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2017届高三数学(理)黄金考点总动员:考点08 导数的运算及其几何意义

资料类别: 数学/同步

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2017届高三数学33个黄金考点总动员
考点9  导数的运算及其几何意义
【考点剖析】的导数)
2.命题方向预测:
导数的概念、导数的运算、导数的几何意义等是重点知识,基础是导数运算.导数的几何意义为高考热点内容,考查题型多为选择、填空题,也常出现在解答题中前问,难度较低.归纳起来常见的命题探究角度有:
求切线方程问题.
确定切点坐标问题.
已知切线问题求参数.
切线的综合应用.1. 基本初等函数的导数公式
原函数	导函数		f(x)=c(c为常数)	f′(x)=0		f(x)=xn(n∈Q*)	f′(x)=nxn-1		f(x)=sin x	f′(x)=cosx		f(x)=cos x	f′(x)=-sinx		f(x)=ax	f′(x)=axlna		f(x)=ex	f′(x)=ex		f(x)=logax	f′(x)=		f(x)=ln x	f′(x)=		2.导数的运算法则
(1) [f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
(2) [f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
(3)(g(x)≠0).
 (4) 复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
 函数y=f(x)在x=x0处的导数几何意义:
在点处的导数就是曲线在点处的切线和斜率,即.
相应地,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
时,原油的温度(单位:℃)为.计算第与第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

【经典理由】结合具体的实例,给出了结论:反映了原油温度在时刻附近的变化情况,阐述了导数的意义:导数可以描述瞬时变化率.
新课标A版选修2-2第17页,例4 求下列函数的导数(1);(2);(3)其中,均为常数;
【解析】(1)函数可以看作函数和的复合函数,根据复合函数求导法则有;(2)函数可以看作函数和的复合函数,根据复合函数求导法则有;(3)函数可以看作函数和的复合函数,根据复合函数求导法则有.
【经典理由】结合具体的例题,说明了复合函数求导的一般方法.
6.考点交汇展示:
(1)导数与函数图象相结合
例1.【【百强校】2017届黑龙江双鸭山一中高三上学期质检一】如图,函数的图象在点处的切线方程是,则        .

【答案】
 (2)导数与不等式相结合
例2.设函数是奇函数的导函数,,当时,,则使得成立的的取值范围是A.            B.
C.           D.
【答案】A
【解析】记函数,则,因为当时,,故当时,,所以在单调递减;又因为函数是奇函数,故函数是偶函数,所以在单调递减,且.当时,,则;当时,,则,综上所述,使得成立的的取值范围是【】导数的运算的导函数为,且满足,则(   )
A.               B.                 C.                  D.
【答案】B

2.【【百强校】2017届河南濮阳第一高级中学高三上学期检测二】已知是的导函数,且,则实数的值为(   )
A.                       B.                       C.                        D.1
【答案】B
【解析】由题意可得,由可得,解之得,故选B.

3.【2015-2016学年安徽省淮南二中】下列求导运算正确的是(   )
A.            B.
C.             D.
【答案】B
【方法规律】导数运算时,要注意以下几点:
尽可能的把原函数化为幂函数和的形式;
遇到三角函数求导时,往往要对原函数进行化简,从而可以减少运算量;
求复合函数的导数时,要合理地选择中间变量.
热点2  导数的几何意义
1. 【是曲线的切线,也是曲线的切线,则        .
【答案】
【解析】对函数求导得,对求导得,设直线与函数相切于点,与函数相切于点,则,则点在切线上得,由在切线上得,这两条直线表示同一条直线,所以,解之得,所以,所以.
2.【2016年河南郑州高三二模】曲线在点处的切线平行于直线,则点的坐标为( )
A.      B.       C.和       D.
【答案】C.
【解析】因,令,故或,所以或,经检验,点,均不在直线上,故选C.
3.【2016高考新课标3理数】已知为偶函数,当时,,则曲线在
点处的切线方程是_______________.
【答案】
【方法规律】
曲线的切线的求法:
若已知曲线过点,求曲线过点的切线则需分点是切点和不是切点两种情况求解.
(1)点是切点的切线方程为.
(2)当点不是切点时可分以下几步完成:
第一步:设出切点坐标;
第二步:写出过的切线方程为;
第三步:将点的坐标代入切线方程求出;
第四步:将的值代入方程可得过点的切线方程.
热点3  导数的几何意义的应用
1.【2016年高考四川理数】设直线l1,l2分别是函数f(x)= 图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是(    )
(A)(0,1)  (B)(0,2)  (C)(0,+∞)  (D)(1,+∞)
【答案】
【解析】(不妨设),则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为,切线的方程为,即.分别令得又与的交点为,,,.故选A.
2.【【百强校】2017届河南省天一大联考高三上学期段测一】函数在点处的切线与函数的图象也相切,则满足条件的切点的个数有________个.
【答案】

3. 【【百强校】2015-2016学年湖北省孝感高中】已知函数 
1)求曲线在点处的切线方程;
2)如果过点可作曲线的三条切线, 求实数的取值范围.
;(2) .

(2).
,
即.
由题意, 上述关于方程有三个不同的实数解.
记

【解题技巧】
导数的应用除研究切线方程外,还有许多应用,如:
因为有些物理量,如瞬时速度,瞬时加速度,瞬时功率,瞬时电流和瞬时感应电动势等与导数有着直接或间接的关系,在解题时应紧扣这些联系来解决问题;
利用导数的性质求解参数的取值范围问题,解决这类问题的一般方法是待定系数法,即根据题设条件,利用导数工具所列出所需的方程或方程组,然后加以求解即可.
【易错点睛】
利用导数解决恒成立或存在性问题的基本思想是转化成函数的最值问题,利用导数来判断函数的单调性求七最值,在过程中,通常会用到分离变量法或者含参讨论以及构造函数.此外,在分析题目描述的问题是需分析清楚到底是恒成立问题还是存在性问题.
【】
的图象上存在两点使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直则称具有T性质
(A)(B)(C)(D)

【解析】由函数的图象在两点处的切线互相垂直
当时,,有,所以在函数图象存在两点使条件成立,故A正确;函数的导数值均非负,不符合题意,故选A.
2.【2015-2016学年安徽省淮南二中】已知函数的图像在点处的切线方程是,若,则(    )
A.          B.        C.       D.2


3.设曲线在点处的切线方程为,则 (    )
A. 0       B. 1      C. 2       D. 3 
【答案】D
【解析】因为,所以切线的斜率为,解得,故选D.
4.【【百强校】2017届湖南长沙长郡中学高三摸底】等比数列中,,函数,则(   )
A.    B.     C.     D.
【答案】C
【解析】,
所以.故选C.
5.【【百强校】2016届山东省烟台二中高三第六次月考】已知,则等于
A.            B.            C.             D.

【解析】令,则,因此则根据求导公式有.故选C.
6.【【百强校】2017届四川省成都市高中毕业班摸底】曲线在点处的切线方程是(   )
A.          B.           
C.          D.
【答案】A
7.已知函数,则曲线在点处的切线方程为___________. 
【答案】
【解析】,, 切线方程 ,即.
8.已知,为抛物线上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为_________.
【答案】.
【解析】因为点,的横坐标分别为,,代入抛物线方程得,的纵坐标分别为,,
由,则,所以,
过点,的抛物线的切线的斜率分别为,,
所以过点,的抛物线的切线方程分别为, 
联立方程组解得, 
9.曲线在处的切线方程为    .
【答案】
【解析】根据题意切点的横坐标为0,因为切点在曲线上且,所以切点坐标为,对函数求导可得,又因为切线的斜率为导函数在切点处的导数值,所以切线的斜率为,则根据直线点斜式可以求的直线的方程为,故填.
10.【解析团队学易高考冲刺金卷】已知向量,,若,则在处的切线方程为        .
【答案】
已知偶函数在R上的任一取值都有导数且,则曲线在处的切线的斜率为                 .
.,得,可知函数的周期为4,又函数为偶函数,所以,即函数的对称轴为,所以,所以函数在处的切线的斜率.

12.【【百强校】2016届江西师大附中高三上学期期末】已知函数的图象在点处的切线方程是,则   .
【答案】
【解析】由函数在某点的导数等于函数在该点的切线的斜率可知,有点必在切线上,代入切线方程,可得,所以有.

    13.已知点在曲线(其中为自然对数的底数)上,为曲线在点处的切线的倾斜角,则 的取值范围是        .
【答案】  
14.【【百强校】2017届宁夏石嘴山三中高三上学期月考一】已知函数的图象过点,且在点处的切线方程.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数与的图像有三个交点,求的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由的图象经过点,知
所以,则
由在处的切线方程是知,即.所以即解得.
故所求的解析式是.

(2)因为函数与 的图像有三个交点有三个根, 即有三个根
令,则的图像与图像有三个交点.
接下来求的极大值与极小值.
∴,令,解得或,
当或时,;当时,,
∴的增区间是,;减区间是,
的极大值为,的极小值为因此.w














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