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【新步步高】2017版高考数学(理 全国甲卷)三轮增分练:高考大题纵横练(1)

资料类别: 数学/同步

所属版本: 通用

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高考大题纵横练
高考大题纵横练(一)
1.(2016·山东)设f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.
解 (1)f(x)=2sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2
=2sin2x-(1-2sinxcosx)
=(1-cos2x)+sin2x-1
=sin2x-cos2x+-1
=2sin+-1.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)=2sin+-1,
把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变).
得到y=2sin+-1的图象.
再把得到的图象向左平移个单位,
得到y=2sinx+-1的图象,
即g(x)=2sinx+-1.
所以g=2sin+-1=.
2.(2016·天津)某小组共10人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和均值.
解 (1)由已知,有P(A)==.
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==.
所以随机变量X的分布列为
X	0	1	2		P					
随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×=1.
3.(2016·浙江)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

(1)求证:BF⊥平面ACFD;
(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
(1)证明 延长AD,BE,CF相交于一点K,如图(1)所示.

图(1)
因为平面BCFE⊥平面ABC,平面BCFE∩平面ABC=BC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCFE,因此BF⊥AC.
又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK,且CK∩AC=C,
所以BF⊥平面ACFD.
(2)解 方法一 如图(1)所示,过点F作FQ⊥AK于Q,连接BQ.
因为BF⊥平面ACFD,所以BF⊥AK,
则AK⊥平面BQF,所以BQ⊥AK.
所以∠BQF是二面角B-AD-F的平面角.
在Rt△ACK中,AC=3,CK=2,得FQ=.
在Rt△BQF中,FQ=,BF=,
得cos∠BQF=.
所以二面角B-AD-F的平面角的余弦值为.
方法二 如图(2)所示,延长AD,BE,CF相交于一点K,则△BCK为等边三角形.

图(2)
取BC的中点O,连接KO,
则KO⊥BC,
又平面BCFE⊥平面ABC,
所以KO⊥平面ABC.
以点O为原点,分别以射线OB,OK的方向为x轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz.
由题意得B(1,0,0),C(-1,0,0),K(0,0,),A(-1,-3,0),E,F.
因此,=(0,3,0),=(1,3,),=(2,3,0).
设平面ACFD的法向量为m=(x1,y1,z1),
平面ABED的法向量为n=(x2,y2,z2).
由得
取m=(,0,-1);
由得
取n=(3,-2,).
于是cos〈m,n〉==.
所以二面角B-AD-F的平面角的余弦值为.
4.设等差数列{an}的公差为d,点(an,bn)在函数f(x)=2x的图象上(n∈N*).
(1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上,求数列{an}的前n项和Sn;
(2)若a1=1,函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2-,求数列{}的前n项和Tn.
解 (1)由已知,得b7=2,b8=2=4b7,
有2=4×2=2.
解得d=a8-a7=2.
所以Sn=na1+d=-2n+n(n-1)=n2-3n.
(2)函数f(x)=2x在(a2,b2)处的切线方程为y-2=(2ln2)(x-a2),它在x轴上的截距为a2-.
由题意知,a2-=2-,解得a2=2.
所以d=a2-a1=1,从而an=n,bn=2n.
所以Tn=+++…++,
2Tn=+++…+.
因此2Tn-Tn=1+++…+-
=2--=.
所以Tn=.
5.设椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C:x2=4y的焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,且离心率e=,过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若·=-2,求直线l的方程;
(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦,MN∥AB,求证:为定值.
(1)解 由题意知,椭圆的一个顶点为(0,),
即b=,e==,∴a=2,
∴椭圆的方程为+=1.
(2)解 由题意可知,直线l与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时,经检验不合题意.
②当斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),且M(x1,y1),N(x2,y2).
由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
x1+x2=,x1x2=,
·=x1x2+y1y2
=x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]
=+k2(-+1)
==-2,
解得k=±,
故直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1),
即x-y-=0或x+y-=0.
(3)证明 设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),由(2)可得
|MN|=|x1-x2|=
==,
由消去y并整理得x2=,
|AB|=|x3-x4|=4,
∴==4,为定值.
6.已知函数f(x)=[ax2+(a-1)2x-a2+3a-1]ex(a∈R).
(1)若函数f(x)在(2,3)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若a=0,设g(x)=+lnx-x,斜率为k的直线与曲线y=g(x)交于A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x12.
(1)解 f′(x)=[ax2+(a2+1)x+a]ex,
当a≥0时,∵x∈(2,3),f′(x)>0恒成立,
∴f(x)在(2,3)上单调递增.
当a<0时,∵f(x)在(2,3)上单调递增,
f′(x)=a(x+a)(x+)·ex≥0,
①当-12,
即证(x1+x2)·>2,
∵x2-x1>0,即证ln>(>1).
令h(x)=lnx-(x>1),
则h′(x)=-=>0,
∴h(x)在(1,+∞)上单调递增,
h(x)>h(1)=0.∴ln>.
即(x1+x2)k>2成立.













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