高三数学(理科)试卷 第Ⅰ卷(选择题 共40分) 参考公式: 如果事件互斥,那么相互独立,那么,其中表示锥体的底面面积,表示锥体的高,其中表示柱体的底面面积,表示柱体的高. 1.已知集合,则( B. C. D. 2.设变量满足约束条件,则目标函数的最小值为( B. C.0 D.1 3.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为(是钝角三角形,若,且的面积为,则( B. C. D.3 5.设是公比为的等比数列,则“”是“为单调递增数列”的(的焦点的渐近线的距离为平行,则双曲线的方程为( B. C. D. 7.在中,在上,,为中点,相交于点,连结,则的值分别为( B. C. D. 8.已知(其中是自然对数的底数),当时,关于的方程恰好有的取值范围是( B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题 共110分) 二、填空题:本大题共有6小题,每小题5分,满分30分. 9.已知是虚数单位,若,则的值为的展开式中,的系数为中,由曲线与直线和所围成的封闭图形的面积为中,已知曲线(为参数),曲线(为参数,),若恰好经过的焦点,则的值为 . 14.已知,若方程有且仅有一个实数解,则实数的取值范围为 . 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分13分) 已知函数. (1)求的最小正周期; (2)当时,的最小值为2,求的值. 16. (本小题满分13分) 某区选派7名队员代表本区参加全市青少年围棋锦标赛,其中3名来自学校且1名为女棋手,另外4名来自学校且2名为女棋手.从这7名队员中随机选派4名队员参加第一阶段的比赛. (1)求在参加第一阶段比赛的队员中,恰有1名女棋手的概率; (2)设为选出的4名队员中两校人数之差的绝对值,求随机变量的分布列和数学期望. 17. (本小题满分13分) 如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,在上,且,侧棱平面. (1)求证:平面平面; (2)若为等腰直角三角形. (i)与平面所成角的正弦值; (ii)的余弦值. 18. (本小题满分13分) 已知数列的前项和,数列的前项和为. (1)求数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和; (3)证明:. 19. (本小题满分14分) 已知椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,若的周长为6,且点到直线的距离为. (1)求椭圆的方程; (2)设是椭圆长轴的两个端点,点是椭圆上不同于的任意一点,直线交直线于点,若以为直径的圆过点,求实数的值. 20. (本小题满分14分) 已知函数,函数的图像记为曲线. (1)若函数在上单调递增,求的取值范围; (2)若函数有两个零点,且为的极值点,求的值; (3)设曲线在动点处的切线与交于另一点,在点处的切线为,两切线的斜率分别为,是否存在实数,使得为定值?若存在,求出的值;若不存在,说明理由. 试卷答案 一、选择题 1-4: DACB 5-8: DACD 二、填空题 9. 10. 11. 12. 13. 14. 三、解答题 15.(本小题满分13分) 解:(I)函数, ……………………4分 16.(本小题满分13分) (I)由题意知,7名队员中分为两部分,3人为女棋手,4人为男棋手, 设事件A=“恰有1位女棋手”,………………………4分 所以参加第一阶段的比赛的队员中,恰有1位女棋手的概率为.…………5分 (II)的所有可能取值为其中 , , . ………………………………9分 所以,随机变量分布列为 随机变量的数学期望. ………………………………13分 17.(本小题满分13分) :△,知,且 故. 同理可得,,. ………2分 又∵平面∴ ……3分 而∴平面. 平面,故平面平面; ……4分 法二:平面∴ 又∵,故可建立建立如图所示坐标系. 由已知,,,()∴,, ∴,.……3分, ∴,,∴平面,平面,平面平面;……4分 (Ⅱ)(i)由(Ⅰ),平面的一个法向量是,因为为等腰三角形,,. 设直线与平面所成的角为,则………8分 (ii)设平面的一个法向量为,, 由,∴,令,则, ………10分 ∴,. ………11分 显然二面角的平面角是锐角, ∴二面角的余弦值为. ………13分(其他方法可酌情给分) 18.(本小题满分1分) I)当时,,, 两式相减:; 当时,,也适合, 故数列的通项公式为;. ………3分 II)由题意,,, ,两式相减可得:, ……… 4分 , ,. ………7分 (III),显然, 即,; ………9分 , 即,,…,,, 即:. ………13分19.(本小题满分14分) ,解得. 所以椭圆的方程为. ……………5分, ……………6分,则,得. 且由点在椭圆上,得. ……………8分为直径的圆过点,则, ……………9分 ……………12分是椭圆上不同于的点,所以. 所以上式可化为,解得. ……………14分I),当时 所以,而在处取得最小值, 所以,;……………4分II)因为为的极值点,所以, 又因为有不同的零点,所以, 即, 整理得:, 所以.……………9分III)满足条件的实数存在, 由,知过 点与曲线相切的直线为: ,且 将与联立即得点得横坐标, 所以 即: 整理得: 由已知,所以 所以,即B点的横坐标为 所以过点B的曲线的切线斜率为 因此当且仅当 时,、成比例, 这时 即存在实数,使为定值.……………14分I),当时, 所以对任意的恒成立,故, 即,故的取值范围是;…………… 4分II)因为为的极值点有两个零点, 所以的三个实数根分别为, 由根与系数的关系得;……………9分 (III)存在,因为,所以过点且与曲线相切的直线为:,其中. 设与交于另一点,则必为方程的三个实数根 由得 因为上述方程的右边不含三次项和二次项, 所以 ,所以 所以 . 因此当且仅当 时,、成比例,这时,即存在实数,使为定值. …14分 高考学习网-中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识!
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