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2017届高三数学(理)黄金考点总动员:考点9 导数的应用(单调性极值和最值)

资料类别: 数学/同步

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2017届高三数学33个黄金考点总动员
考点10  导数的应用(单调性、最值、极值)
【考点剖析】1.函数的单调性
在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.
2.函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值;
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x);
②求方程f′(x)=0的根;
③检查f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
3.函数的最值
(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.
(3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下:
①求f(x)在(a,b)内的极值;
②将f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0;
(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值;
(4)回归实际问题作答.
.不等式问题
(1)证明不等式时,可构造函数,将问题转化为函数的极值或最值问题.
(2)求解不等式恒成立问题时,可以考虑将参数分离出来,将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题.
f′(x)>0是f(x)为增函数的条件.
2.函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.
3.函数的极大值不一定比极小值大.
4.对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0点为极值点的条件.
5.函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.可导函数极值存在的条件:
(1)可导函数的极值点x0一定满足f′(x0)=0,但当f′(x1)=0时,x1不一定是极值点.如f(x)=x3,f′(0)=0,但x=0不是极值点.
(2)可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.
.函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的.函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.
.求函数的最值以导数为工具,先找到极值点,再求极值和区间端点函数值,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 
5.课本经典习题:
(1)(选修2—1第77页)抛物线上到直线的距离最小点的坐标是(  )
A     B     C     D

【经典理由】在解析几何中,一些最值问题(如弦长、面积、距离等)常可用导数工具轻松的解决.
(选修2-2第12页第6题)证明:当时,.
【解析】令,则
因为所以
得到即,故上式成立.
【经典理由】在证明不等式时,可根据不等式特点构造函数,用导数判断单调性,利用函数单调性证明不等式,求出函数的最值,由该函数在取得最值时该不等式成立,可得该不等式成立。
(3)(必修5第39页)求和:
【解析】设
由等比数列前n项和公式得
因为所以
而
所以.
【经典理由】要借助导数解决数列问题,关键是构建合理的函数,借助函数的性质考查数列的性质,数列是特殊的函数。故对数列中如求数列的最值项,前n项和的最值,恒成立问题,若用函数思想来解决,往往会收到意想不到的效果。
6.考点交汇展示:
(1)导数与三角函数交汇
例1.【【百强校】2017届湖南益阳市高三9月调研】定义在上的函数,是它的导函数,且恒有成立.则有(   )
A.        B.
C.       D.
【答案】A
例2.设函数.
(Ⅰ)讨论函数在内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;
(Ⅱ)记,求函数在上的最大值D;
(Ⅲ)在(Ⅱ)中,取,求满足时的最大值.
【答案】;(Ⅱ); (Ⅲ)1.
【解析】(Ⅰ),.
,.
因为,所以.
①当时,函数单调递增,无极值.
②当时,函数单调递减,无极值.
③当,在内存在唯一的,使得.
时,函数单调递减;时,函数单调递增.
因此,,时,函数在处有极小值.
(Ⅱ)时,,
当时,取,等号成立,
当时,取,等号成立,
由此可知,函数在上的最大值为.

 (2)导数与数列交汇
例1.已知,函数,记为的从小到大的第个极值点,证明:(1)数列是等比数列
(2)若,则对一切,恒成立.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】(1)
其中,,令,由得,即,,
对,若,即,则,
若,即,则,
因此,在区间与上,的符号总相反,于是
当时,取得极值,∴,
此时,,易知,而                  
是非零常数,故数列是首项为,公比为的等比数列;(2)由(1)知,,于是对一切,|恒成立,即恒成立,等价于()恒成立(∵),
设,则,令,得,
当时,,∴在区间上单调递减;
当时,,∴在区间上单调递增,
从而当时,函数取得最小值,因此,要是()式恒成立,只需,即只需,而当时,,且,于是
,且当时,,因此对一切,,∴,故()式亦恒成立.
综上所述,若,则对一切,恒成立.
【】设函数,曲线在点处的切线方程为,
求的值;
()求的单调区间.
【答案】();()的单调递增区间为

()由()知.
由即知,与同号.
令,则.
所以,当时,,在区间上单调递减;
当时,,在区间上单调递增.
故是在区间上的最小值,
从而.
综上可知,,,故的单调递增区间为.
已知函数.
(1)设的导函数,评论的单调性; 
(2)证明:存在,使得在区间内恒成立,且在内有唯一解.
【答案】时,在区间上单调递增, 在区间上单调递减;当时,在区间上单调递增.(2)详见解析.
【解析】的定义域为,
,
所以.
当时,在区间上单调递增, 
在区间上单调递减;
当时,在区间上单调递增.

当时,有,.
由(1)知,函数在区间上单调递增.
故当时,有,从而;
当时,有,从而;
所以,当时,.
综上所述,存在,使得在区间内恒成立,且在内有唯一解.

(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求f′(x),令f′(x)=0,求出它们在定义域内的一切实数根.
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间.
(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.

【解题技巧】
讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于0或小于0的不等式的解集,一般就是归结为一个一元二次不等式的解集的讨论,在能够通过因式分解得到导数等于0的根的情况下,根的大小是分类的标准
【易错点睛】
(1)注意函数定义域的确定.
(2)解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题,处理好f′(x)=0时的情况;区分极值点和导数为0的点.,,其中
(I)求的单调区间;
(II) 若存在极值点,且,其中,求证:;设,函数,求证:在区间上的最大值不小于.
()

当变化时,,的变化情况如下表:
								+	0	-	0	+			单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增		所以的单调递减区间为,单调递增区间为,.
()证明:因为存在极值点,所以由()知,且,由题意,得,即,
进而.
又
,且,由题意及()知,存在唯一实数满足 ,且,因此,所以;
()证明:设在区间上的最大值为,表示两数的最大值.下面分三种情况同理:
(1)当时,,由()知,在区间上单调递减,所以在区间上的取值范围为,因此


,所以.
(3)当时,,由()和()知,
,,
所以在区间上的取值范围为,因此


.
综上所述,当时,在区间上的最大值不小于.
,其中是自然数的底数.
(1)当时解不等式
(2)若,试判断在上是否有最大或最小值说明你的理由
【答案】(1);(2)在上有最小值无最大值
【解析】(1)因为,所以不等式即为
又因为,所以不等式可化为
所以不等式的解集为

【方法规律】
1.求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求方程f′(x)=0的根.
(3)用方程f′(x)=0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并形成表格.
(4)由f′(x)=0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个根或不可导点处取极值的情况.
2.函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展.从函数图象上可以直观地看出:如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值,只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较,就可以求出函数的最大(小)值.
【解题技巧】
1.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.
2.对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.
3.可导函数极值存在的条件:
(1)可导函数的极值点x0一定满足f′(x0)=0,但当f′(x1)=0时,x1不一定是极值点.如f(x)=x3,f′(0)=0,但x=0不是极值点.
(2)可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.
4.函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的.函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.
5.求函数的最值以导数为工具,先找到极值点,再求极值和区间端点函数值,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 
【易错点睛】
(1)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论;另外注意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念.
(2)f′(x0)=0是y=f(x)在x=x0取极值的既不充分也不必要条件.
如①y=|x|在x=0处取得极小值,但在x=0处不可导;
②f(x)=x3,f′(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的极值点.
(3)若y=f(x)可导,则f′(x0)=0是f(x)在x=x0处取极值的必要条件.
【易错点】判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点,所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性,然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值.
热点3 利用导数研究综合问题
 1.【2016高考新课标1卷】(本小题满分12分)已知函数有两个零点.
(I)求a的取值范围;
(II)设x1,x2是的两个零点,证明:.
【答案】
(iii)设,由得或.
若,则,故当时,,因此在上单调递增.又当时,,所以不存在两个零点.
若,则,故当时,;当时,.因此在单调递减,在单调递增.又当时,,所以不存在两个零点.
综上,的取值范围为.
(Ⅱ)不妨设,由(Ⅰ)知,,在上单调递减,所以等价于,即.
由于,而,所以
.
设,则.
所以当时,,而,故当时,.
从而,故.
.
(1)若函数在处有极值,求函数的最大值;
(2)①是否存在实数,使得关于的不等式在上恒成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由;
②证明:不等式
【答案】(1)最大值为;(2)①的取值范围是;②证明见解析.

(2)①由已知得:
()若,则时,
所以在上为减函数
在上恒成立;

()若,则时,
所以在上为增函数
,不能使在上恒成立;
()若,则时,
当时,
所以在上为增函数,
此时
所以不能使在上恒成立
综上所述,的取值范围是

【方法规律】
利用导数证明不等式要考虑构造新的函数,利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.比如要证明对任意x∈[a,b]都有f(x)≥g(x),可设h(x)=f(x)-g(x)只要利用导数说明h(x)在[a,b]上的最小值为0即可.解题技巧总结如下:
(1)树立服务意识:所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解决出来),如函数的单调性、最值等,服务于第二问要证明的不等式.
(2)强化变形技巧:所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手,可考虑对不等式进行必要的等价变形后,再去证明.例如采用两边取对数(指数),移项通分等等.要注意变形的方向:因为要利用函数的性质,力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.
(3)巧妙构造函数:所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征,构造函数,利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样,注意积累经验,体现一个“巧妙”.
【解题技巧】
1.利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
2.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较.
1.函数f(x)在某个区间内单调递增,则f′(x)≥0而不是f′(x)>0 (f′(x)=0在有限个点处取到).
2.利用导数解决实际生活中的优化问题,要注意问题的实际意义.【】在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(   )
A.                       B.                      C.                   D.
【答案】A
2.【【百强校】2017届河南濮阳第一高级中学高三上学期检测二】已知函数的导函数是,且,则实数的值为(   )
A.                           B.                        C.                     D.1
【答案】B
【解析】由可得,由可得,解之得.故选B.
3. 【【百强校】2017届广西陆川县中学高三8月月考】设函数的导函数为,且,,则下列不等式
成立的是(   )
A.                       B.
C.                       D.
【答案】B
【解析】构造辅助函数,则,因为,所以,所以函数为实数集上的单调递减函数,则,因为,,又,所以,所以,故选B.
4.已知函数,若时,,则的最小值为(    )
A.     B.       C.     D.
【答案】B
5.已知是定义在上的单调函数,且对任意的,都有,则方程的解所在的区间是(    )
A.(0,)    	B.(,1)    	C.(1,2)    	D.(2,3)
【答案】C
【解析】因为是定义在上的单调函数,故存在唯一的,使得,设,则,故,得,故,,则,设,因为,,故解在区间.=,其中a1,若存在唯一的整数,使得0,则的取值范围是(  )
(A)[-,1)  (B)[-,)   (C)[,)   (D)[,1)
【答案】D

7. 【【百强校】2017届安徽六安一中高三上学期开学】已知定义域为的偶函数,其导函数为,对任意正实数满足,若,则不等式的解集是(   )
A.    B.    C.    D.
【答案】C
【解析】因为定义域为的偶函数,所以,对任意正实数满足,所以,因为,所以,所以函数在上单调递增,所以在上单调递减,由不等式,所以或,解得或,故选C.
8. 【【百强校】2017届山东潍坊中学高三上学期开学】函数是定义在上的可导函数,其导函数为且有,则不等式的解集为(   )
A.        B.
C.        D.
【答案】A

9.已知定义在上的函数,且, 有穷数列()前项和于等于________.
【答案】5
【解析】,因为,所以,即函数单调递减,所以.又,即,即,解得(舍去)或.所以,即数列为首项为,公比的等比数列,所以,由得,解得.
10.【【百强校】2017届广西陆川县中学高三8月月考】若函数在上存在单调递增区间,则实数的取值范围是          .
【答案】
【解析】因为函数,所以,因为在上存在单调递增区间,所以,即有解,令,则,则,所以当时,;当时,,当时,,所以.
11. (本小题满分12分)设函数,其中
(I)当时,求的极值点;
(II)若在上为单调函数,求的取值范围.
【答案】(I)是极值点,是极值点II).

	所以随x变化而变化的情况为:
								+	0	-	0	+				极大值		极小值			


所以,是极值点,是极值点.(II)若为上的单调函数,,所以当时,即在上恒成立。                           ……………8分
(1)当时,,
所以 在上恒成立;                    ……………9分

12.(本题满分12分)已知函数,
(Ⅰ)若有最值,求实数的取值范围;
(Ⅱ)当时,若存在,使得曲线在与处的切线互相平行,求证.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析
【解析】
(Ⅰ) ,
由知,
①当时,,在上递增,无最值;
②当时,的两根均非正,因此,在上递增,无最值;
③当时,有一正根,在上递减,在上递增;此时,有最小值;
所以,实数的范围为.                                …………7分
(14分)已知.
(1)求的单调区间和极值;
(2)是否存在,使得在的切线相同?若存在,求出及在处的切线;若不存在,请说明理由;
(3)若不等式在恒成立,求的取值范围.
(1)求导得,
															递减	极小值	递增	极大值	递减		由表可知,在,上单调递减,在上单调递增.极小值为,极大值为………………………………………………………………………………4分
(2)存在.
求导得:.
在的切线相同,则,即,作出的图象观察得.
又,由此可得它们在的切线为的切线……………………………9分
().
(1)当时,讨论的单调性
(2)求在区间上的最小值
【答案】(1)的增区间为,减区间为时的最小值为当时的最小值为当时的最小值为
【解析】(1)当时.
①当时,,
∴在单调递增
②当时,.
时,,∴在单调递减
时,∴在单调递增
综上,的增区间为,减区间为
(2)①时,,
,.
②时,,
,在单调递增
∴.
③时,而,
∴
(i)时在上单增为最小值
在上恒成立
∴在上单调递减
∴.















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