欢迎来到高考学习网,

[登录][注册]

免费咨询热线:010-57799777

高考学习网
今日:1530总数:5885151专访:3372会员:401265
当前位置: 高考学习网 > 2017届高三数学(理)黄金考点总动员:考点11 三角化简与求值

2017届高三数学(理)黄金考点总动员:考点11 三角化简与求值

资料类别: 数学/同步

所属版本: 通用

所属地区: 全国

上传时间:2016/10/13

下载次数:450次

资料类型:

文档大小:990KB

所属点数: 0

普通下载 VIP下载 【下载此资源需要登录并付出 0 点,如何获得点?
2017届高三数学33个黄金考点总动员
考点12  三角化简和求值(理)
【考点剖析】1)利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考常考的点.
(2)考查同角三角函数的基本关系式考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用.
考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易题. .
课本结论总结:
(1)同角三角函数的基本关系
①平方关系:sin2α+cos2α=1;
②商数关系:=tan α.
诱导公式
公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=,其中kZ.
公式二:sin(π+α)=,cos(π+α)=,
tan(π+α)=tan α.
公式三:sin(-α)=,cos(-α)=.
公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=.
公式五:=,=sin α.
公式六:=,=
诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限两角和与差的正弦、余弦、正切公式
①C(α-β):cos(α-β)=②C(α+β):cos(α+β)=③S(α+β):sin(α+β)=;
④S(α-β):sin(α-β)=;
⑤T(α+β):tan(α+β)=;
⑥T(α-β):tan(α-β)=.
二倍角的正弦、余弦、正切公式
①S2α:sin 2α=;
②C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
③T2α:tan 2α=.
有关公式的逆用、变形等
①tan α±tan β=;
②cos2α=,sin2α=;
③1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,
.
(2)函数(a,b为常数),可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=cos(α-φ),其中φ可由a,b的值唯一确定.
三种方法
在求值与化简时,常用方法有:
①弦切互化法:主要利用公式tan α=化成正、余弦.
②和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化.
③巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan=….
三个防范
①利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负-脱周-化锐.
特别注意函数名称和符号的确定.
②在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
③注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
,计算:
(1);(2);(3)
【解析】,;
;

【经典理由】弦化切的典型例题.
新课标A版第 130 页,第 例4(3)题(例题)求值:

【经典理由】”1“的巧用与”变式“的有机结合.
新课标A版第 137页,第A5题(例题)已知,,求的值.
【解析】,;又,;
则
.
【经典理由】1.求三角函数值时,要注意角的范围;2.注意用已知角表示所求角.
6.考点交汇展示:
(1)与三角函数的图像与性质的交汇
【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向
右平移_____________个单位长度得到.
【答案】
【解析】因为,=,所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到.
(2)与函数的奇偶性、单调性的交汇
1.【2016高考天津理数】已知函数f(x)=4tanxsin()cos()-.
(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期;
(Ⅱ)讨论f(x)在区间[]上的单调性.
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)在区间上单调递增, 在区间上单调递减.

解:令函数的单调递增区间是
由,得
 设,易知.
所以, 当时, 在区间上单调递增, 在区间上单调递减.
2.若,且.则下列结论正确的是(    ) 
(A)     (B)    (C)   (D)
【答案】D
 (3)与一元二次方程的交汇
【2016高考上海理数】方程在区间上的解为___________ .
【答案】
【解析】,即,所以,解得或(舍去),所以在区间上的解为
(4)与平面向量的交汇
在平面直角坐标系中,已知向量,,.
(1)若,求tan x的值;
(2)若与的夹角为,求的值.
【答案】(1);(2).
【解析】(1) ,且, 
 ,又,
 , 即, ;
(2)由(1)依题知 ,
 又,
 即.
【】(   )
A.                       B.                       C.                    D.
【答案】B
【解析】∵,,∴,∵,∴,则,故选项为B.
2.已知,,则的值为_______.
【答案】3
.
(1)运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tan α+tan β=tan(α+β)·(1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.
(2)应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的正用是常见的,但逆用和变形应用则往往容易被忽视,公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用.
【解题技巧】
在运用两角和与差的三角公式进行化简或求值时,要注意以下三个变换技巧:
(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其方法通常是“配凑”,如:
,,等
例.设为锐角,若,则          .
【答案】
【解析】为锐角,则,则,因此,所以
,所以
.
变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其方法通常为“化切为弦”等,
例.新课标A版第146 页,第 A5(2) 题(例题)计算.
【答案】-1

(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”
)
【易错点睛】
在化简与求值时,一定要注意“所求角”与“已知角”的内在联系,往往起到“事半功陪”的效果.
例.已知,,则(    ) 
A.-2    B.-1    C.   D.
【答案】A
【解析】可得,则,

热点二 利用倍角公式以及诱导公式求值
1.【2016高考山东理数】函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x –sin x)的最小周期是
(A) (B)π       (C)     (D)2π
B
【解析】,故最小正周期,故选B.
2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=______,b=________.
【答案】

【方法规律】
一、利用诱导公式化简求值时的原则
1.“负化正”,运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数.
2.“大化小”,利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数,利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数.
3.“小化锐”,利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数.
4.“锐求值”,得到0°到90°的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非特殊角可由计算器求得.
二、利用倍角公式化简求值
二倍角公式实际就是由两角和公式中令β=α所得.特别地,对于余弦:cos 2α=cos2α-sin2α=  2cos2α-1=1-2sin2α,这三个公式各有用处,同等重要,特别是逆用即为“降幂公式”,在考题中常有体现.
【解题技巧】
(1)拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β);β=-;=.
(2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.
是锐角,且,则的值为____________.【答案】
【解析】.
变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
,则(      )                           A.          B.          C.        D.
【答案】D. 
(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.

【答案】
【解析】.
                                【】
【,则(    )
(A)           (B)             (C)               (D)
【答案】D
【解析】 ,
且,故选D.
2.【2016高考浙江理数】设函数,则的最小正周期(   )
A.与b有关,且与c有关                      B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关                      D.与b无关,但与c有关
【答案】
【解析】时,,此时周期是;当时,周期为,而不影响周期.故选.
 ,则(     )
(A)            (B)             (C)  1            (D) 
【答案】A

4.已知,则(      )
A.          B.        C.	D.
【答案】C
【解析】,故选,且,则的值为(    )
  A.                      B.                     C.                    D.
【答案】
【解析】
,,,所以
,所以,由
可得,两边平方得,即
,所以,故选D.
6.【2016年高考四川理数】=         .
【答案】

7.已知 .
【答案】.
【解析】对式子两边平方得,.
8.已知A是角终边上一点,且点的坐标为,则=      .
【解析】由题意,因此.
9.【【百强校】2017届河北武邑中学高三上学期周考】已知,,则的值为__________.
【答案】
【解析】,,两式相加得,两式相减得,以上两式相除,得.
,,则的值为      .
【答案】

11.【【百强校】2017届河北武邑中学高三上学期周考】已知,求的值.
【答案】当为第一象限角时,;当为第二象限角时,.
【解析】∵,
∴为第一或第二象限角.
当为第一象限角时,, .
当为第二象限角时,,
原式.
12.如图在平面直角坐标系中点均在单位圆上已知点在第一象限的横坐标是点在第二象限点
(1)设求的值;
(2)若为正三角形求点的坐标

【答案】
13.【【百强校】2017届黑龙江双鸭山一中高三上学期质检一】已知函数为奇函数,且相邻两对称轴间的距离为.
(1)当时,求的单调递减区间;
(2)将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度,再把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数的图象.当时,求函数的值域.
;(2).

(2)由题意可得:,
∵,∴,
∴,即函数的值域为.
中,角的顶点是原点,始边与轴正半轴重合,终边交单位圆,且.将角的终边按逆时针方向旋转,交单位圆.记.
(Ⅰ),求;
(Ⅱ)作轴的垂线,垂足依次为.记△ 
的面积为,△的面积为.若,求角的值. 

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅰ),.………………2分
因为 ,,
所以 .     ………………3分
所以 .              ………………5分
















高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识!


































本网部分资源来源于会员上传,除本网组织的资源外,版权归原作者所有,如有侵犯版权,请联系并提供证据(kefu@gkxx.com),三个工作日内删除。

精品专题more

友情链接:初中学习网人民网高考网易高考高中作文网新东方冬令营