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2017年高考数学(文)一轮复习精品资料:专题51 直线与圆的位置关系(教学案)(原卷版)

资料类别: 数学/同步

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(1)圆周角定理;
(2)圆的切线判定定理与性质定理;
(3)相交弦定理;
(4)圆内接四边形的性质定理与判定定理;
(5)切割线定理.
 
圆周角弦切角圆的切线1.圆周角定理
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
2.圆心角定理
圆心角的度数等于它所对弧的度数.
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
3.弦切角定理
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
4.圆的切线的性质及判定定理
性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径.
推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系,从而证明三角形全等或相似,也可用于求线段的长或角的大小及与圆的切线有关的问题.
圆内接四边形的性质与判定定理
性质定理1:圆的内接四边形的对角互补.
性质定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.
判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.
判定定理的推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.
利用其性质或判定定理解决四点共圆问题时,要弄清四边形的外角和它的内对角的位置.注意圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及与垂径定理的联系与应用.

1.相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.
2.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
3.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.
4.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这点的连线平分两条切线的夹角.
相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明,解决问题时要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用.
圆周角弦切角圆的切线已知点C在圆O的直径BE的延长线上,直线CA与圆O相切于A,∠ACB的平分线分别交AB,AE于D,F两点,求∠AFD.
【变式探究】如图,在圆内接梯形ABCD中,AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,求弦BD的长.
高频考点二、圆内接四边形的性质与判定定理
如图,AB是⊙O的直径,G是AB延长线上的一点,GCD是⊙O的割线,过点G作AG的垂线,交直线AC于点E,交直线AD于点F,过点G作⊙O的切线,切点为H.
(1)求证:C,D,E,F四点共圆;
(2)若GH=6,GE=4,求EF的长.

如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F.
(1)求证:A,E,F,D四点共圆;
(2)若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.

例3、如图,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E.证明:
 (1)BE=EC;
(2)AD·DE=2PB2.
如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交⊙O于D,DE⊥AC交AC延长线于点E,OE交AD于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若=,求的值.
【2016高考新课标1文数】(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.
(I)证明:直线AB与O相切;
(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD. 

选修4-1:几何证明选讲中,分别在边上(不与端点重合),且,过点作
,垂足为.
(Ⅰ) 证明:四点共圆;
(Ⅱ)若,为的中点,求四边形的面积.

3.[2016高考新课标Ⅲ文数]
如图,O中的中点为的中点为,弦分别交于两点
(I)若,求的大小;
(II)若的垂直平分线与的垂直平分线交于点,证明

1.【2015高考天津,文6】如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为(    )
(A)         (B) 3       (C)        (D)                 


几何证明选讲选做题如图为圆的直径,为的延长线上一点,过作圆的切线,切点为,过作直线的垂线,垂足为.若,,则            .

1.(2014·湖北卷)(选修4­1:几何证明选讲)
如图1­3,P为⊙O外一点,过P点作⊙O的两条切线,切点分别为A,B,过PA的中点Q作割线交⊙O于C,D两点,若QC=1,CD=3,则PB=________.

图1­3
2.(2014·湖南卷)如图1­3所示,已知AB,BC是⊙O的两条弦,AO⊥BC,AB=,BC=2,则⊙O的半径等于________.

图1­3
3.(2014·辽宁卷)选修4­1:几何证明选讲
如图1­7所示,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上—点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.
(1)求证:AB为圆的直径;
(2)若AC=BD,求证:AB=ED.

图1­7
4.(2014·新课标全国卷Ⅰ) 选修4­1:几何证明选讲
如图1­6,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.

图1­6
(1)证明:∠D=∠E;
(2)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.

5.(2014·新课标全国卷Ⅱ)选修4­1:几何证明选讲
如图1­4,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E,证明:
(1)BE=EC;
(2)AD·DE=2PB2.

图1­4

6.(2014·陕西卷)

图1­3
B.(几何证明选做题)如图1­3,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC=2AE,则EF=________.
7.(2014·天津卷)

图1­2
如图1­2所示,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:
①BD平分∠CBF;
②FB2=FD·FA;
③AE·CE=BE·DE;
④AF·BD=AB·BF.
则所有正确结论的序号是(  )
A.①②  B.③④  
C.①②③  D.①②④

8.(2014·重庆卷)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B,C.若PA=6,AC=8,BC=9,则AB=________.

.(2014·江苏高考)如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两点.

1.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是________.
2.直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M、N两点,若MN≥2,则k的取值范围是________.
3.已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤1},B={(x,y)|x2+y2≤r2,r>0},若点(x,y)∈A是点(x,y)∈B的必要条件,则r的最大值是________.
4.已知:圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.
(1)当a为何值时,直线l与圆C相切;
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点,且AB=2时,求直线l的方程.
5.已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足PA=2PB.
(1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;
(2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M,求|QM|的最小值.
6.如图,已知位于y轴左侧的圆C与y轴相交于点(0,1)且被x轴分成的两段圆弧长之比为1∶2,过点H(0,t)的直线l与圆C相交于M、N两点,且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O.

(1)求圆C的方程;
(2)当t=1时,求出直线l的方程;
(3)求直线OM的斜率k的取值范围.
7.已知圆C的方程为x2+y2=4.
(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程;
(2)直线l过点P(1,2),且与圆C交于A、B两点,若|AB|=2,求直线l的方程;
(3)圆C上有一动点M(x0,y0),=(0,y0),若向量=+,求动点Q的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.
8.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线l1过定点A(1,0).
(1)若l1与圆相切,求l1的方程;
(2)若l1与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,判断AM·AN是否为定值,若是,则求出定值;若不是,请说明理由.
9.如图,PC是圆O的切线,切点为点C,直线PA与圆O交于A,B两点,∠APC的角平分线交弦CA,CB于D,E两点,已知PC=3,PB=2,求的值.
3.如图,AB是⊙O的直径,弦BD,CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.

 (1)求证:BE·DE+AC·CE=CE2.
(2)若D是BE的中点,求证E,F,C,B四点共圆.
10.如图,直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,⊙O交直线OB于E,D,连接EC,CD.

 (1)求证:直线AB是⊙O的切线;
(2)若tan∠CED=,⊙O的半径为3,求OA的长.
11.在圆内接四边形ABCD中,AC与BD交于点E,过点A作圆的切线交CB的延长线于点F,若AB=AD,AD∥FC,AF=18,BC=15,求AE的长.

12.如图所示,PA为圆O的切线,A为切点,PO交圆O于B,C两点,PA=10,PB=5,∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.

 (1)求证:=;
(2)求AD·AE的值.
 













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