.             D.函数在上是单调函数也是单调函数.因为满足对任意,都有为定值.否则的值跟着的变化而变化,则又由于函数在上是单调函数成立.所以令.即.又因为.即,所以.所以.故选B.
3.已知函数.若,则的取值范围是(    )A.        B.	        C.	    D.
【答案】D

4.已知,现有下列命题:
①;②;③其中的所有正确命题的序号是(        ) A.①②③      B.②③       C.①③       D.①②的定义域为,
而,故①正确;
当时,,且
故②正确;
由①知,为奇函数,所以为偶函数,则时,与的大小关系即可.记,,
,,
当时,,即在上为增函数,且,所以,
即,,于是A.
5.若函数的定义域为,则实数的取值范围是(    )
 A.          B.          C.         D.
【答案】
【解析】,恒成立,则,解得,故选D.
6.设,则(   )
A.   B.   C.   D.
【答案】

7. 【浙江省温州市2017届高三8月模拟考试数学(理)试题】数列是递增数列,且满,,则不可能是(  )
A.B.C.D.
,若,则的值是(    )
A.2           B.1        C.1或2        D.1或﹣2
【答案】A
【解析】若,则由得,,∴.此时不成立.
若,则由得,,∴,故选A.
9.【2016高考江苏卷】函数y=的定义域是   ▲    .
【答案】
【解析】,即,.故.
10.函数(,且)的定义域为,则           .
【答案】
【解析】可得,即,则,知,则,则,解得.
11. 二次函数满足,且则________.

12.定义在实数集上的函数,如果存在函数(为常数),使得对一切实数都成立,那么称为函数的一个承托函数.给出如下四个结论:
①对于给定的函数,其承托函数可能不存在,也可能有无数个;
②定义域和值域都是的函数不存在承托函数;
③为函数的一个承托函数;
④为函数的一个承托函数.
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】①③
【解析】由题意可知,如果存在函数(为常数),使得对一切实数都成立,那么称为函数的一个承托函数,那么对于来说,不存在承托函数,当,,则此时有无数个承托函数②定义域和值域都是的函数不存在承托函数,因为一个函数本身就是自己的承托函数.故错误对于③因为恒成立,则可知为函数的一个承托函数;成立对于④如果为函数的一个承托函数.则必然有并非对任意实数都成立只有当时成立,因此错误正确的序号为①③.设是的两个非空子集如果存在一个从到的函数满足(i);(ii)对任意当时恒有那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下对集合;②;③;④,其中“保序同构”的集合对的序号是 (写出所有“保序同构”的集合对的序号)14.已知函数,,,其中为常数且,令函数.
求函数的表达式,并求其定义域;
当时,求函数的值域.
,,
【解析】(1),,
(2)函数的定义域为,令,则,,
,
时,递减,单调递增,
即函数的值域为.














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