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2017届高三数学(文)黄金考点总动员:考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件(含解析)

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2017届高三数学33个黄金考点总动员
考点2  命题及其关系、充分条件与必要条件
【考点剖析】

②四种命题的真假关系
逆命题与否命题互为逆否命题;互为逆否命题的两个命题同真假,互逆或互否的两个命题,它们的真假没有关系.
(3)充分条件与必要条件
①若,则是是的必要条件.
②若,则是个	至多有个	对所有,成立	或	且	对任何,不成立		否定	不是	不都是	不大于	不小于	一个也没有	至少两个	至多有()个	至少有()个	存在某,不成立	且	或	存在某,成立		
(2)充要条件判定方法
 ①定义法:若,则是若是若,则是.
②集合法:若满足条件的集合为A,满足条件的集合为B,若AB,则是的充分不必要条件;若BA,则是必要不充分条件;若A=B则,是 充要条件。
对充要条件判定问题,一定要分清谁是条件,谁是结论,若条件、结论满足的条件易求,常用集合法.
③利用原命题与逆命题的真假判断
若原命题为“若则”,则有如下结论:	
(1)若原命题为真逆命题为假,则是的充分不必要条件;
(2)若原命题为假逆命题为真,则是的必要不充分条件;
(3)若原命题与逆命题都为真,则是的充要条件;
(4)若原命题与逆命题都为假,则是的既不充分也不必要条件
5.课本经典习题:
(1)新课标A版第8 页习题1.1A组,第2题
【经典理由】本题考查了命题的四种形式及其真假的判定,特别是都是的否定是一个难点,也是一个常考点.
(2)新课标A版第12页习题1.2A组第3题
【经典理由】本题主要考查了充要条件的三种判定方法,具有代表性.
6.考点交汇展示:
(1)与集合交汇
例1设,是两个集合,则“”是“”的(    )
A.充分不必要条件      B.必要不充分条件      C.充要条件      D.既不充分也不必要条件
【答案】C.
 
(2)与不等式交汇
例2【2016高考上海理数】设,则“”是“”的(    )	
充分非必要条件         (B)必要非充分条件
(C)充要条件               (D)既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】,所以是充分非必要条件,选A.
(3)与函数交汇
例3 【浙江省温州市2017届高三8月模拟】设函数,则“”是“与都恰有两个零点”的(   )
A.充分不必要条件   B.必要不充分条件   C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】显然是的最小值,若有两个零点,设为,且,由得,由题意只有两个零点,因此无解,有两个不等实根,即,所以,必要性得证,若,由于,因此有两个零点,设为,不妨设,由得或,显然无实根,有两个不等实根,即有两个零点,充分性得证,故题中应是充分必要条件.故选C.
(4)与平面向量结合
 例4设平面向量,,均为非零向量,则“”是“”的(   )
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由得,,得;反之不成立,故是的必要而不充分条件.是虚数单位,,则“”是“”的(    )
A.充分不必要条件          B.必要不充分条件
C.充分必要条件            D.既不充分也不必要条件
【答案】A.
【解析】(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,于是a2-b2=0,2ab=2解得a=b=1或a=b=-1 ,故选A.
(6)与立体几何交汇
例6【2016高考山东理数】已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的
(A)充分不必要条件   (B)必要不充分条件    
(C)充要条件         (D)既不充分也不必要条件

 (7)与数列交汇
例7【2016高考天津理数】设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n−1+a2n<0”的(    )
(A)充要条件           (B)充分而不必要条件
(C)必要而不充分条件   (D)既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题意得,,故是必要不充分条件,故选C.
(8)与平面解析几何交汇
例8【浙江省温州市2017届高三8月模拟】直线:与直线:,则是的(  )
A.充分不必要条件	B.充要条件
C.必要不充分条件	D.既不充分也不必要条件

【】互为共轭复数,则”,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是(   )							
(A)真,假,真      (B)假,假,真     (C)真,真,假   (D)假,假,假
【答案】
【解析】设复数,则,所以,故原命题为真;
逆命题:若,则互为共轭复数;如,,且,但此时不互为共轭复,故逆命题为假;否命题:若不互为共轭复数,则;如,,此时不互为共轭复,但,故否命题为假;原命题和逆否命题的真假相同,所以逆否命题为真;故选.
2. 【2016高考上海文科】设、、是定义域为的三个函数,对于命题:①若、、均为增函数,则、、中至少有一个增函数;②若、、均是以为周期的函数,则、、均是以为周期的函数,下列判断正确的是(    )
、①和②均为真命题        、①和②均为假命题
、①为真命题,②为假命题  、①为假命题,②为真命题  【答案】D
【解析】①不成立,可举反例
, , 
②


前两式作差,可得
结合第三式,可得, 
也有
∴②正确
故选D. 
1.判断一个命题的真假有两种方法,法一:直接法,用直接法判定命题为真命题,需要严格的推理、考虑各种情况由命题条件推出结论正确,要判定一个命题为假命题,只要举出一个反例就行;法二:等价值法,若不易直接判断它的真假,利用原命题与其逆否命题同真假转化为判断其逆否命题的真假。
2.正确的命题要有充分的依据,不一定正确的命题要举出反例,这是最基本的数学思维方式,也是两种不同的解题方向,有时举出反例可能比进行推理论证更困难,二者同样重要.
3. 在书写命题的四种形式时,首先要将命题转化成“若p,则q”的形式,然后严格按定义书写,注意正确应用常见词语的否定.
4.在判断四种形式的命题真假时,先判断原命题的真假,再判断逆命题的真假,然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假.
【解题技巧】
1.当一个命题有大前提而要写出其他三个命题时,必须保留大前提且不作改换.在判断命题的真假时,如果不易直接判断它的真假,可以转化为判断其逆否命题的真假.,则,全为0”的否命题.
【错解】若,则,全不为0.
【预防措施】①要正确区分命题的否定与否命题:写一个命题的否命题,既要否定条件又要否定结论,只否定结论,得到的命题是命题的否定;②对条件和结论的否定要正确,如“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”,条件和结论的否定就是分别找条件和结论的对立面,抓住这一点就可以避免类似的错误.
【正解】若,则,不全为0.
热点二  充分条件与必要条件
1.“”是“”的(  )
A、充要条件                                            B、充分不必要条件
C、必要不充分条件                                       D、既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】,因此选B.
与圆相交于两点,则是“的面积为”的(     )
充分而不必要条件        必要而不充分条件 
充分必要条件            既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】由时,圆心到直线的距离.所以弦长为.所以.所以充分性成立,由图形的对成性当时, 的面积为.所以不要性不成立.故选A.
3.设为全集,是集合,则“存在集合使得是“”的(   )
A. 充分而不必要条件               B. 必要而不充分条件      
C. 充要条件                       D. 既不充分也不必要条件 
【答案】C
【解析】①当,,且,则,反之当,必有.
②当,,且,则,反之,若,则,
,所以.
③当,则;反之,,.
综上所述,“存在集合使得是“”的充要条件.
4.设是公比为的等比数列,则是为递增数列的(   )
充分且不必要条件       必要且不充分条件 
充分必要条件          既不充分也不必要条件
【答案】D.

【方法规律】
1.在进行充分条件、必要条件的判断时,首先要明确哪个论断是条件,哪个论断是结论,再从两方面分析:一是由条件p能否推得条件q,二是由条件q能否推得条件p.
2.充分条件、必要条件的三种判断方法利用集合法进行判断时,借助数轴能直观显示两个集合的关系,从而题易于求解.对于条件或结论是否定形式的充分条件、必要条件的判断,要善于利用等价命题进行判断.
在进行判断时,结论,将条件进行适当的化简及合理的表示条件间的推出关系是解决问题的关键.借助数轴直观显示两个集合的关系,从而题易于求解对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题.:“向量与向量的夹角为钝角”是:“<0”的        条件.
【错解】若向量与向量的夹角为钝角,则<0,即<0,故是的充要条件.
【错因分析】判断条件与结论之间的关系时要从两个方向判断,而上面之判定了一个方向就下结论,忽视了对“<0”成立时能否导出“向量与向量的夹角为钝角”的判断.
【防范措施】判断充要条件时要注意两点:首项要分清哪个是条件,哪个是条件;其次要从两个方向进行判断,即条件能否导出结论与结论能否导出条件.
【】设,则是成立的(    )
   (A)充分不必要条件  (B)必要不充分条件  
   (C)充分必要条件    (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由,解得,易知,能推出,但不能推出,故是成立的充分不必要条件,选A.
是等比数列,则“”是“数列为递增数列”的(   )
A.充分不必要条件      B.充分必要条件      C.必要不充分条件      D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若是递增数列一定有,成立,当时,满足,而不是递增数列,所以“”是“数列为递增数列”必要不充分条件,故选C.
3.【北京市2017届高三入学定位考试】已知实数,则“”是“”的(   )
  A.充分不必要条件                          B.必要不充分条件
  C.充要条件                                D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】当时,,故若,则不成立;若,则不成立;
故“”是“”的既不充分也不必要条件,故选项为D.
4.以下四个命题中,真命题的个数为  (     )
①集合的真子集的个数为;
②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角;
③设,若,则且; 
④设无穷数列的前项和为,若是等差数列,则一定是常数列.
(A)0       (B)1       (C)2        (D)3
【答案】B

5.“”是“”的(   )
 充分而不必要条件        B. 必要而不充分条件      
C. 充分必要条件            D. 既不充分也不必要条件 
【答案】B
【解析】因为,所以,即,因而“”是“”的必要而不充分条件   
6.原命题 :“设>”以及它的逆命题,否命题、逆否命题中,真命题共有( )个.
A.0            B.1          C.2                D.4
【答案】C
【解析】当时,,所以原命题是错误的;由于原命题与逆否命题的真假一致,所以逆否命题也是错误的;逆命题为“设,若,则”是正确的,由于否命题与逆命题的真假一致,所以逆命题与否命题都为真命题,所以综上所述,真命题有2个.“”是“直线与直线平行”的(    )
A.充要条件              B.充分不必要条件
C.必要不充分条件        D.既不充分也不必要条件
【答案】C
,如果是的充分不必要条件,则实数k的取值范围是                                     (     )
A. 		  B. 		    C. 	     D. 
【答案】B
【解析】由得,,即,解得或,由是的充分不必要条件知,,故选B.
9.已知集合,,则是的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
:则有,若:则或,∴是充分不必要条件.
10.“实数”是“复数(为虚数单位)的模为”的(   )
A.充分非必要条件        B.必要非充分条件
C.充要条件              D.既非充分条件又不必要条件
【答案】
【解析】时,即其模为;
当的模为时,,解得,
即“实数”是“复数(为虚数单位)的模为”的充分非必要条件,选.
中,角的对边分别为,则“”是“是等腰三角形”的(    )
A.充分不必要条件          B.必要不充分条件
C.充分必要条件            D.既不充分也不必要条件
【答案】A
若且,则“”是“”的(     )
A.充分不必要条件           B.必要不充分条件
C.充要条件                 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】知,
,,
所以
当时,
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选
”是“直线和直线互相垂直”的       (  )
A.充分不必要条件     B.必要不充分条件     C.充要条件       D.既不充分也不必要条件
【答案】C
14.下列结论中正确的是(填上所有正确结论得序号)
对于函数,若,使得,则函数关于直线对称;
函数有2个零点;
若关于的不等式的解集为,则;
已知随机变量服从正态分布且,则;
等比数列的前项和为,已知,则
【答案】
【解析】中,,使得,只是表示在两个特殊值处的函数值相等,不一定关于直线对称,故错;
中,当时,或,又因不在定义域范围内,所以函数有一个零点,为故错;
中,因为关于的不等式的解集为,所以,为关于的方程,即两根,代入解得,故正确;
中,,故正确;
中,设等比数列公比为,,又,所以,化简得,因为,所以,故正确;
故答案为















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