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【新步步高】2017版高考数学(文 全国乙卷)二轮复习与增分策略三轮增分练:高考小题分项练3

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高考小题分项练3 函数的图象与性质
1.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是(  )
A.y=2xB.y=x3+x
C.y=-D.y=-log2x
答案 B
解析 若函数是奇函数,则f(-x)=-f(x),故排除A、D;对C:y=-在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递增,但在定义域上不单调,故C错,故答案为B.
2.设函数f(x)=若f(f())=4,则b等于(  )
A.1  B.  C.  D.
答案 D
解析 f()=-b,
①当-b<1,即b>时,f(f())=f(-b)=3×(-b)-b=-4b=4,∴b=(舍).
②当-b≥1,即b≤时,
f(f())=f(-b)==4,
∴-b=2,∴b=.
3.已知函数f(x)=ln(2x+)-,若f(a)=1,则f(-a)等于(  )
A.0  B.-1  C.-2  D.-3
答案 D
解析 因为f(a)+f(-a)=+=-2,
所以f(-a)=-2-f(a)=-2-1=-3.故选D.
4.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数a,b满足f(a)=g(b)=0,则(  )
A.f(b)<00,所以00,所以10,g(a)<0,故g(a)<00)上的值域为[m,n],则m+n的值是(  )
A.0  B.1
C.2  D.4
答案 D
解析 f(x)=1++sin x
=1+2()+sin x
=3-+sin x,
m+n=f(-k)+f(k)
=6-2(+)+sin(-k)+sin k
=6-2=4.
6.函数y=4cos x-e|x|(e为自然对数的底数)的图象可能是(  )


答案 A
解析 由解析式知函数为偶函数,故排除B、D.又f(0)=4-1=3>0,故选A.
7设函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3),则满足上述条件的f(x)可以是(  )
A.f(x)=cos B.f(x)=sin 
C.f(x)=2cos2D.f(x)=2cos2
答案 C
解析 根据y=f(x)是偶函数,排除B;由f(x+6)=f(x)+f(3)知道y=f(x)是周期函数,6是它的一个周期,C选项可整理为f(x)=1+cos ,其周期为T==6,符合题意,故选C.
8.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则(  )
A.f(x1)<0,f(x2)<0  B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)<0  D.f(x1)>0,f(x2)>0
答案 B
解析 易知f(x)是增函数,因为f(x0)=0且x1x0,所以f(x1)<0,f(x2)>0.
9.奇函数f(x)、偶函数g(x)的图象分别如图1、2所示,方程f(g(x))=0、g(f(x))=0的实根个数分别为a、b,则a+b等于(  )

A.14  B.10  C.7  D.3
答案 B
解析 由图可知,图1为f(x)的图象,图2为g(x)的图象,m∈(-2,-1),n∈(1,2),∴方程f(g(x))=0g(x)=-1或g(x)=0或g(x)=1x=-1,x=1,x=m,x=0,x=n,x=-2,x=2,∴方程f(g(x))=0有7个根,即a=7;而方程g(f(x))=0f(x)=m或f(x)=0或f(x)=nf(x)=0x=-1,x=0,x=1,
∴方程g(f(x))=0有3个根,即b=3.∴a+b=10,
故选B.
10.当函数f(x)=有且只有一个零点时,a的取值范围是(  )
A.a≤0  B.01
答案 D
解析 ∵f(1)=lg 1=0,∴当x≤0时,函数f(x)没有零点,故-2x+a>0或-2x+a<0在(-∞,0]上恒成立,即a>2x,或a<2x在(-∞,0]上恒成立,故a>1或a≤0,故选D.
11.函数y=loga(x+3)-1 (a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2=0上,其中m>0,n>0,则+的最小值为(  )
A.2B.4
C.D.
答案 D
解析 由题意,得点A(-2,-1),
故-2m-n+2=0,即2m+n=2,
∴+=+=++2+≥4+=,当且仅当m=n=时,等号成立.故选D.
12.设函数y=f(x)的定义域为D,若对于任意的x1,x2∈D,当x1+x2=2a时,恒有f(x1)+f(x2)=2b,则称点(a,b)为函数y=f(x)图象的对称中心.研究函数f(x)=x3+sin x+1的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到f(-2 015)+f(-2 014)+f(-2 013)+…+f(2 014)+f(2 015)等于(  )
A.0  B.2 014
C.4 028  D.4 031
答案 D
解析 ∵f(x)=x3+sin x+1,∴f′(x)=3x2+cos x,
f″(x)=6x-sin x,又∵f″(0)=0,
而f(x)+f(-x)=x3+sin x+1-x3-sin x+1=2,
函数f(x)=x3+sin x+1图象的对称中心的坐标为(0,1),
即x1+x2=0时,总有f(x1)+f(x2)=2,
∴f(-2 015)+f(-2 014)+f(-2 013)+…+f(2 014)+f(2 015)=2×2 015+f(0)=4 030+1=4 031.故选D.
13.已知函数f(x)=则f(f(-))=________;f(x)的最小值为________.
答案 1 0
解析 f(f(-))=f(log33)=f(1)=1+2-2=1.
当x≥1时,f(x)=x+-2≥2-2;
当x<1时,f(x)=log3(x2+1)≥0.
故f(x)的最小值为f(0)=0.
14.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=()t-a(a为常数),如图所示.据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室.则从药物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教室.

答案 0.6
解析 当t=0.1时,可得1=()0.1-a,
∴0.1-a=0,a=0.1,由题意可得y≤0.25=,
即()t-0.1≤,即t-0.1≥,
解得t≥0.6,所以至少需要经过0.6小时后,学生才能回到教室.
15.已知函数f(x)的定义域为R,直线x=1和x=2是曲线y=f(x)的对称轴,且f(0)=1,则f(4)+f(10)=________.
答案 2
解析 ∵直线x=1和x=2是曲线y=f(x)的对称轴,
∴f(2-x)=f(x),f(4-x)=f(x),
∴f(2-x)=f(4-x),∴y=f(x)的周期T=2,
∴f(4)+f(10)=f(0)+f(0)=2.
16.给定方程:()x+sin x-1=0,则下列命题中:
①该方程没有小于0的实数解;
②该方程有无数个实数解;
③该方程在(-∞,0)内有且只有一个实数解;
④若x0是该方程的实数解,则x0>-1.
正确的命题是________.
答案 ②③④
解析 对于①,若α是方程()x+sin x-1=0的一个解,则满足()α=1-sin α,当α为第三、四象限角时,()α>1,此时α<0,因此该方程存在小于0的实数解,故①不正确;
对于②,原方程等价于()x-1=-sin x,
当x≥0时,-1<()x-1≤0,而函数y=-sin x的最小值为-1,且有无穷多个x满足-sin x=-1,
因此函数y=()x-1与y=-sin x的图象在[0,+∞)上有无穷多个交点,因此方程()x+sin x-1=0有无数个实数解,故②正确;
对于③,当x<0时,由于x≤-1时,()x-1≥1,
函数y=()x-1与y=-sin x的图象不可能有交点,
当-1-1,故④正确.
故答案为②③④.













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