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2017届高三数学(理)黄金考点总动员:考点07 函数与方程

资料类别: 数学/同步

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2017届高三数学33个黄金考点总动员
【考点剖析】
1.最新考试说明:
1)结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
2)根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解.
2.命题方向预测:
1)考查具体函数的零点个数和零点的取值范围.利用函数零点求解参数的取值范围.考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化思想和数形结合思想.3.课本结论总结:
几个等价关系方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y=f(x)在区间上的图象是不断的一条曲线,并且有,那么,函数y=f(x)在区间a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系:
	Δ>0	
Δ=0	Δ<0		二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象	 	 	 		与x轴的交点	 (x1,0),(x2,0)	 (x1,0)	 		零点个数	 两个	 一个(二重的)	 零个		(4)给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:
①确定区间,验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;
②求区间(a,b)的中点c;
③计算f(c);
(i)若f(c)=0,则c就是函数的零点;
ii)若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c));
(iii)若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).
④判断是否达到精确度ε.即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复②③④.
4.名师二级结论:
(1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点分布情况
根的分布(m<n<p为常数)	图象	满足的条件		x1<x2<m (两根都小于m)				m<x1<x2 (两根都大于m)				x1<m<x2 (一根大于m,一根小于m)		f(m)<0		x1,x2(m,n) (两根位于m,n之间)				m<x1<n<x2<p (两根分别位于m与n,n与p之间)				只有一根在m,n之间		或f(m)·f(n)<0		有关函数零点的重要结论:
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.
(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值符号可能不变,也可能改变.(4)函数至多有个零点5.课本经典习题:
(1) 新课标A版修第页,例的零点的个数.
【答案】仅有一个零点
【经典理由】。
(2) 【课本典型习题】的所在的区间是(  )
A.(0,1)  B.(1,2)C.(2,3)  D.(3,4)

【经典理由】,在教学中应引起足够的重视.
6.考点交汇展示:
(1)
例1若关于的方程在区间上有唯一的实数解,则的取值范围为        .
【答案】
 (2) 函数的零点与不等式交汇
例已知函数在R上单调递减,且关于x的方程恰有两个不相等的实数解,则的取值范围是_________.


 (3) 函数的零点与函数的最值、极值等交汇例上的函数对任意都有且函数的图象关于满足不等式则当时的取值范围是
A.           B.      C.        D.
【答案】D
【解析】设,则.由,知,即,所以函数为减函数.因为函数的图象关于成中心对称,所以为奇函数,所以,所以,即.因为,而在条件下,易求得,所以,所以,所以,即,故选D.
【考点分类】
热点1,其中均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是        .(写出所有正确条件的编号)
  ①;②;③;④;⑤.
【答案】
【解析】令,求导得,当时,,所以单调递增,且至少存在一个数使,至少存在一个数使,所以必有一个零点,即方程仅有一根,故④⑤正确;当时,若,则,易知,在上单调递增,在上单调递减,所以,
,要使方程仅有一根,则或者
,解得或,故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实 根的是①③④⑤.
2.【【百强校】2017届河南濮阳第一高级中学高三上学期检测二】已知函数.
(1)求方程的根;
(2)求证:在上是增函数;
(3)若对于任意,不等式恒成立,求实数的最小值.
【答案】(1)或;(2)证明见解析;(3).
【解析】(1)解:方程,即,亦即,∴或.
∴或.
(2)证明:设,
则,
∴,∴在上是增函数.

【方法规律】
1.方程的根(从数的角度看)、函数图象与x轴的交点的横坐标(从形的角度看)、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式.
2.函数零点的判断:
(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落在给定区间上;
(2)利用函数零点的存在性定理进行判断首先看函数y=fx在区间上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=fx)在区间a,b内必有零点.(3) 数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【解题技巧】函数零点的求法:
①(代数法)求方程的实数根;
②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。
的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数在区间上的图象是否连续,再看是否有·.若有,则函数在区间内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
3.确定方程在区间上根的个数的方法
(1)解方程法:当对应方程易解时,可先解方程,看求得的根是否落在区间上再判断.
(2)数形结合法:通过画函数与的图象,观察其在区间上交点个数来判断.
4.函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点:令,如果能求出解,则有几个解就有几个零点;
(2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线,且·,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;
(3)利用图像交点的个数:画出两个函数的图像,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数,其步骤是:
(1)令;
(2)构造,;
(3)作出图像;
(4)由图像交点个数得出结论.
【易错点睛】
例若函数f(x)在区间上的图象是连续不断的曲线,且f(x)在(-2,2)内有一个零点,则f(-2)·f(2)的值(  )
A.大于0  B.小于0C.等于0  D.不能确定解答若函数f(x)在(-2,2)内有一个零点,该零点可分两种情况:(1)该零点是变号零点,则f(-2)·f(2)<0;(2)该零点是非变号零点,则f(-2)·f(2)>0,因此选D.
易错警示 警示1:错误认为该零点是变号零点;警示2:不知道非变号零点这种情况.方法剖析方程的根或函数零点的存在性问题,可以根据区间端点处的函数值的正负来确定,但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性,在给定的区间上,如果函数是单调的,它至多有一个零点,如果不是单调的,可继续细分出小的单调区间,再结合这些小的区间的端点处函数值的正负,作出正确判断.本题的解答错误在于没有正确理解函数零点的含义及存在性,事实上,当f(x)在(-2,2)内有一个零点时,f(-2)·f(2)的符号不能确定.要注意对于在区间上的连续函数f(x),若x0是f(x)的零点,却不一定有f(a)·f(b)<0,即f(a)·f(b)<0仅是f(x)在上存在零点的充分条件,而不是必要条件.注意以下两点:
①满足零点存在性定理条件的零点可能不唯一;
②不满足零点存在性定理条件时,也可能有零点.③由函数在闭区间上有零点不一定能推出·,如图所示.所以·是在闭区间上有零点的充分不必要条件. 
①如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线,并且函数在区间上是一个单调函数,那么当·时,函数在区间内有唯一的零点,即存在唯一的,使.
②如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线,并且有·,那么,函数在区间内不一定没有零点.
③如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线,那么当函数在区间内有零点时不一定有·,也可能有·.
热点2函数零点的应用,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是(    )
A.       B.       C.      D.
【答案】C
【解析】当时,,函数有两个零点和,不满足题意,舍去;当时,,令,得或.时,;时,;时,,且,此时在必有零点,故不满足题意,舍去;当时,时,;时,;时,,且,要使得存在唯一的零点,且,只需,即,则,选C.
2.【【百强校】2017届湖北武汉市部分学校高三上学期起点考】已知有的取值范围是
【答案】
【方法规律】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路1.直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;2.分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;3.数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
【解题技巧】
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解.

数形结合法:根据两函数图象的交点的对称性等进行计算与比较大小.
3.在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时,数形结合是基本的解题方法,即把方程分拆为一个等式,使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式,然后构造两个函数,,即把方程写成的形式,这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数,可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.
【易错点睛】用二分法求函数零点近似值的步骤须注意的问题:
①第一步中要使:(1)区间长度尽量小;(2) ,的值比较容易计算且·.
②根据函数的零点与相应方程根的关系,求函数的零点与求相应方程的根是等价的.对于求方程的根,可以构造函数,函数的零点即为方程 的根.
③求函数零点近似值的关键是判断区间长度是否小于精确度,当区间长度小于精确度时,运算即告结束,此时区间内的任何一个值均符合要求,而我们通常取区间的一个端点值作为近似解.
【】
1.内的零点个数为(   )
A.0    B.1    C.2    D.3
【答案】B

2.【【百强校】2015-2016学年广西河池市高级中学】已知是的零点,若,则的值满足(   )
A.    B.    
C.      D.的符号不确定
【答案】B
【解析】因为在上是增函数,是函数的零点,则,所以时,,故选B.
3.函数f(x)=有且只有一个零点的充分不必要条件是(   )
A.a<0   B.01
【答案】A
4.设函数,若和是函数的两个零点,和是的两个极值  点,则等于(      )
A.	      B.		     C.        D. 
【答案】C
【解析】,若和是函数的两个零点,即和是方程得到,,,由已知得和是的两根,所以,故选C.
5.,函数恰有三个不同的零点,则的取值范围是(   )
A.    B.    C.    D.
【答案】D
【解析】,而方程的解为,方程的解为或,所以,解得,所以的取值范围是,故选D.
6. 【【百强校】2017届河北衡水中学高三摸底联考】已知函数,则关于的方程实根个数不
A.个    B.个    C.个    D.个
【答案】D

7.是定义在实数集上的以2为周期的偶函数,当时,.若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点,则实数的值是(     ) 
A.或;   B.0;C.0或;  D.0或.
【答案】D
【解析】根据已知可得函数,在直角坐标系中作出它的图象,如图,再作直线,可见当直线与抛物线相切时,或者直线过原点时,符合题意,此时或.

8.上的函数的单调增区间为,若方程恰有4个不同的实根,则实数的值为(     )
A.    B.    C.1    D.-1
【答案】B

9.函数若关于的方程有五个不同的实数解,则的取值范围是   B.  C.  D. 
【答案】B
【解析】∵,∴,∴或,
∴由图像可知:的取值范围是在区间上存在一个零点,则实数的取值范围是(   )
A.                B.
C.或       D.
【答案】C
【解析】函数在区间上存在一个零点,则,即 ,解得或 故选C.
11.【【百强校】2017届湖南益阳市高三9月调研】设函数,其中表示不超过的最大整数,如,,.若直线与函数的图象恰有三个不同的交点,则的取值范围是(   )
A.    B.    C.    D.
【答案】D

12.【成都七中高2014届高三3月高考模拟考试】设函数,则函数的零点个数为       个.
【答案】3
【解析】的图象向上平移个单位得的图象,由图象可知,有3个零点.

13.已知函数恰两个零点,则实数的取值范围为
【解析】

14.设函数
①若,则的最小值为		;
②若恰有2个零点,则实数的取值范围是		.
或
【解析】①时,,函数在上为增函数,函数值大于1,在为减函数,在为增函数,当时,取得最小值为1;
在时与轴有一个交点,则,并且当时,
,则,函数与轴有一个交点,所以;
若函数与轴有无交点,则函数与轴有两个交点,当时与轴有无交点,在与轴有无交点,不合题意;当时,,与轴有两个交点,和,由于,两交点横坐标均满足;综上所述的取值范围或
15. 【【百强校】2017届山东枣庄三中高三9月质检】已知二次函数.
(1)若,且函数的值域为,求函数的解析式;
(2)若,且函数在上有两个零点, 求的取值范围
【答案】(1)(2)
16.【【百强校】2017届江西上高县二中高三上学期开学考】已知的定义域为.
(1)求的值;
(2)若,且关于的方程在上有解,求的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】(1),,.
由题设知道,.
(2)由题设知,关于的方程在上有解,令,
易知在上单增..















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