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2017届高三数学(理)黄金考点总动员:考点10 定积分

资料类别: 数学/同步

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2017届高三数学33个黄金考点总动员
考点11 定积分
【考点剖析】1)考查定积分的概念,定积分的几何意义,微积分基本定理.
2)利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程. 	考查角度 		定积分	了解定积分的基本思想;了解定积分的概念	求由曲线围成的平面图形的面积 		微积分基本定理	了解微积分基本定理的含义;会用牛顿-莱布尼茨公式求被积函数是简单的幂函数,正、余弦函数,指数函数的定积分	定积分的计算		2.命题方向预测:
从近两年的高考试题看,本节内容要求较低,定积分的简单计算与利用定积分求平面图形的面积是考查的重点,与相结合是高考的亮点,题型为选择题或填空题,难度中等偏下预测201年命题的主要方向.用定义求定积分的一般方法是:
分割:n等分区间;近似代替:取点ξi;求和:f(ξi)·;取极值:f(x)dx=f(ξi)·.
定积分的性质;
性质2:(为常数)(定积分的线性性质);
性质3:(定积分的线性性质);
推广:
性质4:(其中)(定积分对积分区间的可加性)
推广:
说明:定积分的定义中,限定下限小于上限,即a<b,为了方便计算,人们把定积分的概念扩大,使下限不一定小于上限,并规定:微积分基本定理
一般地,如果f(x)在区间上连续,且F′(x)=f(x),那么f(x)dx=F(x)=F(b)F(a).这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼兹公式.
①(为常数);②;③;④;
⑤;⑥;⑦;⑧;
⑨;⑩.
4.名师二级结论:
一种思想
定积分基本思想的核心是以直代曲,用有限的步骤解决无限过程的问题,其方法是分割求近似,求和取极限,利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就.
一由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知,求导与积分是互为逆运算.
三条性质
(1)常数可提到积分号外;(2)和差的积分等于积分的和差;(3)积分可分段进行.求定积分的利用定义求定积分;利用微积分基本定理求定积分;利用定积分的几何意义求定积分.如:定积分dx的几何意义是求单位圆面积的,所以dx=5)             图(6)                  图(7)


5.课本经典习题:
(1)【人教新课标A版2-2第47页例1】利用定积分的定义,计算的值.

【经典理由】典型的应用定义计算定积分
(2)【人教新课标A版2-2第56页,例1】计算由曲线所围成图形的面积.
【变式】由曲线所围成图形的面积为____________.
【解析】联立 得交点坐标∴,
  ,
而表示单位圆在第一象限内的部分,∴.

6.考点交汇展示:
(1) 定积分计算与几何概型交汇
例1如图,设D是图中边长为2的正方形区域.E是函数的图像与x轴及围成的阴影区域,项D中随机投一点,E中的概率为            (     )
A.           B.         C.        D.

B
(2) 定积分的计算与函数的性质交汇
例2【2015-2016学年灵宝市第一高级中学】若在上可导,,则     )
A.16    B.54    C.﹣24D.﹣18

【解析】因为,所以,所以,
所以.则.
.
选D.
(3) 定积分的计算与二项式定理的应用交汇
例3【【百强校】2016届广东省湛江市普通高考测试题(二)】设,则二项式展开式中含项的系数是(   )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】,∴展开式的通项为
,令得,故展开式中含项的系数是,故选D.
【】__________.
【答案】

2.         .
【答案】.
【解析】.
【方法规律】
计算简单定积分的步骤:
(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差;
(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差;
(3)分别用求导公式求出F(x),使得F′(x)=f(x);

(5)计算所求定积分的值.
【解题技巧】
求定积分的常用技巧:
(1)求被积函数,要先化简,再求积分;
(2)求被积函数为分段函数的定积分,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和;
(3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值号才能积分;
(4)若f(x)是偶函数,则f(x)dx=2f(x)dx若f(x)是奇函数,则f(x)dx=0
定积分几何意义的应用,直线及轴所围成的封闭图形的面积为(   )
A.                         B.                        C.4                      D.6
【答案】A
【解析】由解得,故面积为.
 与直线 所围成的封闭图形的面积为              .
【答案】

【方法规律】
1.定积分的几何意义:定积分表示在区间上的曲线与直线、以及轴所围成的平面图形(曲边梯形)的面积的代数和,即.轴上方的面积取正号,轴下方的面积取负号).
2.求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤:
(1)画出图形,确定图形的范围,通过解方程组求出交点的横坐标.定出积分的下、下限;
(2)确定被积函数,特别要注意分清被积函数的下、下位置;
(3)写出平面图形面积的定积分的表达式;
(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.
利用定积分求曲边图形面积时,一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时,要分不同情况讨论.
概念理解错误
例2014北京西城求曲线f(x)=sin x,x与x轴围成的图形的面积.
错解设曲线f(x)=sin x与x轴围成的图形的面积为S,则.
【剖析】本题的错误在于没有理解定积分的几何意义,当对应的曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值取负值,其面积应是该定积分的相反数.
【正解】对于f(x)=sin x,当x时,f(x)≥0,当x(π,π]时,f(x)<0,.
热点3  定积分意义的应用一辆汽车在公路下行驶,由于遇到紧急情况刹车以速度(t的单位:sv的单位:m/s)至停止. 汽车继续行驶的距离是(    )
... 
【】【方法规律】
利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时,关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计算即得所求.,等于其速度函数在时间区间上的定积分,即.
的作用下做直线运动,并且物体沿着与相同的方向从移动到,那么变力所作的功.
(1)未形成应用定积分解题的意识,造成思维受阻.
(2)不知如何确定刹车后汽车继续行驶的时间,从而不能正确确定积分区间.
(3)求错被积函数的原函数致误.
防范措施:(1)学习数学,要知道知识方法形成的背景以及应用的方面,不能孤立地看待一个知识方法,要用联系的观点去认识(2)分析刹车的过程,可以发现,由速度为零可以得到汽车继续行驶的时间.由此可见,分析过程可以发现规律.【】(     )
A. 0                    B.                     C.                    D. 
【答案】B
【解析】.选B.
.,且,则(   )
A、             B、             C、        D、
【答案】D

3.【【百强校】2016届河南省洛阳市高三考前练习二】若,,,则(   )
A.        B.     
C.        D.
【答案】D
【解析】,
,,
,故选D.
4.设,若曲线与直线,,所围成封闭图形的面积为2,则(   )
A.2   B.e    C.2e    D.
【答案】D
【解析】,∴.
5.如图,阴影部分的面积是(   )
A.2  B.2-C.  D.
5.【2015-2016学年河南商丘一高中】若,则A.    B.    C.    D.
【答案】B
【解析】设. 
6.曲线和曲线围成一个叶形图(如图所示阴影部分),其面积是    (    )
A.1	B.	C.	D.

【答案】D.
【解析】由题意可知阴影部分的面积为与在上的积分之差,因为在上的积分为,在上的积分为,所以
7.已知等差数列的前n项和为,又知,且,,则为(    )
A.	B.C.8     D. 
【答案】C.
8.给出如下命题:
dx=dt=b-a(a,b为常数且a<b);;
③曲线y=sin x,x与直线y=0围成的两个封闭区域的面积之和为2.
其中正确命题的个数为(  )
A.0B.1C.2D.3
【答案】B
【解析】由定积分的性质知错;对于,两个积分都表示个单位圆的面积,

.设,则下列关系式成立的是
A.         B.     C.         D.
.
【】.,故选C.
         .
【答案】

 11.【【百强校】2016届黑龙江哈尔滨一中高三第二次模拟】若,则的值是______.
【答案】
【解析】∵,易得,故答案为.
12.【【百强校】2016届天津市耀华中学高三一模】若函数,则与轴围成封闭图形的面积为            .
【答案】
【解析】.
【解析】当汽车行驶位移最大时,v(t)=0.又v(t)=-t2+4=0且,则t=2,,故填.
13.
【解析】建立空间直角坐标系,如图所示:

原始的最大流量是,设抛物线的方程为(),因为该抛物线过点,所以,解得,所以,即,所以当前最大流量是,故原始的最大流量与当前最大流量的比值是,所以答案应填:.
14. 【【百强校】2017届湖南长沙长郡中学高三摸底】已知,则二项式的展开式中的系数为          .
【答案】-6480















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