高三数学（理科）试卷
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
参考公式：
如果事件互斥，那么相互独立，那么，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高.
1.已知集合，则（ B． C． D．
2.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ B． C．0 D．1
3.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（是钝角三角形，若，且的面积为，则（ B． C. D．3
5.设是公比为的等比数列，则“”是“为单调递增数列”的（的焦点的渐近线的距离为平行，则双曲线的方程为（ B． C. D．
7.在中，在上，，为中点，相交于点，连结，则的值分别为（ B． C. D．
8.已知（其中是自然对数的底数），当时，关于的方程恰好有的取值范围是（ B． C. D．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，满分30分.
9.已知是虚数单位，若，则的值为的展开式中，的系数为中，由曲线与直线和所围成的封闭图形的面积为中，已知曲线（为参数），曲线（为参数，），若恰好经过的焦点，则的值为 ．
14.已知，若方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （本小题满分13分）
已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）当时，的最小值为2，求的值.
16. （本小题满分13分）
某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛，其中3名来自学校且1名为女棋手，另外4名来自学校且2名为女棋手.从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛.
（1）求在参加第一阶段比赛的队员中，恰有1名女棋手的概率；
（2）设为选出的4名队员中两校人数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.
17. （本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，在上，且，侧棱平面.
（1）求证：平面平面；
（2）若为等腰直角三角形.
（i）与平面所成角的正弦值；
（ii）的余弦值.
18. （本小题满分13分）
已知数列的前项和，数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）证明：.
19. （本小题满分14分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若的周长为6，且点到直线的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆长轴的两个端点，点是椭圆上不同于的任意一点，直线交直线于点，若以为直径的圆过点，求实数的值.
20. （本小题满分14分）
已知函数，函数的图像记为曲线.
（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；
（2）若函数有两个零点，且为的极值点，求的值；
（3）设曲线在动点处的切线与交于另一点，在点处的切线为，两切线的斜率分别为，是否存在实数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
试卷答案
一、选择题
1-4: DACB 5-8: DACD
二、填空题
9. 10. 11. 12. 13. 14.
三、解答题
15.（本小题满分13分）
解：（I）函数， ……………………4分
16.（本小题满分13分）
（I）由题意知，7名队员中分为两部分，3人为女棋手，4人为男棋手，
设事件A=“恰有1位女棋手”，………………………4分
所以参加第一阶段的比赛的队员中，恰有1位女棋手的概率为.…………5分
（II）的所有可能取值为其中
，
，
. ………………………………9分
所以，随机变量分布列为
随机变量的数学期望. ………………………………13分
17.（本小题满分13分）
：△，知，且
故.
同理可得，,. ………2分
又∵平面∴ ……3分
而∴平面.
平面,故平面平面； ……4分
法二：平面∴ 又∵，故可建立建立如图所示坐标系.
由已知，，，（）∴，，
∴，.……3分，
∴，，∴平面，平面,平面平面；……4分
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ），平面的一个法向量是，因为为等腰三角形，，.
设直线与平面所成的角为，则………8分
（ii）设平面的一个法向量为，，
由，∴，令，则， ………10分
∴，. ………11分
显然二面角的平面角是锐角，
∴二面角的余弦值为. ………13分（其他方法可酌情给分）
18．（本小题满分1分）
I）当时，，，
两式相减：；
当时，，也适合，
故数列的通项公式为；. ………3分
II）由题意，，，
，两式相减可得：， ……… 4分
，
，. ………7分
（III），显然，
即，； ………9分
，
即，，…，，，
即：. ………13分19．（本小题满分14分）
，解得.
所以椭圆的方程为. ……………5分， ……………6分，则，得.
且由点在椭圆上，得. ……………8分为直径的圆过点，则， ……………9分
……………12分是椭圆上不同于的点，所以.
所以上式可化为，解得. ……………14分I），当时
所以，而在处取得最小值，
所以，；……………4分II）因为为的极值点，所以，
又因为有不同的零点，所以，
即，
整理得：，
所以．……………9分III）满足条件的实数存在，
由，知过 点与曲线相切的直线为：
，且
将与联立即得点得横坐标，
所以
即：
整理得： 由已知,所以
所以，即B点的横坐标为 所以过点B的曲线的切线斜率为
因此当且仅当 时，、成比例， 这时
即存在实数，使为定值．……………14分I），当时，
所以对任意的恒成立，故，
即，故的取值范围是；…………… 4分II）因为为的极值点有两个零点，
所以的三个实数根分别为，
由根与系数的关系得；……………9分
（III）存在，因为，所以过点且与曲线相切的直线为：，其中.
设与交于另一点，则必为方程的三个实数根
由得
因为上述方程的右边不含三次项和二次项，
所以 ，所以
所以
.
因此当且仅当 时，、成比例，这时，即存在实数，使为定值. …14分
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