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2017届高三数学(理)黄金考点总动员:考点04 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)

资料类别: 数学/同步

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2017届高三数学33个黄金考点总动员
考点5  函数的性质(单调性、奇偶性、周期性)
【考点剖析】1..
3.
4...即的定义域时,是为奇函数的必要非充分条件. 对于偶函数而言有:.
3.确定函数的单调性或单调区间,在解答题中常用:定义法(取值、作差、鉴定)、导数法;在选择、填空题中还有:数形结合法(图像法)、特殊值法等等.
4.若函数的定义域关于原点对称,则可以表示为,该式的特点是:右端为一个奇函数和一个偶函数的和.
5.既奇又偶函数有无穷多个(,定义域是关于原点对称的任意一个数集).
6.复合函数的单调性特点是:“同增异减”;复合函数的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”.复合函数要考虑定义域的变化(即复合有意义).
7.函数与函数的图像关于直线(轴)对称.
8.函数与函数的图像关于直线(轴)对称.
9.函数与函数的图像关于坐标原点中心对称.
10.函数与函数的图像关于直线对称.
四、名师二级结论:
一个防范
函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.例如函数分别在(-∞,0),(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)(0,+∞)内单调递减,只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),不能用“”连接.
函数的定义域关于原点对称是函数奇偶的必要条件.
注意:分段函数判断奇偶性应分段分别证明f(-x)与f(x)的关系,只有当对称的两段上都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性.个
1.已知函数的奇偶性求函数的解析式.
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.
已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数.
常常采用待定系数法:利用f(x)±f(-x)=0产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可得知字母的值.
三种方法
(1)定义法;(2)图象法;(3)法.判断函数的奇偶性三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法.在判断函数是否具有奇偶性时,为了便于判断,有时需要将函数进行化简,或应用定义的变通形式:f(-x)=±f(x)  f(-x)±f(x)=0=±1,f(x)≠0.
.
【经典理由】典型的巩固定义题,可以进行多角度变式.
 (2)新课标人教A版必修一第44页复习参考题A组第八题
设,求证:(1);(2).
【经典理由】典型的巩固定义题,可以进行改编、变式或拓展.
 (3)新课标人教A版必修一第83页复习参考题B组第3题
对于函数(1)探索函数的单调性;(2)是否存在实数a使为奇函数,求证:
(1);(2);(3).
【经典理由】典型的证明函数性质题,可以进行改编、变式或拓展.
六.考点交汇展示:
(1)函数的奇偶性与函数的零点交汇
例1.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是(     )
(A)  (B) (C) (D)
【答案】
【解析】项均不是偶函数,故排除,项是偶函数,但项与轴没有交点,即项的函数不存在零点,故选A.
 (2) 函数的周期性与函数的零点交汇
例2.已知是定义在上且周期为3的函数,当时,,若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是      .
【答案】

 (3) 函数的奇偶性、单调性、周期性等的交汇问题
例3.【河北省定州中学2017届高三上学期周练(四)】函数是定义在上的奇函数,当时,,则方程在上的所有实根之和为(   )
A.0                          B.2                         C.4                         D.6
【答案】C
【解析】由题意可知,当时,由奇函数性质可知,的所有实根之和为,当时,,由得,当当时,,方程无解,所以在区间,方程的所有实根之和为.
【】【2016高考北京文数】下列函数中,在区间 上为减函数的是
A.      B.       C.       D. 
【答案】D
   )
A.              B.                C.             D.
【答案】C
【解析】令,且是奇函数,则,又因为是上的单调函数,所以只有一个零点,即只有一个零点,则,解得,故选C.
3.下列函数中,满足“”的单调递增函数是(   )
(A)      (B)     (C)	(D)
【答案】
【解析】选项:由,,得,所以错误;选项:由,,得,所以错误;选项:函数是定义在上减函数,所以错误;选项:由,,得;又函数是定义在上增函数,所以正确.故选
【方法规律】
1.对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法:
(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解.
(2)可导函数则可以利用导数解之.但是,对于抽象函数单调性的证明,一般采用定义法进行.
2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致.
(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.
(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义确定单调区间.
(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.
(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.
3.函数单调性的应用:f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性,则f(x1)
        
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