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2017年高考数学(文)一轮复习精品资料:专题50 相似三角形的判定及有关性质(教学案)(解析版)

资料类别: 数学/同步

所属版本: 通用

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1.了解平行线截割定理;
2.直角三角形射影定理。 
 
一、平行线分线段成比例定理
对于平行线分线段成比例定理,往往会以相似三角形为载体,通过三角形相似来构建相应线段比,从而解决问题.解题时要充分利用中点来作辅助线,建立三角形的中位线或梯形的中位线,从而有效利用平行线分线段成比例定理.
1.平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
推论2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰.
2.平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
二、相似三角形的判定及性质
证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找(证)两个三角形的边和角之间的数量关系.有的证明起来比较简单方便,但有的找边角关系比较困难,这就要求我们必须提高读图、识图、添加必要辅助线的能力.对计算问题则要灵活使用有关定理,掌握相似三角形的性质定理.
1.相似三角形的判定定理
判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似;
判定定理2:三边对应成比例的两个三角形相似;
判定定理3:两边对应成比例,并且夹角相等的两个三角形相似.
2.相似三角形的性质定理
性质定理1:相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比;
性质定理2:相似三角形的面积比等于相似比的平方.
结论:相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方.
三、射影定理
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项.
 
1.在使用直角三角形射影定理时,要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”.
2.证题时,要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法.
高频考点一 平行截割定理的应用
例1如图,在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,过点O作AB的平行线,与AD,BC分别交于点E,F,与CD的延长线交于点K.求证:KO2=KE·KF.

【感悟提升】当条件中给出平行线时,应优先考虑平行线分线段成比例定理,在有关比例的计算与证明题中,常结合平行线分线段成比例定理构造平行线解题.作平行线常用的方法有利用中点作中位线,利用比例线段作平行线等.
(1)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD与AC相交于点O,过点O的直线分别交AB,CD于E,F,且EF∥BC,若AD=12,BC=20,求EF的长度.
 (2)如图所示,在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD,若BC=3,DE=2,DF=1,求AB的长.

高频考点二 相似三角形的判定与性质
例2 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,E为AC的中点,ED、CB延长线交于一点F.
求证:FD2=FB·FC.
证明 ∵E是Rt△ACD斜边上的中点,
∴ED=EA,∴∠A=∠1,∵∠1=∠2,∴∠2=∠A,
∵∠FDC=∠CDB+∠2=90°+∠2,∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A,∴∠FBD=∠FDC,
∵∠F是公共角,∴△FBD∽△FDC,
∴=,∴FD2=FB·FC.
(1)判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点,灵活选择判定定理.在一个题目中,相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到.(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等,也可间接证明线段相等.
(1)如图,AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知∠A=∠C,PD=2DA=2,求PE的长.

(2)如图,四边形ABCD中,DF⊥AB,垂足为F,DF=3,AF=2FB=2,延长FB到E,使BE=FB,连结BD,EC.若BD∥EC,求四边形ABCD的面积.
高频考点三 射影定理的应用
例3如图,在△ABC中,D、F分别在AC、BC上,且AB⊥AC,AF⊥BC,BD=DC=FC=1,求AC.
解 在△ABC中,设AC为x,
∵AB⊥AC,AF⊥BC.
又FC=1,根据射影定理,得AC2=FC·BC,
即BC=x2.
再由射影定理,得AF2=BF·FC=(BC-FC)·FC,
即AF2=x2-1,∴AF=.
在△BDC中,过D作DE⊥BC于E.
∵BD=DC=1,∴BE=EC=x2.
又∵AF⊥BC,∴DE∥AF,∴=,
∴DE==.
在Rt△DEC中,∵DE2+EC2=DC2,
即()2+(x2)2=12,∴+=1.
整理得x6=4,∴x=,即AC=.
(1)在使用直角三角形射影定理时,要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”.(2)证题时,作垂线构造直角三角形是解直角三角形常用的方法.
(1)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,且AD∶BD=9∶4,求AC∶BC.
 (2)已知圆的直径AB=13,C为圆上一点,过C作CD⊥AB于D(AD>BD),若CD=6,求AD的长.
即62=x(13-x),
∴x2-13x+36=0,解得x1=4,x2=9.
∵AD>BD,∴AD=9.
【2016高考新课标1文数】(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.
(I)证明:直线AB与O相切;
(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD. 

【答案】(I)见解析(II)见解析
,所以.
【考点】四点共圆、直线与圆的位置关系及证明
2.【2016高考新课标2文数】选修4-1:几何证明选讲中,分别在边上(不与端点重合),且,过点作
,垂足为.
(Ⅰ) 证明:四点共圆;
(Ⅱ)若,为的中点,求四边形的面积.

【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
 
【考点】 三角形相似、全等,四点共圆如图,O中的中点为的中点为,弦分别交于两点
(I)若,求的大小;
(II)若的垂直平分线与的垂直平分线交于点,证明

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【考点】圆周角定理、三角形内角和定理、垂直平分线定理、四点共圆
 1.【2015高考广东,文15】(几何证明选讲选做题如图为圆的直径,为的延长线上一点,过作圆的切线,切点为,过作直线的垂线,垂足为.若,,则            .

【答案】3
 2.【2015高考新课标1,文22】选修4-1:几何证明选讲
如图AB是直径,AC是切线,BC交与点E.

(Ⅰ)若D为AC中点,求证:DE是切线;
(Ⅱ)若 ,求的大小.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)60°

 1.(2014·广东卷)(几何证明选讲选做题)如图1­3所示,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则=________.

图1­3
【答案】9 【解析】本题考查相似三角形的性质定理,面积比等于相似比的平方.
∵EB=2AE,∴AE=AB=CD.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴△AEF∽△CDF,∴==9.
1.如图,△OAB是等腰三角形,P是底边AB延长线上一点,且PO=3,PA·PB=4,求腰长OA的长度.

解 如图,作OD⊥AP,垂足为D,

则PO2-PD2=OB2-BD2,
所以PO2-OB2=PD2-BD2,
因为AD=BD,所以PD2-BD2=PD2-AD2=(PD+AD)(PD-AD)=PA·PB=4,
所以PO2-OB2=4,
所以OB2=9-4=5,
所以OB=,所以OA=.
2.如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,求AE的长.
 
3.如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,若AB∶AC=2∶1,求AD∶BC.
解 设AC=k,则AB=2k,BC=k,
∵∠BAC=90°,AD⊥BC,∴AC2=CD·BC,
∴k2=CD·k,∴CD=k,
又BD=BC-CD=k,
∴AD2=CD·BD=k·k=k2,
∴AD=k,∴AD∶BC=2∶5.
4.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AD∶BD=2∶3,求△ACD与△CBD的相似比. 
5.如图所示,在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,BE是∠ABC的角平分线,交AD于点F,求证:=.
证明 ∵BE是∠ABC的角平分线,
∴=,①
=.②
在Rt△ABC中,由射影定理知,
AB2=BD·BC,即=.③
由①③得=,④
由②④得=.
6.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M是BC的中点,CN⊥AM,垂足是N,求证:AB·BM=AM·BN.
证明 ∵CM2=MN·AM,
又∵M是BC的中点,
∴BM2=MN·AM,∴=,
又∵∠BMN=∠AMB,∴△AMB∽△BMN,
∴=,∴AB·BM=AM·BN.
7.如图所示,平行四边形ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD交于点F,DE=CD.

 (1)求证:△ABF∽△CEB;
(2)若△DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.
 8.如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.
 (1)求证:△ABF∽△EAD.
(2)若∠BAE=30°,AD=3,求BF的长.
 9.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E、F分别是AB、BC的中点,EF与BD相交于点M.
 (1)求证:△EDM∽△FBM;
(2)若DB=9,求BM.
(1)证明 ∵E是AB的中点,∴AB=2EB.
∵AB=2CD,∴CD=EB.
又∵AB∥CD,
∴四边形CBED是平行四边形.
∴CB∥DE,
∴
∴△EDM∽△FBM.
(2)解 ∵△EDM∽△FBM,∴=.
∵F是BC的中点,∴DE=2BF.∴DM=2BM,
∴BM=DB=3.
10.如图,在梯形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,EF∥AD,假设EF做上下平行移动.
 (1)若=,求证:3EF=BC+2AD;
(2)若=,试判断EF与BC,AD之间的关系,并说明理由;
(3)请你探究一般结论,即若=,那么你可以得到什么结论?
 














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