襄阳市优质高中2017届高三联考试题 数学（文科） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1.已知复数满足，则 A. B. C. D. 2.设集合，则等于 A. B. C. D. 3.若实数满足约束条件，则的最大值为 A. B. C. D. 4.直线经过双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则C的离心率为 A. B. C. D. 5.已知等比数列的公比为正数，前项和为，，则等于 A. B. C. D. 6.在中，过直角顶点A在内随机作射线，交斜边于点，则的概率为 A. B. C. D. 7.已知函数，则等于（ ） A.0 B. C. D. 8.某四棱锥的三视图如右图所示，正视图、侧视图都是边长为的等边三角形，俯视图是一个正方形，则此四棱锥的体积是（ ） A. B.12 C.24 D.36 9．函数的图象大致是 10.正整数的各数位上的数字重新排列后得到的最大数记为，得到的最小数记为（如正整数，则），执行如图所，示的程序框图，若输入，则输出的S的值为 A. 6174 B. 7083 C. 8341 D. 8352 11.设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若，且，则； ②若，且，则； ③若，则； ④若，则. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 12.定义域为R的偶函数满足，当时，；函数，则在上零点的个数为 A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量，且，则 . 14.文渊阁本四库全书《张丘建算经》卷上（二十三）：今有女子不善织，日功。初日织五尺，经过抛物线的焦点F,与C交于A,B两点，且，则线段AB的中点D到轴的距离为 . 16.若函数对定义域内的任意，当时，总有，则称函数为单纯函数，例如函数是单纯函数，但函数不是单纯函数，下列命题：①函数是单纯函数；②当时，函数在上是单纯函数；③若函数为其定义域内的单纯函数，，则；④若函数是单纯函数且在其定义域内可导，则在其定义域内一定存在使其导数.其中正确的命题为 .（填上所有正确的命题序号） 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）设，函数 （1）当时，求函数的值； （2）已知的三个内角A,B,C所对应的边分别为，且满足，求的内角的大小. 18.（本题满分12分） 某研究小组到社区了解参加健美操运动人员的情况，用分层抽样的方法抽取了40人进行调查，按照年龄分成五个小组：，并绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求该社区参加健美操运动人员的平均年龄； （2）如果研究小组从该样本中年龄在和的6人中随机地抽取出2人进行深入采访，求被采访的2人，年龄恰好都在内的概率. 19.（本题满分12分）如图所示，四边形为菱形，平面. （1）求证：平面； （2）当为何值时，直线平面？请说明理由. 20.（本题满分12分）如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线，为垂足，点满足；当点在圆上运动时，点的轨迹为 （1）求点的轨迹的方程； （2）与已知圆相切的直线交于两点，求的取值范围. 21.（本题满分12分） 已知函数 （1）当时，求函数的极大值； （2）若函数在R上有且仅有两个零点，求实数的值； （3）求证：. 请考试在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分. 22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中圆C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 （1）求圆C的直角坐标方程及其圆心C的直角坐标； （2）设直线与曲线交于两点，求的面积. 22.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 解关于的不等式； 若，使得成立，试求实数的取值范围. 襄阳市优质高中201届高三联考试题【答案】【解析】，则 ． 【】【答案】【解析】，． 【】【答案】【解析】、、构成的三角形，作直线：，平移到，当过时取得最大值. 【】【答案】【解析】，，从而，，，双曲线的离心率． 【】【】例3改编而成. 5.【答案】【解析】为等比数列，，，则，． 【】【】组第3题改编而成. 6.【答案】【解析】中点，因为，，则在内，，． 【】【】练习第1题改编而成. 7.【答案】 【解析】【】【答案】【解析】的正方形，正四棱锥的高即等边三角形的高为3，体积是． 【】【答案】【解析】中，可排除A、D；，函数为奇函数，在上是减函数，排除B. 【】 10.【答案】【解析】，；，，；，，； ，，；所以. 【】【答案】【解析】∥，且时，由直线与平面垂直的判定定理知，故①正确.当 ∥，且∥时∥或，故②错误.当，时，∥或与相交，故③错误. 当，，时， ∥∥或交于一点，故④错误. 【】【答案】【解析】，则，是周期为2的函数；作出与的图象，两图象在交于5个点即在上有5个零点.选D. 【】 13.【答案】 【解析】∥知，. 【】 14.【答案】【解析】递减数，，，. 【】 15.【答案】【解析】，抛物线的准线：，过、、分别作准线 的垂线，垂足依次为、、， 交轴于点，； 是梯形的中位线，，．所以线段的中点到轴的距离是4. 【】【】版选修1-1例4改编而成. 16.【答案】①③ 【解析】的自变量和函数值是一一映射，因此单调函数一定是单纯函数，但单纯函数不一定是单调函数，①③正确；当时在不是单纯函数，②错误；函数是单纯函数，但其定义域内不存在使其导函数，④错误. 【】17.解（I)法一：当时，，，；………………………………5分 法二： ， 当时，；………………………………5分 (II)法一：中，由余弦定理及已知得， 化简得，…………………………………………………8分 由余弦定理得，，所以.……12分 法二：中，由正弦定理及已知得 ，…10分 ，所以.…………………………………………………12分 【】18.解：（I），该社区参加健美操运动人员的平均年龄为57.5岁；……………………5分 （II）年龄在的人员2人，依次记为、，年龄在的人员4人，依次记为、、、，从这6人中随机地选出2人有15种等可能的结果：、、、 、、、、、、、、、、、； 记事件：被采访的2人年龄恰好都在，则包含6种结果，.所以，被采访的2人年龄恰好都在的概率为．……………………12分 【】.(I)证明：因为平面，平面，所以；…2分 菱形中，；，所以平面.…………5分 法二：因为平面，平面，所以平面平面； ……………2分 菱形中，；平面平面；所以平面. ……………5分 (II)当时直线∥平面.理由如下：…………………………………7分 设菱形中对角线，的中点为，则为的中位线， ∥且；……………………………………………9分 又∥且，即∥且，得平行四边形，所以∥；………………………………………………………11分 因为平面，平面，所以直线∥平面.……12分 法二：设菱形中对角线，的中点为，则为的中位线，∥；平面，平面，所以直线∥平面； 又∥且，即∥且，得平行四边形，所以∥；平面，平面，所以直线∥平面； ，平面，平面，所以平面∥平面. 因为平面，所以直线∥平面.………………12分 【】【】版必修2探究改编而成. 20．（I）设点，，，由已知 得即，点；…………………………………………………2分 因为点在圆上运动，得即；…4分 所以点的轨迹的方程为．…………………………………………5分 （II）直线：与相切，即；7分 设、，由得，直线与交于两点得，， ，从而；…………9分 ， 又，，．…11分 所以，的的取值范围．………………………………………12分 【】【】版选修1-1例题改编而成 21.解：（I）当时，，， 极大值 极小值 所以，函数的极大值为；………………………………4分 （II）在上有且仅有两个零点，. 当时， 函数在上递增且恰有1个零点，，因而必有 得，所以；…………………………6分 当时，，函数在上递增，函数至多 有一个零点，不符合题意，舍去；………………………………………7分 当时， 函数在上递增且恰有1个零点，但在上无零点，因而函数在只有1个零点，不符合题意，应舍去. 综上所述，；………………………………………………………………8分 (其它解法酌情给分) （III）证明：由（I）当时，在递增，有 ，当且时，，从而 ，，……10分 . 所以，且.………………12分 【】【】版选修1-1例题4改编而成 22、解：（Ⅰ）：(为参数)得圆的直角坐标方程：，圆心的直角坐标．………………………………………………4分 （Ⅱ）的直角坐标方程：；………………………………5分 .圆心到直线的距离，圆的半径， 弦长．……………………………………………8分 .的面积.…………………10分 【】（Ⅰ）时，，得；…1分 当时，，得；…………2分 当时，，矛盾，得；…3分 综上所术，不等式的解集为或 . （Ⅱ），，即；…6分 .对，恒成立对，恒成立对，；………………………………………………8分 .解不等式得或.…………………………………9分 所以实数的取值范围为.………………………………………10分 【】襄阳市优质高中201届高三联考试题 14.90 15. 4 16. ①③ 17.解（I)法一：当时，，，；………………………………5分 法二： ， 当时，；………………………………5分 (II)法一：中，由余弦定理及已知得， 化简得，…………………………………………………8分 由余弦定理得，，所以.……12分 法二：中，由正弦定理及已知得 ，…10分 ，所以.…………………………………………………12分 18.解：（I），该社区参加健美操运动人员的平均年龄为57.5岁；……………………5分 （II）年龄在的人员2人，依次记为、，年龄在的人员4人，依次记为、、、，从这6人中随机地选出2人有15种等可能的结果：、、、 、、、、、、、、、、、； 记事件：被采访的2人年龄恰好都在，则包含6种结果，.所以，被采访的2人年龄恰好都在的概率为．……………………12分 19.(I)证明：因为平面，平面，所以；…2分 菱形中，；，所以平面.…………5分 法二：因为平面，平面，所以平面平面； ……………2分 菱形中，；平面平面；所以平面. ……………5分 (II)当时直线∥平面.理由如下：…………………………………7分 设菱形中对角线，的中点为，则为的中位线， ∥且；……………………………………………9分 又∥且，即∥且，得平行四边形，所以∥；………………………………………………………11分 因为平面，平面，所以直线∥平面.……12分 法二：设菱形中对角线，的中点为，则为的中位线，∥；平面，平面，所以直线∥平面； 又∥且，即∥且，得平行四边形，所以∥；平面，平面，所以直线∥平面； ，平面，平面，所以平面∥平面. 因为平面，所以直线∥平面.………………12分 20．（I）设点，，，由已知 得即，点；…………………………………………………2分 因为点在圆上运动，得即；…4分 所以点的轨迹的方程为．…………………………………………5分 （II）直线：与相切，即；7分 设、，由得，直线与交于两点得，， ，从而；…………9分 ， 又，，．…11分 所以，的的取值范围．………………………………………12分 21.解：（I）当时，，， 极大值 极小值 所以，函数的极大值为；………………………………4分 （II）在上有且仅有两个零点，. 当时，，函数在上递增，函数至多 有一个零点，不符合题意，舍去；………………………………………5分 当时， 函数在上递增且恰有1个零点，，因而必有 得，所以；…………………………6分 当时， 函数在上递增且恰有1个零点，但在上无零点，因而函数在只有1个零点，不符合题意，应舍去. …………………7分 综上所述，；………………………………………………………………8分 (其它解法酌情给分) （III）证明：由（I）当时，在递增，有 ，当且时，，从而 ，，……10分 . 所以，且.………………12分 22、解：（Ⅰ）：(为参数)得圆的直角坐标方程：，圆心的直角坐标．………………………………………………4分 （Ⅱ）的直角坐标方程：；………………………………5分 .圆心到直线的距离，圆的半径， 弦长．……………………………………………8分 .的面积.…………………10分 23、解：（Ⅰ）时，，得；…1分 当时，，得；…………2分 当时，，矛盾，得；…3分 综上所术，不等式的解集为或 . （Ⅱ），，即；…6分 .对，恒成立对，恒成立对，；………………………………………………8分 .解不等式得或.…………………………………9分 所以实数的取值范围为.………………………………………10分 高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！
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