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2017届高三数学(理)黄金考点总动员:考点12 三角函数的图象与性质

资料类别: 数学/同步

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2017届高三数学33个黄金考点总动员
考点13 三角函数的图像和性质(理)
【考点剖析】由y=sin x的图象变换到y=Asin (ωx+φ)的图象,①先相位变换再周期变换(伸缩变换);而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是(ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.
的性质:①定义域为R,值域为;②是周期函数,最小正周期为;③在单调递增,在单调递减;④当时,;当时,;⑤其对称轴方程为,对称中心坐标为.
(3)的性质:①定义域为R,值域为;②是周期函数,最小正周期为;③在单调递增,在单调递减;④当时,;当时,;⑤其对称轴方程为,对称中心坐标为.
(4)的性质:①定义域为,值域为;②是周期函数,最小正周期为;③在单调递增;④其对称中心坐标为.
名师二级结论:
(1)由y=sin x的图象变换到y=Asin (ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是(ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.
在由图象求三角函数解析式时,若最大值为M,最小值为m,则A=,k=,ω由周期T确定,即由=T求出,φ由特殊点确定.
作正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象时应注意:
①首先要确定函数的定义域;
②对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根据周期性作出整个函数的图象求三角函数值域(最值)的方法:
①利用sin x、cos x的有界性;
②形式复杂的函数应化为的形式逐步分析的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;
③换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.
、、的性质:
①周期性
函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.
②奇偶性
三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx,而偶函数一般可化为y=Acos ωx+b的形式.
③看作一个整体.
5.课本经典习题:
(1)新课标A版第147  页,第 A9 题(例题)已知.
①求它的递减区间;②求它的最大值和最小值.



【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质
新课标A版第 147 页,第 A10题(例题)已知函数.
①求的最小正周期;②当时,求的最小值以及取得最小值时的集合.
【解析】
.
①;
②,则,即,此时,,
即,即取得最小值时的集合为.
【经典理由】综合考查三角恒等变换与三角函数的图像与性质 
6.考点交汇展示:
(1)与定积分的交汇
已知函数且则函数的图象的一条对称轴是(      )
 A.        B.        C.         D.
【答案】A
【解析】函数的对称轴为,
因为,
所以,即对称轴()
则是其中一条对称轴,故选A.
 (2)与平面向量的交汇
已知向量,,设函数,且的图象过点和点.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)将的图象向左平移()个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1,求的单调增区间.
【答案】(I).(II)函数的单调递增区间为.

(2)由(1)知:.
由题意知:,
设的图象上符合题意的最高点为,
由题意知:,所以,
即到点的距离为1的最高点为.
将其代入得,
因为,所以,
因此,
由,得
,
所以,函数的单调递增区间为.
(3)与解三角形的交汇
【2016年高考北京理数】在ABC中,.
()求 的大小;
()求 的最大值.
【答案】()()
【】
(A)向左平行移动个单位长度        (B)向右平行移动个单位长度
(C)向左平行移动个单位长度       (D)向右平行移动个单位长度
【答案】D
【解析】由题意,为了得到函数,只需把函数的图像上所有点向右移个单位,故选D.
2.【2016高考新课标2文数】函数的部分图像如图所示则
(A)                (B)
(C)                 (D)

【答案】A
3.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
	0														0	5			0		   ()请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数的解析式;
()将图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到的图象. 若图象的一个对称中心为,求的最小值. 
【答案】();().
()由()知 ,得.
 因为的对称中心为,. 
 令,解得, . 
由于函数的图象关于点成中心对称,令,
解得,. 由可知,当时,取得最小值.    
用“五点法”作图应抓住四条:将原函数化为或的形式;求出周期T=;求出振幅A;列出一个周期内的五个特殊点,当画出某指定区间上的图象时,应列出该区间内的特殊点.
的图象有无穷多条对称轴,可由方程解出;它还有无穷多个对称中心,它们是图象与x轴的交点,可由,解得x=(kZ),即其对称中心为(,0)(kZ).
相邻两对称轴间的距离为,相邻两对称中心间的距离也为.
根据的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑:
A的确定:根据图象的最高点和最低点,即A=;
k的确定:根据图象的最高点和最低点,即k=;
ω的确定:结合图象,先求出周期T,然后由T=(ω>0)来确定ω;
φ的确定:或最低点坐标,则或,求值.
法二:由函数y=Asin(ωx+φ)+k最开始与x轴的交点的横坐标为-(即令ωx+φ=0,x=-)确定φ=ωx(其中ω>个单位长度,所得图象关于对称,则ω的最小值是
A.6	           B.	C.	D.
【答案】D
【易错点睛】
研究三角函数图像的变换时,要注意由的图像变换成的图像的变换过程:的图像由的图像向左()或向右()平移个单位长度.
如:为了得到函数的图像,可以将函数的图像(    )
向右平移个单位      B.向左平移个单位   
C.向右平移个单位     D.向左平移个单位 
【答案】D
【解析】,故只需将向左平移个单位.
热点二 三角函数的最值
1.【2016高考新课标2文数】函数的最大值为
(A)4(B)5(C)6(D)7

2.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(   )
A.5                       B.6                       C.8                       D.10

【答案】C
【解析】由图象知:,因为,所以,解得:,所以这段时间水深的最大值是,故选C.
已知函数,其中
(1)当时,求在区间上的最大值与最小值;
(2)若,求的值.
【答案】(1)最大值为最小值为-1. (2)
【解析】(1)当时,
因为,从而
故在上的最大值为最小值为-1.
(最值)的题目一般常用以下方法:
(1)利用sin x、cos x的有界性;
(2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;
(3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.
【解题技巧】
求三角函数的最值问题,最主要的题型是:通过三角恒等变形将所给解析式化为的形式,再进行求解.
①当时,,;
②当时,则先求的范围,再利用正弦函数的图像写出函数的最值,再进一步求解.
如:函数的最大值为_________.
【答案】1
【解析】由题意知:=
==
==,即,因为,所以的最大值为1.
【易错点睛】
在求函数的最值时,一般思路通过三角恒等变换化成的形式,但不要忽视变形中的等价性,如定义域的变化.
如:【河南省安阳一中2015届高三第一次月考6】函数的值域是	  (   )
A. 	  B.	       C.	   D.
【答案】D
【解析】先由得函数的定义域为,再由化简得,由于所以,从而,即,故选D.
热点三  三角函数的性质
1.【2016高考新课标1卷】已知函数 为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为
(A)11        (B)9     (C)7        (D)5
【答案】B
设 .
(I)求得单调递增区间;
(II)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数的图象,求的值.
)的单调递增区间是(或)
()
【解析】()由




由得
              
所以,的单调递增区间是(或)

【方法规律】
、、的性质:
①周期性
函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.
②奇偶性
三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx,而偶函数一般可化为y=Acos ωx+b的形式.
③看作一个整体.
 如:已知函数.
() 求的最小正周期;
() 求在区间上的最小值.
【答案】(1),(2)
看作一个整体.如(上例)
【易错点睛】
求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ωx+φ(ω>0)”视为一个“整体”;②A>0(A<0)时,所列不等式的方向与y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反).
  如:求的单调递增区间(教材第39页)
【解析】,令,则的单调递增区间是的单调递减区间 ,即,
解之得 ,
即的单调递增区间为 .   
【】
【的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为(    )
(A)                 (B)  
(C)                 (D)
【答案】B
【解析】由题意,将函数的图像向左平移个单位得,则平移后函数的对称轴为,即,故选B.
2.【2016年高考北京理数】将函数上的点向左平移() 个单位长度得到点若位于函数的上,则
A.,的最小值为 ,的最小值为
,的最小值为,的最小值为
【答案】A
的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,则函数的一个单调递减区间是(   )
A.    B.    C.    D.
【答案】
【解析】,所以,则在上递减.

4. 【【百强校】2017届广东海珠区高三上学期调研测试一】已知函数,给出下列四个说法:
①函数的周期为;
②若,则;
③在区间上单调递增;
④的图象关于点中心对称.
其中正确说法的个数是(   )
A.3个    B.2个    C.1个    D.0个
【答案】C   
5.若将函数的图象向右平移个单位,所得图象关于轴对称, 则的最小正值是(   )
       B.       C.     D.
【答案】C.
【解析】,向右平移个单位后,得到的函数图像,∵函数图像关于轴对称,
∴当时,,即,,
∴当时,有最小正值.
6. 【【百强校】2017届河北武邑中学高三上学期周考】已知函数的部分图象如图所示,则(   )

A.          B.
C.         D.
【答案】D
【解析】由图象得 ,所以由得,故选D.
7.【2016高考江苏卷】定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是       .
【答案】7
【解析】由,因为,所以共7个
8.【2016高考上海文科】若函数的最大值为5,则常数______.
【答案】
【解析】,其中,故函数的最大值为,由已知,,解得.
9.函数的零点个数为          .
【答案】2
所以函数有2个零点.

,将函数的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数为偶函数,则的最小值为          .
【答案】
【解析】,,它的图象向左平移个单位,所得图象对应的函数为偶函数,函数为时,最小,所以最小值为,故答案为.
11. 【【百强校】2017届黑龙江双鸭山一中高三上学期质检一】已知函数为奇函数,且相邻两对称轴间的距离为.
(1)当时,求的单调递减区间;
(2)将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度,再把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数的图象.当时,求函数的值域.
;(2).
【解析】(1)由题意可得:
因为相邻两对称轴间的距离为,所以,,因为函数为奇函数,
所以,因为,所以,函数为.
要使单调减,需满足,
所以函数的减区间为.
的最小正周期为.
(1)求函数的表达式并求在区间上的最小值;
(2)在中,分别为角所对的边,且,,求角的大小.
【答案】(1),;(2)
【解析】(1)
函数的最小正周期为,即,解得,∴
因为,∴,∴,
∴,.
(2)因为,由正弦定理得:
又,∴,又因为,所以.
13.【【百强校】2016届天津市耀华中学高三一模】已知向量,设函数.
(1)求在上的最值;
(2)在中,分别是角的对边,若,的面积为,求的值.
【答案】(1);(2)

(2)


.
14.已知函数,且在处的切线斜率为。
(1)求a的值,并讨论在上的单调性;
(2)设函数,,其中m > 0,若对任意的总存在,使得成立,求m的取值范围
【答案】(Ⅰ)在上单调递增;在上单调递减;(Ⅱ)(Ⅰ)
        
                                                            ……4分
       
      
      
 则在上单调递增;在上单调递减;















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