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2017届高三数学(理)黄金考点总动员:考点05 基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数、二次函数)

资料类别: 数学/同步

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2017届高三数学33个黄金考点总动员
考点6  基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数、二次函数)
【考点剖析】.
2.理解对数的概念及其运算性质,会用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.
3.理解对数函数的概念,能解决与对数函数性质有关的问题.
4.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x,的图象,了解它们的变化情况.1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点.
2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质,或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点,也是难点,同时考查分类讨论思想和数形结合思想.
3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用,同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想.
4.关于幂函数常以5种幂函数为载体,考查幂函数的概念、图象与性质,多以小题形式出现,属容易题.
5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点;用三个“二次”间的联系解决问题是重点,也是难点.
6.题型以选择题和填空题为主,若与其他知识点交汇,则以解答题的形式出现.
3.课本结论总结:
指数与指数函数
1.分数指数幂
(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是 (a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是 (a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理指数幂的运算性质:aras=ar+s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q.
2.指数函数的图象与性质
1.对数的概念
如果ax=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中__a__叫做对数的底数,__N__叫做真数.
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的运算法则
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
①loga(MN)=logaM+logaN;②loga=logaM-logaN;
③logaMn=nlogaM (n∈R);④logamMn=logaM.
(2)对数的性质
①alogaN=__N__;②logaaN=__N__(a>0且a≠1).
(3)对数的重要公式
①换底公式:logbN= (a,b均大于零且不等于1);
②logab=,推广logab·logbc·logcd=logad.
3.对数函数的图象与性质
1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
(2)二次函数的图象和性质
解析式	f(x)=ax2+bx+c(a>0)	f(x)=ax2+bx+c(a<0)		图象				定义域	(-∞,+∞)	(-∞,+∞)		值域		单调性	在x∈上单调递减;在x∈上单调递增	在x∈上单调递减在x∈上单调递增		对称性	函数的图象关于x=对称		2.幂函数
(1)定义:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)幂函数的图象比较
(3)幂函数的性质比较
特征函数性质y=x	y=x2	y=x3		y=x-1		定义域	R	R	R	[0,+∞)	{x|x∈R且x≠0}		值域	R	[0,+∞)	R	[0,+∞)	{y|y∈R且y≠0}		奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数	非奇非偶函数	奇函数单调性	增	x∈时,减	增	增	x∈(0,+∞) 时,减;x∈(-∞,0)时,减		根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以相互转化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.
指数函数的单调性是由底数a的大小决定的,因此解题时通常对底数a按:0<a<1和a>1进行分类讨论.
换元时注意换元后“新元”的范围.
对数源于指数,指数式和对数式可以互化,对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明.
解决与对数有关的问题时,(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围.
对数值的大小比较方法
化同底后利用函数的单调性作差或作商法利用中间量(0或1)化同真数后利用图象比较.
函数y=f(x)对称轴的判断方法
对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(x1)=f(x2),那么函数y=f(x)的图象关于x=对称.
对于二次函数y=f(x)对定义域内所有x,都有f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件是函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称(a为常数).的图象如图所示,求二次函数的顶点的横坐标的取值范围.

【解析】由图可知指数函数是减函数,所以.
而二次函数的顶点的横坐标为,
所以,即二次函数的顶点的横坐标的取值范围是.
【经典理由】有效把指数函数和二次函数相结合
(2)新课标A版第 60 页,B组第 4 题
设其中确定为何值时,有:
          
比较下列各组数中两个数的大小:
(1)log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5 
(2)log 0 . 3 1 . 8 与 log 0 . 3 2 . 7
(3)log a 5 . 1 与 log a 5 . 9  (且)
【解析】(1)∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数且 3 . 4<8 . 5
∴ log 2 3 . 4 < log 2 8 . 5 
(2)∵ y = log 0 . 3 x 在 ( 0 , + ∞)上是减函数且 1 . 8<2 . 7
∴log 0 . 3 1 . 8>log 0 . 3 2 . 7 
(3)解:当时,∵ y = log a x在( 0 , + ∞) 上是增函数且5 . 1<5 . 9
∴ log a 5 . 1log a 5 . 9,
当0<a<1时,∵ y = log a x在 ( 0 , + ∞) 上是减函数且5 . 1<5 . 9
∴ log a 5 . 1>log a 5 . 9 .
【经典理由】以对数函数为载体,考查对数运算和对数函数的图象与性质的应用 
(4)新课标A版第 822 页,A组第10题
已知幂函数,试求出此函数的解析式,并作出图像,判断奇偶性、单调性.
【分析】根据幂函数的概念设,将点的坐标代入即可求得n值,从而求得函数解析式.要判断函数的奇偶性我们可以根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性,判断函数图象在(0,+∞)的单调性,进而画出函数的图象.
【解析】设,因为幂函数,
,
这个函数解析式为 
定义域为(0,+∞),它不关于原点对称,
所以,y=f(x)是非奇非偶函数
当x>0时,f(x)是单调减函数,函数的图象如图.

,,若,则实数的取值范围为(    )
A.    B.     C.     D.
【答案】C
例2【湖南省长沙市长郡中学2017届高三摸底考试】已知集合,,则(    )
A.    B.   C.   D.
【答案】C
【解析】由题意,,所以.故选C.
 (2)基本初等函数与基本不等式交汇
例1【2016高考新课标3理数】已知,,,则(     )
(A) (B)(C)(D)

【解析】因为,,所以,故选A.
例2【山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2017届高三第一次联考】已知函数,若不等式< 0对任意均成立,则的取值范围为(    )
A.    B.    C.    D.  
【答案】A
【】设a,b都是不等于1的正数,则“”是“”的 
充要条件            (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件      (D)既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
若,则,从而有,故为充分条件. 若不一定有,比如.,从而不成立.故选B.
 函数的单调递增区间为(   )
(0,+∞)  (-∞,0)  C.(2,+∞) (-∞,-2)

【解析】首先由得函数的定义域为(-∞,-2) (2,+∞),则在(0,+∞)是减函数,又因为在(-∞,-2)的单调递增区间为(-∞,-2)
3.已知,,则(     )
A.   B.   C.    D.
【答案】C

【方法规律】
1.求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断,最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决.
2.对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并.
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.比较对数值大小时若底数相同,构造相应的对数函数,利用单调性求解;若底数不同,可以找中间量,也可以用换底公式化成同底的对数再比较.
4.利用对数函数的性质,求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题,必须弄清三方面的问题,一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.
【解题技巧】
1.图像题要注意根据图像的单调性和特殊点判断
2.指数形式的几个数字比大小要注意构造相应的指数函数和幂函数
3.判断指数函数图象上底数大小的问题,可以先通过令x=1得到底数的值再进行比较.
设a>0且a≠1,函数f(x)=alg(x2-2x+3)有最大值,则不等式loga(x2-5x+7)>0的解集为________.
{x|2<x<3}
【】
热点2    幂函数、二次函数
1.已知函数 函数 ,其中,若函数 恰有4个零点,则的取值范围是(     )
(A)    (B)     (C)       (D)
【答案】D
【解析】由得,
所以,
即
,所以恰有4个零点等价于方程
有4个不同的解,即函数与函数的图象的4个公共点,由图象可知.

2.已知函数,若对于任意的都有,则实数的取值范围为       .
【答案】

3.若,则满足的取值范围是      .
【答案】
【解析】根据幂函数的性质,由于,所以当时,当时,,因此的解集为.
【方法规律】
1.二次函数在闭区间上的最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关;
2.常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解,在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值.二次函数、二次方程、二次不等式之间可以相互转化.一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析.(2)在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二次函数的图象、性质求解.
3.幂函数y=xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查
(1)α的正负:α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α<0时,图象不过原点,在第一  象限的图象下降,反之也成立.
(2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1时,曲线下凸;0<α<1时,曲线上凸;α<0时,曲线下凸.
4.二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律:
(1)在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析.
(2)在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二次函数的图象、性质求解.
5.幂函数y=xα(α∈R)图象的特征
α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立.
【解题技巧】
做二次函数类型题是注意数形结合的应用,画出函数的草图能帮助我们理清思路
二次函数中如果含有参数,往往要进行分类讨论
3.对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0,当题目条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况.
4.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
【易错点睛】
1.注意幂函数与指数函数的联系与区别
2.幂函数的增减与α的关系
3.对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0,当题目条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况.
例 如图是函数(m、nN*,m、n互质)的图象,则下列判断正确的是________.
m、n是奇数,且<1
m是偶数,n是奇数且>1
m是偶数,n是奇数且<1
m是奇数,n是偶数且>1
解析:将分数指数式化为根式,由定义域为R,值域为[0,+∞)知n为奇数,m为偶数,又由幂函数y=xα,当α>1时,图象在第一象限的部分下凸,当0<α<1时,图象在第一象限的部分上凸,故正确.
答案:【】内单调递减,并且是偶函数的是(  )
A.	B. 	C.	D.
【答案】C
2.【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试】已知,,则(   )
A.		  B.		 C.		  D.
【答案】C
【解析】由已知可得,所以,所以选C.
3.【2016高考新课标1文数】若,,则
(A)logaccb
【答案】B
【解析】由可知是减函数,又,所以.故选B.本题也可以用特殊值代入验证.
【2016高考新课标1文数】函数在的图像大致为
(A)(B)
(C)(D)

【答案】D
已知函数,且函数恰有3个不同的零点,则实数的取值范围是(      )
A.          B.          C.         D.   
【答案】C
【解析】,其顶点为,点在函数图象上,而点不在函数图象上.结合图形可知,当,函数恰有3个不同的零点.

是定义在实数集上的以2为周期的偶函数,当时,.若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点,则实数的值是(     ) 
A.或;   B.0;C.0或;  D.0或.
【答案】D
7.设函数在区间内有零点,则实数的取值范围是(    )
A.	B.	C.	D.
【答案】C
【解析】∵单调函数在区间(1,2)内有零点,
∴f(1)•f(2)<0
又
则
解得,故选C.
8.函数的零点个数为(    )
A.      B.     C.       D.
【答案】B.
【解析】令,则,即,如图,分别作出与的图象,则可知有两个交点,即零点个数为两个.

9. 【2016高考浙江理数】已知a>b>1.若logab+logba=,ab=ba,则a=    ,b=     .
【答案】.

10.设函数若,则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意,或,解得,当或,解得.
11.已知函数是奇函数,则函数的定义域为       
【答案】
【解析】
本题定义域不确定,不要用奇函数的必要条件来求参数,而就根据奇函数的定义有,即,化简得恒成立,所以,则.由,解得.
12.已知,若存在实数,使函数有两个零点,则的取值范围是           .
【答案】.
13.已知函数,(其中)对于不相等的实数,设,现有如下命题:
(1)对于任意不相等的实数,都有;
(2)对于任意的a及任意不相等的实数,都有;
(3)对于任意的a,存在不相等的实数,使得;
(4)对于任意的a,存在不相等的实数,使得
其中的真命题有             (写出所有真命题的序号)
【答案】①④
【解析】
设.
对(1),从的图象可看出,恒成立,故正确.
对(2),直线CD的斜率可为负,即,故不正确.
对(3),由m=n得,即.
令,则.
由得:,作出的图象知,方程不一定有解,所以不一定有极值点,即对于任意的a,不一定存在不相等的实数,使得,即不一定存在不相等的实数,使得.故不正确.
对(4),由m=-n得,即.
令,则.
由得:,作出的图象知,方程必一定有解,所以一定有极值点,即对于任意的a,一定存在不相等的实数,使得,即一定存在不相等的实数,使得.故正确.
所以(1)(4) 
,记是在区间上的最大值.
证明:当时,;
(2)当,满足,求的最大值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】(1)由,得对称轴为直线,由,得
,故在上单调,∴,当时,由
,得,即,当时,由
,得,即,综上,当时,
;(2)由得,,故,,由,得,当,时,,且在上的最大值为,即,∴的最大值为.















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