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2017年高考数学(文)一轮复习精品资料:专题53 参数方程(教学案)(原卷版)

资料类别: 数学/同步

所属版本: 通用

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1.了解参数方程,了解参数的意义.
2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
3.了解圆的平摆线、渐开线的形成过程,并能推导出它们的参数方程.
 
参方程和普通方程的互化
1.参方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.将参数方程化为普通方程需消去参数.
(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y=g(t),那么就是曲线的参数方程.
在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.
2.几种常见的参数方程
(1)圆的参数方程
若圆心在点M0(x0,y0),半径为r,则圆的参数方程为(θ为参数).
(2)椭圆+=1(a>b>0)的参数方程为(θ为参数).
(3)双曲线-=1(a>0,b>0)的参数方程为(θ为参数).
(4)抛物线y2=2px(p>0)的参数方程为(t为参数).
直线参数方程
利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法
经过点P(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).若A,B为直线l上两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为t0,则以下结论在解题中经常用到:
(1)t0=;
(2)|PM|=|t0|=;
(3)|AB|=|t2-t1|;
(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|.
直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时,t才有几何意义且其几何意义为:|t|是直线上任一点M(x,y)到M0(x0,y0)的距离,即|M0M|=|t|.
极坐标与参数方程的综合应用规律
1.化归思想的应用,即对于含有极坐标方程和参数的题目,全部转化为直角坐标方程后再求解.
2.数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用ρ和θ的几何意义,直接求解,能达到化繁为简的解题目的.
参方程和普通方程的互化
1.将下列参数方程化为普通方程.
(1) (2)
已知曲线C的参数方程为(t为参数,t>0),求曲线C的普通方程.

参数方程化为普通方程,主要用“消元法”消参,常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等.在参数方程化为普通方程时,要注意保持同解变形.
直线参数方程 
设直线l的参数方程为(t为参数,α为倾斜角),圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)若直线l经过圆C的圆心,求直线l的斜率;
(2)若直线l与圆C交于两个不同的点,求直线l的斜率的取值范围.

1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题.
2.对于形如(t为参数).
当a2+b2≠1时,应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.
已知直线l:x+y-1=0与抛物线y=x2相交于A,B两点,求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.
极坐标与参数方程的综合应用规律
 在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acos θ(a>0),过点P(-2,-4)的直线l:(t为参数)与曲线C相交于M,N两点.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数a的值.
解:(1)把代入ρsin2θ=2acos θ,
得y2=2ax(a>0),
(t为参数),消去t得x-y-2=0,
∴曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2=2ax(a>0),x-y-2=0.
(2)将(t为参数)代入y2=2ax,
整理得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.
设t1,t2是该方程的两根,
则t1+t2=2(4+a),t1·t2=8(4+a),
∵|MN|2=|PM|·|PN|,
∴(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1·t2=t1·t2,
∴8(4+a)2-4×8(4+a)=8(4+a),∴a=1.
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=cos.
(1)求直线l被曲线C所截得的弦长;
(2)若M(x,y)是曲线C上的动点,求x+y的最大值.
【2016高考新课标1文数】(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).
在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=.
(I)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(II)直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
选修4-4:坐标系与参数方程
在直坐标系中,的方程为
()轴正半轴为极轴建立极坐标系,求的极坐标方程;
()直线的(为参数), 与交于两点,求的斜率
3.[2016高考新课标Ⅲ文数]在直角坐标系中,曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为
(I)写出的普通方程和的直角坐标方程;
(II)设点在上,点在上,求的最小值及此时的直角坐标.
.【2015高考广东,文14】(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为,曲线的参数方程为(为参数),则与交点的直角坐标为         . 
.【2015高考陕西,文23】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标版权法吕,直线的参数方程为为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,的极坐标方程为.
(I)写出的直角坐标方程;
(II)为直线上一动点,当到圆心的距离最小时,求点的坐标.
(I) ; (II) ..【2015高考新课标1,文23】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,直线,圆,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(I)求的极坐标方程.
(II)若直线的极坐标方程为,设的交点为,求 的面积.
(Ⅰ),(Ⅱ)1.(2014·福建卷) (Ⅱ)选修4­4:坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)求直线l和圆C的普通方程;
(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.
2.(2014·重庆卷)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与曲线C的公共点的极径ρ=________.
3.(2014·辽宁卷)选修4­4:坐标系与参数方程
将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.
(1)写出C的参数方程;
(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
1.在极坐标系中,直线ρ(cosθ-sinθ)+2=0被曲线C:ρ=2所截得弦的中点的极坐标为________.
2.已知点M的极坐标为(6,),则点M关于y轴对称的点的直角坐标为________.
3.在极坐标系中,点P(2,)到直线l:3ρcosθ-4ρsinθ=3的距离为________.
4.从极点O作直线与另一直线l:ρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使|OM|·|OP|=12.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设R为l上的任意一点,试求|RP|的最小值.
5.在极坐标系下,已知圆O:ρ=cosθ+sinθ和直线l:ρsin(θ-)=.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;
(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的极坐标.
.在极坐标系中,求直线ρ(cos θ-sin θ)=2与圆ρ=4sin θ的交点的极坐标.
.求函数y=sin经伸缩变换后的解析式.
.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρcos=2.
(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
.在极坐标系中,曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=-2cos θ,ρcos=1.
(1)求曲线C1和C2的公共点的个数;
(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q,在OQ上取一点P,使|OP|·|OQ|=2,求点P的轨迹,并指出轨迹是什么图形.
.已知直线l:ρsin=4和圆C:ρ=2kcos(k≠0),若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标.
.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为C与x轴、y轴的交点.
(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
 













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