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2017年高考数学(文)一轮复习精品资料:专题38 空间几何体的表面积和体积(教学案)(解析版)

资料类别: 数学/同步

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 1.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
 
1.柱、锥、台和球的表面积和体积
名称
几何体	表面积	体积		柱体(棱柱和圆柱)	S表面积=S侧+2S底	V=Sh		锥体(棱锥和圆锥)	S表面积=S侧+S底	V=Sh		台体(棱台和圆台)	S表面积=S侧+S上+S下	V=(S上+S下+)h		球	S=4πR2	V=πR3		
高频考点一 求空间几何体的表面积
例1、(1)(2015·安徽)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是(  )

A.1+	B.1+2
C.2+	D.2
(2)(2015·课标全国Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r等于(  )

A.1	B.2
C.4	D.8
(3)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为________.
答案 (1)C (2)B (3)12
∴S侧=6××2×2=12. 
【感悟提升】空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
【变式探究】一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为(  )

A.21+	B.18+
C.21	D.18
答案 A
高频考点二 求空间几何体的体积
例2、(2015·课标全国Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(  )

A.	B.
C.	D.
答案 D
高频考点三 求简单几何体的体积
例3、(2015·山东)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(  )
A.	B.
C.	D.2π
答案 C
解析 过点C作CE垂直AD所在直线于点E,梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径,线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径,ED为高的圆锥,如图所示, 

该几何体的体积为V=V圆柱-V圆锥=π·AB2·BC-·π·CE2·DE=π×12×2-π×12×1=,故选C. 
【变式探究】(1)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的体积等于(  )

A.	B.
C.36π	D.
(2)如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为(  )

A.	B.
C.	D.
答案 (1)B (2)A

【感悟提升】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.
高频考点四 与球有关的切、接问题
例4、已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为(  )
A.	B.2
C.	D.3
答案 C
解析 如图所示,由球心作平面ABC的垂线,

则垂足为BC的中点M.
又AM=BC=,
OM=AA1=6,
所以球O的半径R=OA==. 
【感悟提升】空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.
(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用4R2=a2+b2+c2求解.
【变式探究】如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为(  )

A.	B.1
C.	D.
答案 C

1.【2016高考新课标1文数】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是

(A)17π       (B)18π      (C)20π     (D)28π  
【答案】A

2. [2016高考新课标Ⅲ文数]如图,网格纸上小正方形的为1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为

(A)(B) (C)90(D)81

【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱,所以该几何体的表面积
,故选B. 
3.【2016高考山东文数】一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为

(A)(B)
(C)(D)

4.【2016高考四川文科】已知某三菱锥的三视图如图所示,则该三棱

【答案】
5.【2016高考北京文数】某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为___________.

【答案】
【解析】四棱柱高为1,底面为等腰梯形,面积为,因此体积为 
),则该几何体的体积是(   )
A.                B.                C.               D.

【答案】C
2.【2015高考重庆,文5】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(    )

            (B)            (C)            (D) 
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1,高为2的圆柱,再加上一个半圆锥:其底面半径为1,高也为1,构成的一个组合体,故其体积为,故选B. 

A.   B.   C.   D.

【答案】D
4、【2015高考新课标1,文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为,则(  )      

(A)      (B)
(C)      (D)
【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为==16 + 20,解得r=2,故选B.
5.【2015高考福建,文9】某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于(    )





A.  B.    C.    D.
【答案】B
6.【2015高考山东,文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(   )
()()()()
【答案】
【解析】由题意知,该等腰直角三角形的斜边长为,斜边上的高为,所得旋转体为同底等高的全等圆锥,所以,其体积为,故选. 
7【2015高考安徽,文9】一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是(   )

(A)     (B)      (C)     (D)
【答案】C
一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为          .

【答案】 
【解析】该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为 . 


【答案】

10.(2014·安徽卷)一个多面体的三视图如图1­2所示,则该多面体的体积是(  )
图1­2  B.  C.6  D.7
【答案】A 
11.(2014·湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如图1­2所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于(  )

图1­2
A.1  B.2  C.3  D.4
【答案】B 【解析】由三视图可知,石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半),故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球.由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径,可得R==2.
2.(2014·陕西卷)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是(  )
A.4π  B.3π  C.2π  D.π
【答案】C 【解析】由题意可知,旋转体是一个底面半径为1,高为1的圆柱,故其侧面积为2π×1×1=2π.
3.(2014·全国卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为(  )
A.  B.16π
C.9π  D.
【答案】A 14.(2014·陕西卷)四面体ABCD及其三视图如图1­4所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.

图1­4
(1)求四面体ABCD的体积;
(2)证明:四边形EFGH是矩形.
【解析】解:(1)由该四面体的三视图可知,
BDDC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,
AD⊥平面BDC,
四面体ABCD的体积V=××2×2×1=.
(2)证明:∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩ 平面ABC=EH,

BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH.
同理EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,
四边形EFGH是平行四边形.
又∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,
四边形EFGH是矩形.
5.(2013·天津卷) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为,则正方体的棱长为________.
【答案】 【解析】[设正方体的棱长为a,则π=π,解之得a=.
6.(2013·新课标全国卷)已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为________.
【答案】24π 17.(2013·湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是________寸.
(注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸)
【答案】3 【解析】积水深度为盆深的一半,故此时积水部分的圆台上底面直径为二尺,圆台的高为九寸,故此时积水的体积是π(102+62+10×6)×9=196×3π(立方寸),盆口的面积是π×142=196π,所以平均降雨量是=3寸.
8.(2013·新课标全国卷)已知H是球O的直径AB上一点,AHHB=12,AB平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为________.
【答案】  
1.已知圆锥的表面积等于12πcm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为(  )
A.1cm	B.2cm
C.3cm	D.cm
答案 B
解析 S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π,
∴r2=4,∴r=2(cm).
2.用平面α截球O所得截面圆的半径为3,球心O到平面α的距离为4,则此球的表面积为(  )
A.	B.
C.75π	D.100π
答案 D
解析 依题意,设球半径为R,满足R2=32+42=25,
∴S球=4πR2=100π.
3.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是菱形,则该几何体的侧面积为(  )

A.+	B.+
C.+	D.+
答案 C
4.一个圆锥过轴的截面为等边三角形,它的顶点和底面圆周在球O的球面上,则该圆锥的体积与球O的体积的比值为________.
答案 
解析 设等边三角形的边长为2a,球O的半径为R,
则V圆锥=·πa2·a=πa3.
又R2=a2+(a-R)2,所以R=a,
故V球=·(a)3=a3,
则其体积比为.
5.如图所示的三个几何体,一个是长方体,一个是直三棱柱,一个是过圆柱上、下底面圆心切下圆柱的四分之一部分,若这三个几何体的正视图和俯视图是相同的正方形,求它们的表面积之比.

解 由题意可知这三个几何体的高都相等,设长方体的底面正方形的边长为a,高也等于a,故其表面积为S1=6a2.直三棱柱的底面是腰长为a的等腰直角三角形,高为a,故其表面积为S2=×a×a+×a×a+(a+a+a)×a=(3+)a2.圆柱的底面是半径为a的圆的,高为a,故其表面积为S3=πa2+πa2+a2+a2+×2πa×a=(π+2)a2.所以它们的表面积之比为S1∶S2∶S3=6a2∶(3+)a2∶(π+2)a2=6∶(3+)∶(π+2).
6.已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为20cm和30cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高.
7.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S—ABC的体积为(  )
A.3	B.2
C.	D.1
答案 C
解析 如图,过A作AD垂直SC于D,连接BD.
8.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(  )

A.28+6	B.30+6
C.56+12	D.60+12
答案 B
解析 由几何体的三视图可知,该三棱锥的直观图如图所示,
9.如图,△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC⊥平面ABC,AB=2,EB=.

(1)求证:DE⊥平面ACD;
(2)设AC=x,V(x)表示三棱锥B-ACE的体积,求函数V(x)的解析式及最大值.
(1)证明 ∵四边形DCBE为平行四边形,
∴CD∥BE,BC∥DE.
∵DC⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴DC⊥BC.
∵AB是圆O的直径,∴BC⊥AC,且DC∩AC=C,
 













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