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2017届高三数学(理)黄金考点总动员:考点13 解三角形

资料类别: 数学/同步

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2017届高三数学33个黄金考点总动员
考点14 解三角形(理)
【考点剖析】考查余弦定理、三角形面积公式,考查方程思想、运算能力,是历年常考内容.考查利用正、余弦定理判断三角形的形状.考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法..
3.课本结论总结:
(1)正弦定理:==
余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.
余弦定理可以变形为:cos A=,cos B=,cos C=.
S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B
已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则	A为锐角	A为钝角或直角		图形							关系
式	a<bsin A	a=bsin A	bsin A<a<b	a≥b	a>b	a≤b		解的
个数	无解	一解	两解	一解	一解	无解		在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:(1)已知两角及任一边,求其它边或角;(2)已知两边及一边的对角,求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、两解、无解,应注意区分.
余弦定理可解决两类问题:(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角;(2)已知三边,求各角.在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在ABC中,A>Ba>bsin A>sin B.
正弦定理:===2R,其中R是三角形外接圆的半径.
①ab∶c=sin Asin B∶sin C;
②a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C;
③sin A=,sin B=,sin C=等形式,以解决不同的三角形问题.
S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B==(a+b+c)·r(R是三角形外接圆半径,r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r.
①化边为角;②化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
中,如果有性质,试问这个三角形的形状具有什么特点.
法二:利用余弦定理及,得,化简得,则,即三角形是等腰三角形或直角三角形.
【经典理由】一题多解,既可利用正弦定理进行求解,也可利用余弦定理进行求解。
新课标A版第 25 页,第 B3题(例题)研究一下,一个三角形能否同时具有一下两个性质:
三边是连续的三个自然数;(2)最大角是最小角的2倍.
【解析】设三角形的三边长依次为,对应角依次为;由正弦定理,得,则,又由余弦定理得,化简得,
解得,即存在这样的三角形,边长依次为4,5,6.
【经典理由】综合考查解三角形与二倍角公式.
考点交汇展示:
(1)与三角函数的图像与性质的交汇
设.
()求的单调区间;
()在锐角中,角的对边分别为,若,求面积的最大值.
【答案】(I)单调递增区间是单调递减区间是
(II) 面积的最大值为
单调递减区间是
(II)由 得 
由题意知为锐角,所以 
由余弦定理: 
可得: 
即: 当且仅当时等号成立.
因此 
所以面积的最大值为
的内角,,所对的边分别为,,.向量与平行.
(I)求;
(II)若,求的面积.
【答案】(I);(II).
【解析】(I)因为,所以,
由正弦定理,得
又,从而,
由于,所以
从而,
又由,知,所以.
故
所以的面积为.
如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上,行驶600m后到达处,测得此山顶在西偏北的方向上,仰角为,则此山的高度          m. 

【答案】
【解析】依题意,,,在中,由,
所以,因为,由正弦定理可得,即m,
在中,因为,,所以,所以m.
【】中,若,BC=3, ,则AC= (    )
(A)1			(B)2		(C)3			(D)4
【答案】A
【解析】由余弦定理得,选A.
2.【2016高考新课标Ⅲ文数】在中,,边上的高等于,则
(A) (B)(C)(D)

3.【2016高考山东文数】中,角A,,,,,则A=(    )
(A)(B)(C)(D)

【解析】因为所以由余弦定理得:,
又因为,所以,因为,所以,
因为,所以,故选C.
【方法规律】
(1)已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.
(2)已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点,应引起注意.的两个根,且。求:(1)角C的度数; (2)AB的长度。
【解析}(1)   C=120°
(2)由题设:
 

【易错点睛】
已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点,应引起注意.
,b=,B=45°,则A等于(		)
A.30°		    B.60°	        C.60°或120°	D. 30°或150°

热点二、利用正余弦定理判断三角形形状
1.【【百强校】2015-2016内蒙古杭锦后旗奋斗中学】若,且,那么是(   )
A.直角三角形     B.等边三角形       C.等腰三角形      D.等腰直角三角形
【答案】B
【解析】∵,∴,∴,,根据余弦定理有,∴,即,即,∴,又由,则,即,化简可得,,即,∴是等边三角形,故选B.
2. 【【百强校】2015-2016学年山西省太原五中】中,若且,则的形状是(  )
A. 等边三角形     B. 等腰三角形     C. 等腰直角三角形     D. 直角三角形
【答案】C
【解析】∵,∴
,∴,化为.∴.∴是等腰直角三角形.故选C.

1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;
2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
【解题技巧】
熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用
中,已知,则角A为(      )
   A.         B.         C.          D.或
【解析】考虑余弦定理的公式特点,则:,,
则,又,,故选C.
【易错点睛】
在利用正弦定理或余弦定理判定三角形的形状时,在化简过程中,要保证等价变形,一定不要漏解。如:
(1)新课标A版第10  页,第 B2 题(例题)在中,如果有性质,试问这个三角形的形状具有什么特点.
【解析】法一:利用正弦定理及,得,即;
,,即,所以三角形是等腰三角形或直角三角形.
法二:利用余弦定理及,得,化简得,则,即三角形是等腰三角形或直角三角形.
热点三、利用正余弦定理求三角形面积
 1.在中,,则的面积等于_________.
【答案】

2.的内角,,所对的边分别为,,.向量与平行.
(I)求;
(II)若,求的面积.
【答案】(I);(II).
【解析】(I)因为,所以,
由正弦定理,得
又,从而,
由于,所以
(II)解法一:由余弦定理,得
而
得,即
因为,所以.
故的面积为.
解法二:由正弦定理,得,
从而,
又由,知,所以.
故
所以的面积为.

① 
②   
③ (p是周长的一半,即,r为内切圆半径)④  (R为外接圆半径).
中,角,,的对边分别为,,,且.
(1)求角的大小;
(2)若为边上的中线,,,求的面积.
【答案】(1).(2).

又∵,∴.
(2)在中,由余弦定理得,∴…①,
在中,由正弦定理得,由已知得.
∴,∴……②,
由①,②解得,∴.
【易错点睛】
在利用面积公式解三角形时,要注意不要漏解.如:
已知△ABC的面积为,且,则∠A等于 (      )
A.30°			B.30°或150°	C.60°			D.60°或120° 

【】
在中,,边上的高等于,则
(A) (B)(C)(D)

【解析】设边上的高线为,则,所以,.由余弦定理,知,故选C.
2.【2016高考新课标1文数】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,,,则b=
(A)    (B)     (C)2      (D)3
【答案】D
【解析】由余弦定理得,解得(舍去),故选D.
两点,从两点分别测得树尖的仰角为, ,且两点间的距离为,则树的高度为(   )

A.          B.
C.          D.
【答案】A
【解析】在中,
,
由正弦定理得: ,
树的高度为, 故选A.
4. 【的内角的对边分别为,若,,,则
【答案】

5.在锐角三角形中,,为边上的点,与的面积分别为和.过作于,于,则         .
【答案】
【解析】,又,因为DEAF四点共圆,因此
6.设的内角,,的对边分别为,,,若, ,,则     .  
【答案】.
【解析】因为且,所以或,又,所以,,又,由正弦定理得即解得,故应填入.
在中,,,,则		.
【答案】1
【2016高考北京文数】在△ABC中, ,,则=_________.
【答案】1
【解析】由正弦定理知,所以,则,所以,所以,即.
中,角所对的边分别为,向量,,且,三角函数式的取值范围是          .
【答案】
【解析】由且,,所以,由正弦定理,得,又因为,所以
,所以,即,所以,又由
,所以
,因为,得,所以,可得
,,即三角式的取值范围是.
10. 【【百强校】2017届河北武邑中学高三上学期周考】已知的三个内角的对边分别为,若成等差数列,且,求角的大小,并判断的形状.
【答案】,是等边三角形.



11. 中,分别为角的对边,满足.
(Ⅰ)求角的值;(Ⅱ)若,设角的大小为的周长为,求的最大值.
;(Ⅱ).

12. 【【百强校】2017届黑龙江双鸭山一中高三上学期质检一】的内角所对的边分别为,已知向量,若共线,且为钝角.
(1)证明:;
(2)若,求的面积.
【答案】(1).
【解析】(1)共线,∴,
又由正弦定理得:,即,
又∵为钝角,∴,
∴,即;
(2)∵,∴,∴,∴,
又,∴,
∴.
13.【2016高考江苏卷】在中,AC=6,
(1)求AB的长;
(2)求的值.  
【答案】(1)(2) 
【解析】(1)因为所以
由正弦定理知,所以
(2)在三角形ABC中,所以
于是
又,故
因为,所以
因此
14.【【百强校】2017届广东省仲元中学高三9月月考】在中,内角对应的三边长分别为且满足.
(Ⅰ)求角;  
(Ⅱ)若,求的取值范围.
(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅰ)

   
 














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