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【新步步高】2017版高考数学(文 全国乙卷)二轮复习与增分策略三轮增分练:高考小题分项练4

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高考小题分项练4 函数与导数
1.已知函数y=xf′(x)的图象如下图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下列四个图象中y=f(x)的图象大致是(  )



答案 C
解析 由函数y=xf′(x)的图象可知:
当x<-1时,xf′(x)<0,f′(x)>0,此时f(x)单调递增;
当-10,f′(x)<0,此时f(x)单调递减;
当01时,xf′(x)>0,f′(x)>0,此时f(x)单调递增.
故符合f(x)的图象为C.
2.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln x,则f′(1)等于(  )
A.-e  B.-1
C.1  D.e
答案 B
解析 f′(x)=2f′(1)+,
∴f′(1)=2f′(1)+1,∴f′(1)=-1.
3.定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,则不等式exf(x)>ex+3(其中e为自然对数的底数)的解集为(  )
A.(0,+∞)  B.(-∞,0)∪(3,+∞)
C.(-∞,0)∪(0,+∞)  D.(3,+∞)
答案 A
解析 令g(x)=exf(x)-ex,
∴g′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex
=ex[f(x)+f′(x)-1],
∵f(x)+f′(x)>1,∴g′(x)>0,
∴y=g(x)在定义域上单调递增,
∵exf(x)>ex+3,∴g(x)>3,
∵g(0)=3,∴g(x)>g(0),∴x>0,故选A.
4.若函数f(x)的定义域为R,f′(x)>2恒成立,f(-1)=2,则f(x)>2x+4的解集为(  )
A.(-1,1)  B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1)  D.(-∞,+∞)
答案 B
解析 设F(x)=f(x)-(2x+4),
则F(-1)=f(-1)-(-2+4)=2-2=0,
又∵对任意x∈R,f′(x)>2,
∴F′(x)=f′(x)-2>0,即F(x)在R上单调递增.
∴F(x)>0的解集为(-1,+∞),
即f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).
5.若函数f(x)=-(x-2)2+bln x在(1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是(  )
A.[-1,+∞)  B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1]  D.(-∞,-1)
答案 C
解析 由题意可知f′(x)=-x+2+≤0在(1,+∞)上恒成立,即b≤x(x-2)在x∈(1,+∞)上恒成立,由于φ(x)=x(x-2)=x2-2x (x∈(1,+∞))的值域是(-1,+∞),故只要b≤-1即可.
6.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),f′(0)>0,对于任意的实数x都有f(x)≥0,则的取值范围是(  )
A.[,+∞)  B.[2,+∞)
C.[,+∞)  D.[3,+∞)
答案 B
解析 由题意得,f′(x)=2ax+b,
∵f′(0)>0,∴b>0,
又∵x∈R,都有f(x)≥0,∴a>0,
∴Δ=b2-4ac≤0ac≥⇒≥⇒·≥,
∴c>0.∴==1++
≥1+2 ≥1+2=2,
当且仅当==a=c=b>0时,等号成立,
∴的取值范围是[2,+∞),故选B.
7.已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f′(x),当x≠0时,xf′(x)-f(x)<0,若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系正确的是(  )
A.ae>ln 2知<<,即c0.
∴不等式f(x)0,-2+3=-,-2×3=,b=-,c=-18a,函数f(x)在x=3处取得极小值,于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115,-a=-81,a=2.
11.函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是(  )
A.20  B.18
C.3  D.0
答案 A
解析 因为f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
令f′(x)=0,得x=±1,可知-1,1为函数的极值点.
又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,
所以在区间[-3,2]上f(x)max=1,f(x)min=-19.
由题设知在区间[-3,2]上f(x)max-f(x)min≤t,
从而t≥20,所以t的最小值是20.
12.已知函数f(x)=x2-ax+3在(0,1)上为减函数,函数g(x)=x2-aln x在(1,2)上为增函数,则a的值等于(  )
A.1  B.2  C.0  D.
答案 B
解析 ∵函数f(x)=x2-ax+3在(0,1)上为减函数,
∴≥1,得a≥2.又∵g′(x)=2x-,
依题意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立,
得2x2≥a在x∈(1,2)上恒成立,有a≤2.∴a=2.
13.(2016·课标全国丙)已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是________.
答案 2x+y+1=0
解析 设x>0,则-x<0,f(-x)=ln x-3x,
又f(x)为偶函数,f(x)=ln x-3x,f′(x)=-3,
f′(1)=-2,切线方程为y=-2x-1,
即2x+y+1=0.
14.已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是__________.
答案 00,
∴f(x)在[,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,
∴f(x)min=f(1)=0,∴a的最大值为0.
16.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是________.
答案 (-∞,-2)
解析 由已知a≠0,f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).
令f′(x)=0,得x=0或x=.
若a>0,当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;
当x∈(0,)时,f′(x)<0;
当x∈(,+∞)时,f′(x)>0.
因为f(0)=1>0,
易知此时有小于零的零点,不符合题意.
若a<0,当x∈(-∞,)时,f′(x)<0;
当x∈(,0)时,f′(x)>0;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0.
因为f(0)=1>0,
所以要使f(x)有唯一的零点x0,且x0>0, 
则只需f()>0,即a2>4,a<-2.













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