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2017年高考数学(文)一轮复习精品资料:专题05 函数的单调性与最值(教学案)(原卷版)

资料类别: 数学/同步

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   专题05 函数的单调性与最值(教学案)-2017年高考数学(文)一轮复习精品资料                     


  1.利用函数的单调性求单调区间,比较大小,解不等式;
2.利用函数单调性求最值和参数的取值范围;
3.与导数交汇命题,以解答题形式考查.
 
1.函数单调性的定义
	增函数	减函数		定义	设函数y=f(x)的定义域为A,区间M⊆A,如果取区间M中任意两个值x1,x2,改变量Δx=x2-x1>0,则当 			Δy=f(x2)-f(x1)>0时,就称函数y=f(x)在区间M上是增函数	Δy=f(x2)-f(x1)<0时,就称函数y=f(x)在区间M上是减函数		图象	
自左向右看图象是上升的	
自左向右看图象是下降的		2.单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数就说这个函数在这个区间M上具有单调性,区间M称为单调区间.
【特别提醒】
1.函数的单调性是局部性质
函数的单调性,从定义上看,是指函数在定义域的某个子区间上的单调性,是局部的特征.在某个区间上单调,在整个定义域上不一定单调.
2.函数的单调区间的求法
函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、对数函数、指数函数等;
如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的单调性,再根据“同则增,异则减”的法则求解函数的单调区间.
3.单调区间的表示
单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结.
一 确定函数的单调性(区间)
例1(1)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是(  )
A.y=ln (x+2)  B.y=-
C.y=()xD.y=x+
(2)函数f(x)=log(x2-4)的单调递增区间是(  )
A.(0,+∞)  B.(-∞,0)
C.(2,+∞)  D.(-∞,-2)
(3)y=-x2+2|x|+3的单调增区间为________.
试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性.
确定函数单调性的方法:(1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导数法;(2)复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减”;(3)图象法,图象不连续的单调区间不能用“”连接.
已知a>0,函数f(x)=x+(x>0),证明:函数f(x)在(0, ]上是减函数,在[,+∞)上是增函数.
二 函数的最值
例已知函数f(x)=,x[1,+∞),a(-∞,1].
(1)当a=时,求函数f(x)的最小值;
(2)若对任意x[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
 (1)函数f(x)=的最大值为________.
(2)已知函数f(x)=-(a>0,x>0),若f(x)在上的值域为[,2],则a=________.
三 函数单调性的应用
例已知函数f(x)=log2x+,若x1(1,2),x2(2,+∞),则(  )
A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)>0,f(x2)>0
已知函数f(x)为R上的减函数,则满足f-B.a≥-
C.-≤a<0D.-≤a≤0
(2)已知f(x)=满足对任意x1≠x2,都有>0成立,那么a的取值范围是________.
函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.
(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.
(3)利用单调性求参数.
视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;
需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;
分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.
【2016高考北京文数】已知若点在线段上,则的最大值为
A.−1            B.3           C.7           D.8 
2.【2016高考北京文数】下列函数中,在区间 上为减函数的是
A.      B.       C.       D. 
3.【2016高考上海文科】设、、是定义域为的三个函数,对于命题:①若、、均为增函数,则、、中至少有一个增函数;②若、、均是以为周期的函数,则、、均是以为周期的函数,下列判断正确的是(    )
、①和②均为真命题        、①和②均为假命题
、①为真命题,②为假命题  、①为假命题,②为真命题 
【2016高考北京文数】函数的最大值为_________.
已知函数在R上单调递减,且关于x的方程恰有两个不相等的实数解,则的取值范围是_________.
【2016高考上海文科】 
已知R,函数=.
(1)当	时,解不等式>1;
(2)若关于的方程+=0的解集中恰有一个元素,求的值;
(3)设>0,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围.
,n=,现有如下命题:
①对于任意不相等的实数x1,x2,都有m>0; 
②对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n>0;
③对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=n;
④对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n.
其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).
2.【2015高考陕西,文10】设,若,,,则下列关系式中正确的是(     )
A.     B.    C.    D.
3.【2015高考浙江,文12】已知函数,则          ,的最小值是        .
4.【2015高考上海,文20】(本题满分14分)本题共2小题,第1小题6分,第2小题8分.
   已知函数,其中为实数. 
(1)根据的不同取值,判断函数的奇偶性,并说明理由;
(2)若,判断函数在上的单调性,并说明理由.
1.(2014·北京卷)下列函数中,定义域是R且为增函数的是(  )=-x=x==|x|(2014·湖南卷)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是(  )f(x)=  B.f(x)=x+1(x)=x(x)=2-x(2014·江苏卷)已知函数f(x)=+-x,其中是自然对数的底数.(1)证明:f(x)是R上的偶函数.(2)若关于x的不等式mf(x)≤-x +m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围.(3)已知正数a满足:存在x[1,+∞),f(x0)
        
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