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2017届高三数学(理)黄金考点总动员:考点06 函数的图象

资料类别: 数学/同步

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2017届高三数学33个黄金考点总动员
考点7  函数的图象
【考点剖析】在实际情境中,会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数.
会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式的解的问题.
会用数形结合思想、转化与化归思想解决数学问题.从近年的高考试题来看,主要考查图象的辨识以及利用图象研究函数的性质、方程不等式的解,多以选择题的形式出现,属中低档题,主要考查基本初等函数的图象及应用2017年高考对本节内容的考查仍将以函数图象的应用为主,题型选择题的形式.备考时要求熟练掌握各种基本初等函数的图象及性质,加强函数性质的应用意识,另外还应熟练掌握各种图象变换的法则.画函数图象的一般方法
:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征直接作出轴的交点等.
②图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序,对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.的图象可由函数的图象向左(+)或向右(—)平移个单位得到;
上下平移:()的图象可由函数的图象向上(+)或向下(—)平移个单位得到;
②伸缩变换
函数是将函数图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的得到;
函数是将函数图象上各点的横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍的得到;
③对称变换
函数图象关于轴对称得到函数图象;
函数图象关于轴对称得到函数图象;
函数图象关于原点对称得到函数图象;
函数图象关于直线对称得到函数为图象.
④翻折变换
函数的图象这样得到:函数在轴右侧的图象保持不变,左侧的图象去掉后,再将右侧的图象翻折到轴左侧(函数为偶函数,其图象关于轴对称);
函数的图象是这样得到的:函数在轴上方的图象保持不变,把下方的图象关于轴对称到上方(注意到函数的函数值都大于零).
4.名师二级结论:
(1)函数图象的几个应用
①判断函数的奇偶性、确定单调区间:图象关于原点对称是奇函数,图象关于y轴对称是偶函数.图象从左到右上升段对应的的取值范围是增区间,下降对应的的取值范围是减区间.
②方程的根就是函数与函数图象交点的横坐标.
③不等式的解集是函数的图象在函数图象上方的一段对应的的取值范围(交点坐标要通过解方程求得)
(2)函数的图象的对称性
①若函数关于对称对定义域内任意都有=对定义域内任意都有=是偶函数;
②函数关于点(,0)对称对定义域内任意都有=-=-是奇函数;
③若函数对定义域内任意都有,则函数的对称轴是;
④若函数对定义域内任意都有,则函数的对称轴中心为;
⑤函数关于对称.
(3) 明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径.
图象变换:平移变换、伸缩变换、对称变换.
函数解析式的等价变换.
研究函数的性质.
【经典理由】本题主要考查了图象识别,与高考题中的图象识别题很类似
(2) 新课标A版第 25 页,习题1.2  B组第1 题
函数的图象如图所示(图中曲线与直线无限接近,但永不相交).
①函数的定义域是什么?
②函数的值域是什么?
③取何值时,只有唯一的与之对应?

【经典理由】本题主要考查了图象应用,与高考题中的图象识应用很类似
6.考点交汇展示:
(1)与参数范围问题交汇
例1函数的图象如图所示,则下列结论成立的是(   )
(A),,                 (B),,
(C),,                 (D),,

【答案】C
【解析】及图象可知,,,则;当时,,所以;当,,所以,所以.故,,,选C.
 (2)与函数性质交汇
例2【2016届人教版A版高三回顾】函数y=ax﹣a与y=(a0)在同一直角坐标系中的图象可能是(  )
A.           B.
C.           D.
D.
是定义在R上的且以2为周期的偶函数,当时,.如果函数有两个零点,则实数的值为(   )
A. 	B.    C.0	    D.
【答案】D
【解析】设,则 ,,综上,,,,,由于直线的斜率为1,在y轴上的截距等于,在一个周期上,时 满足条件,时,在此周期上直线和曲线相切,并和曲线在下一个区间上图象有一个交点,也满足条件.由于的周期为2,故在定义域内,满足条件的应是 ,k∈Z.故选 D.

(4)与不等式交汇
例4【浙江省温州市2017届高三8月模拟考试】若存在使得不等式成立,则实数的取值范围是      .

【】的图象如下,则的图象是(   )

【答案】A
【解析】由的图象可知,无意义,故在处无意义,故选项为A.
2.在同一直角坐标系中,函数的图象可能是(    )

【答案】D
【方法规律】
1.识图常用的方法
(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题.
(2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题.
(3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.
(4)利用函数本身的性能或特殊点(与、轴的交点,最高点、最低点等)进行排除验证.
2.函数图象的识辨可从以下方面入手:
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.
利用上述方法,排除、筛选错误与正确的选项.
函数图象的分析判断主要依据两点:一是根据函数的性质,如函数的奇偶性、单调性、值域、定义域等;二是根据特殊点的函数值,采用排除的方法得出正确的选项.上,而不是加在上,处理左右平移问题要注意平移方向与平移的长度单位.
2.在图象识别中忽视函数的定义域或有关性质分析不到位导致解题出错.
例 已知定义域为[0,1]上的函数图象如下图左图所示,则函数的图象可能是(  )

【错解】先将的图象沿y轴对折得到的图象,再将所得图象向左平移1个长度单位就得到函数的图象,故选A.
【错因分析】没有掌握图象变换,图象平移长度单位是加在上,而不是加在上,本例因=,故先做对称变换后,应向右平移1长度单位.
【预防措施】先将所给函数化为形式,若先做伸缩变换,再作平移变换,注意平移方向和平移单位.
【正解】因=,先将的图象沿y轴对折得到的图象,再将所得图象向右平移1个长度单位就得到函数的图象,故选B.
热点2  函数图象的应用
1. 函数的图象过一个定点P,且点P在直线上,则的最小值是(   )
A.12		B.13		C.24		D.25
【答案】D

2. 【【百强校】2017届江西上高县二中高三上学期开学考】设是定义在上的偶函数,任意实数都有,且当时,,若函数,在区间内恰有三个不同零点,则的取值范围是(   )
A.                           B.
C.                           D.
【答案】C
【解析】∵是定义在上的偶函数,∴,即,则函数是以为最小正周期的函数,∵当时,,是定义在上的偶函数,∴当时,,结合题意画出函数在上的图象与函数的图象,①若,要使与的图象,恰有个交点,则,即,解得,即, 

②若,要使与的图象,恰有个交点,则,即,解得,综上的取值范围是,故选:C.

3.【2016广东广州一模】已知函数 则函数的零点个数为      个.
【答案】
 
【方法规律】
1.研究函数的性质时一般要借助函数图象,体现了数形结合思想.
2.有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解.
3.方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题来求解.
【解题技巧】
1.为了函数的图象,必须做到以下两点(1)熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如的函数;(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧,来帮助我们简化作图过程..利用函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.
.利用函数的图象研究方程根的转化为两个熟悉的函数的交点由解的个数参数值.一个函数的图象关于原点(y轴)对称与两个函数的图象关于原点(y轴)对称不同,前者是自身对称,且为奇(偶)函数,后者是两个不同的函数对称.的定义域为R,则函数与函数的图象关于(  )
A.直线=0对称    B.直线=0对称   C.直线对称   D.直线=2对称
【错解】∵函数定义在实数集上,且,
∴函数的图象关于直线=0对称,故选B.
【错因分析】错用函数自身对称的结论处理两个函数对称问题.
【预防措施】首先分析要解决的对称问题是自身的对称问题还是两个函数的对称问题,其次要掌握判断函数自身对称的方法和判断两个函数对称的方法.
【正解】函数的图象是将函数的图象向右平移2个单位得到,
而函数=的图象是先将的图象关于=0对称变换得到的图象,再将的图象向右平移2个单位得到,因此函数与函数关于=2对称,故选D.
【】,则的图象大致为(   )


【答案】A
【解析】因为时,在上递增,时,,可得在上递减,在上递增,所以只有选项A合题意,故选A.
2. 【【百强校】2017届山东潍坊中学高三上学期开学考】已知函数对任意的有,且当时,,则函数的大致图象为(   )

【答案】D

3. 【2015-2016学年黑龙江绥棱县一中高二6月】已知函数,是定义在R上的奇函数,当时,,则函数的大致图象为

【答案】D
【解析】由是偶函数,是奇函数,所以是奇函数,图像关于原点对称,排除A,B,当时,所以D正确.
4.偶函数满足,且在时,,则关于的方程在上的根的个数是
A3               B.4              C.5               D.6
【答案】
【解析】由题意可得,.即函数为周期为的周期函数,又是偶函数,
所以,在同一坐标系内,画出函数,的图象,观察它们在区间的交点个数,就是方程在上根的个数,结合函数图象的对称性,共有个交点,故选.

5.【2016届人教版A版高三回顾】函数的大致图象为()

【答案】A

6.【【百强校】2015-2016学年河北唐山一中】已知函数,则函数的大致图象是(   )

【答案】D
【解析】因为函数,所以,故函数仍是分段函数,以为界分段,且在上递减,只有D符合,故选D.
7.已知函数是周期为2的周期函数,且当时,,则函数的零点个数是(  )
A.9            B.10           C.11            D.18

【答案】B
【解析】由于函数是周期为2的周期函数,所以.因为的零点个数等价于方程的根的个数.即函数与函数的个数.又时,.如图所示.共有10个交点,即选B.

8.已知函数其中表示不超过的最大整数,(如,,).若直线与函数的图象恰有三个不同的交点,则实数的取值范围是(   )
A.       B.      C.     D. 
【答案】B

9.若函数满足,当[0,1]时,,若在区间(1,1]上,  方程有两个实数解,则实数m的取值范围是m≤        B.0m<          C.m≤l         D.m<1
【答案】
【解析】有两个零点,即曲线有两个交点.
令,则,所以.
在同一坐标系中,画出的图象(如图所示):直线过定点,所以,满足即选.
  
10.【【百强校】2017届宁夏石嘴山三中高三上学期月考一】已知是定义在上的奇函数, 且,则函数的零点个数为(   )
A.                         B.                      C.                        D.
【答案】D

11.已知函数,.若存在使得,则实数的取值范围是      .
【答案】
【解析】方程变形为,记函数的值域为,函数的值域为,设的取值范围为,则,作出函数和的图象,可见在上是增函数,在上是减函数,且,而函数的值域是,因此,因此.

12.已知函数,设,若,则的取值范围是      .
【答案】.

13.已知函数,则方程恰有两个不同实数根时,实数的取值范围是     .
【答案】

14.已知函数,下列关于函数(其中a为常数)的叙述中:
①对a∈R,函数g(x)至少有一个零点;
②当a=0时,函数g(x)有两个不同零点;
③a∈R,使得函数g(x)有三个不同零点;
④函数g(x)有四个不同零点的充要条件是a<0.
其中真命题有________.(把你认为的真命题的序号都填上).
【答案】②④
【解析】因为
其图象如图所示:

设f(x)=<-<<=-==-<<>=+-===-=①错误;取a==±==②正确;
要使得g(x)恰好有三个不同零点,则t1==-∈(-∪(1,+∞=-③错误;
当a<+-=+=->=-∈(-∈(1,+∞④正确.
 
 














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-1

x

1  2

0

1

y

O

x

C

y

O

y

x

D

O

y

x

B

O

y

x

A






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