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山西省太原市2016-2017学年高二上学期期末数学(理)试卷

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 山西

上传时间:2017/2/21

下载次数:434次

资料类型:期中/期末

文档大小:419KB

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2016-2017学年山西省太原市高二(上)期末数学试卷(理科)
 
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.
1.命题“若x2,则x1”的逆否命题是(  )
A.若x2,则x1	B.若x2,则x1	C.若x1,则x2	D.若x1,则x2
2.抛物线y2=8x的准线方程是(  )
A.x=2	B.y=2	C.x=﹣2	D.y=﹣2
3.已知空间向量=(0,1,1),=(﹣1,0,1),则与的夹角为(  )
A.	B.	C.	D.
4.焦点在x轴上,且渐近线方程为y=2x的双曲线的方程是(  )
A.x2﹣=1	B.=1	C.=1	D.y2﹣=1
5.已知两条直线a,b和平面α,若bα,则ab是aα的(  )
A.充分但不必要条件	B.必要但不充分条件
C.充要条件	D.既不充分又不必要条件
6.已知椭圆C经过点(1,0),(0,2),则椭圆C的标准方程为(  )
A.x2=1	B.y2=1	C.x2=1	D.y2=1
7.已知椭圆=1(0b<2)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与椭圆相交于不同的两点A,B,那么ABF1的周长(  )
A.是定值4
B.是定值8
C.不是定值,与直线l的倾斜角大小有关
D.不是定值,与b取值大小有关
8.如图,在四面体ABCD中,=,点M在AB上,且AM=AB,点N是CD的中点,则=(  )

A.	B.	C.	D.
9.对于双曲线C1:=1和C2:=1,给出下列四个结论:
(1)离心率相等;(2)渐近线相同;(3)没有公共点;(4)焦距相等,其中正确的结论是(  )
A.(1)(2)(4)	B.(1)(3)(4)	C.(2)(3)(4)	D.(2)(4)
10.已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,点Q的坐标为(  )
A.	B.	C.	D.
11.与圆x2y2=1及圆x2y2﹣8x12=0都外切的圆的圆心在(  )
A.一个椭圆上	B.双曲线的一支上
C.一条抛物线上	D.一个圆上
12.已知p:“x∈[1,2,x2﹣a0”,q:“x∈R”,使得x22ax+2﹣a=0,那么命题“pq”为真命题的充要条件是(  )
A.a﹣2或a=1	B.a﹣2或1a≤2	C.a1	D.﹣2a≤1
 
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
13.(4分)双曲线x2﹣y2=1的离心率为  .
14.(4分)命题“若x|≠3,则x3”的真假为  .(填“真”或“假”)
15.(4分)椭圆的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若PF1|=4,F1PF2的大小为  .
16.(4分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影O为AC的中点,A1O=2,ABBC,AB=BC=点P在线段A1B上,且cosPAO=,则直线AP与平面A1AC所成角的正弦值为  .

 
三、解答题:本大题共7小题,共48分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.(8分)已知命题p:x∈R,x|+x≥0;q:关于x的方程x2mx+1=0有实数根.
(1)写出命题p的否定,并判断命题p的否定的真假;
(2)若命题“pq”为假命题,求实数m的取值范围.
18.(10分)已知空间四点A(2,0,0),B(0,2,1),C(1,1,1),D(﹣1,m,n).
(1)若ABCD,求实数m,n的值;
(2)若mn=1,且直线AB和CD所成角的余弦值为,求实数m的值.
19.(10分)已知抛物线y2=2px(p0)上一点M(1,y)到焦点F的距离为.
(1)求p的值;
(2)若圆(x﹣a)2y2=1与抛物线C有四个不同的公共点,求实数a的取值范围.
20.(10分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PC平面ABC,ACB=45°,BC=2,AB=2.
(1)求AC的长;
(2)若PC=,点M在侧棱PB上,且,当λ为何值时,二面角B﹣AC﹣M的大小为30°.

21.如图,在三棱锥P﹣ABC中,PC平面ABC,PAC=30°,ACB=45°,BC=2,PAAB.
(1)求PC的长;
(2)若点M在侧棱PB上,且,当λ为何值时,二面角B﹣AC﹣M的大小为30°.

22.(10分)已知椭圆E:=1(ab>0)的离心率为,右焦点为F,椭圆与y轴的正半轴交于点B,且BF|=.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若斜率为1的直线l经过点(1,0),与椭圆E相交于不同的两点M,N,在椭圆E上是否存在点P,使得PMN的面积为,请说明理由.
23.已知椭圆E:=1(ab>0)的离心率为,过焦点垂直与x轴的直线被椭圆E截得的线段长为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)斜率为k的直线l经过原点,与椭圆E相交于不同的两点M,N,判断并说明在椭圆E上是否存在点P,使得PMN的面积为.
 

2016-2017学年山西省太原市高二(上)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
 
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.
1.命题“若x2,则x1”的逆否命题是(  )
A.若x2,则x1	B.若x2,则x1	C.若x1,则x2	D.若x1,则x2
【分析】根据逆否命题的定义,结合已知中的原命题,可得答案.
【解答】解:命题“若x2,则x1”的逆否命题是“若x1,则x2”,
故选:C
【点评】本题考查的知识点是四种命题,难度不大,属于基础题.
 
2.(2017•和平区模拟)抛物线y2=8x的准线方程是(  )
A.x=2	B.y=2	C.x=﹣2	D.y=﹣2
【分析】利用抛物线的准线方程求解即可.
【解答】解:抛物线y2=8x的准线方程是x=﹣=﹣2,
故选:C
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,基本知识的考查.
 
3.已知空间向量=(0,1,1),=(﹣1,0,1),则与的夹角为(  )
A.	B.	C.	D.
【分析】由已知中向量,,求出两个向量的模和数量积,代入夹角余弦公式,可得答案.
【解答】解:空间向量=(0,1,1),=(﹣1,0,1),
与的夹角θ满足,
cosθ===,
θ=,
故选:A
【点评】本题考查的知识点是向量的数量积运算,向量的夹角,向量的模,难度中档.
 
4.焦点在x轴上,且渐近线方程为y=2x的双曲线的方程是(  )
A.x2﹣=1	B.=1	C.=1	D.y2﹣=1
【分析】利用焦点在x轴上,且渐近线方程为y=2x的双曲线的方程,结合选项,即可得出结论.
【解答】解:由题意,焦点在x轴上,且渐近线方程为y=2x的双曲线的方程是x2﹣=1,
故选A.
【点评】本题考查双曲线的方程与性质,比较基础.
 
5.(2013•泉州二模)已知两条直线a,b和平面α,若bα,则ab是aα的(  )
A.充分但不必要条件	B.必要但不充分条件
C.充要条件	D.既不充分又不必要条件
【分析】我们先判断ab⇒a∥α与aα⇒a∥b的真假,然后利用充要条件的定义,我们易得到ab是aα的关系.
【解答】解:当bα是
若ab时,a与α的关系可能是aα,也可能是aα,即aα不一定成立,故ab⇒a∥α为假命题;
若aα时,a与b的关系可能是ab,也可能是a与b异面,即ab不一定成立,故aα⇒a∥b也为假命题;
故ab是aα的既不充分又不必要条件
故选D
【点评】本题考查的知识点是充要条件,直线与平面平行关系的判断,先判断ab⇒a∥α与aα⇒a∥b的真假,然后利用充要条件的定义得到结论是证明充要条件的常规方法,要求大家熟练掌握.
 
6.已知椭圆C经过点(1,0),(0,2),则椭圆C的标准方程为(  )
A.x2=1	B.y2=1	C.x2=1	D.y2=1
【分析】椭圆C经过点(1,0),(0,2),则椭圆C的焦点在y轴上,设标准方程为=1(ab>0).即可得出.
【解答】解:椭圆C经过点(1,0),(0,2),
则椭圆C的焦点在y轴上,设标准方程为=1(ab>0).
则a=2,b=1.
椭圆C的标准方程为=1.
故选:C.
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
 
7.已知椭圆=1(0b<2)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与椭圆相交于不同的两点A,B,那么ABF1的周长(  )
A.是定值4
B.是定值8
C.不是定值,与直线l的倾斜角大小有关
D.不是定值,与b取值大小有关
【分析】由题意画出图形,可得ABF1的周长为4a,则答案可求.
【解答】解:如图,

椭圆=1(0b<2),
椭圆的长轴长为2a=4,
ABF1的周长=4a=8.
故选:B.
【点评】本题考查椭圆的定义,考查数形结合的解题思想方法,是基础题.
 
8.如图,在四面体ABCD中,=,点M在AB上,且AM=AB,点N是CD的中点,则=(  )

A.	B.	C.	D.
【分析】由已知可得==++,进而得到答案.
【解答】解:点M在AB上,且AM=AB,点N是CD的中点,
=,=,
=+=++,
又=,
=,
故选:B.
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用,向量的线性运算,难度中档.
 
9.对于双曲线C1:=1和C2:=1,给出下列四个结论:
(1)离心率相等;(2)渐近线相同;(3)没有公共点;(4)焦距相等,其中正确的结论是(  )
A.(1)(2)(4)	B.(1)(3)(4)	C.(2)(3)(4)	D.(2)(4)
【分析】利用方程,分别计算离心率、渐近线、焦距,即可得出结论.
【解答】解:由题意,双曲线C1:=1,C2:=1,
(1)离心率分别为,;(2)渐近线相同,为y=x;(3)没有公共点;(4)焦距相等,为10,
故选C.
【点评】本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.
 
10.已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,点Q的坐标为(  )
A.	B.	C.	D.
【分析】可先设Q(x,y,z),由点Q在直线OP上可得Q(λ,λ,2λ),则由向量的数量积的坐标表示可得=2(3λ2﹣8λ5),根据二次函数的性质可求,取得最小值时的λ,进而可求Q
【解答】解:设Q(x,y,z)
由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得,则有Q(λ,λ,2λ)
,
当=(1﹣λ)(2﹣λ)(2﹣λ)(1﹣λ)(3﹣2λ)(2﹣2λ)=2(3λ2﹣8λ5)
根据二次函数的性质可得当时,取得最小值此时Q 
故选:C
【点评】本题主要考查了平面向量的共线定理的应用,解题的关键是由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得,进而有Q(λ,λ,2λ),然后转化为关于λ的二次函数,根据二次函数知识求解最值,体现了转化思想在解题中的应用.
 
11.与圆x2y2=1及圆x2y2﹣8x12=0都外切的圆的圆心在(  )
A.一个椭圆上	B.双曲线的一支上
C.一条抛物线上	D.一个圆上
【分析】设动圆P的半径为r,然后根据动圆与圆x2y2=1及圆x2y2﹣8x12=0都外切得PF|=2+r、PO|=1+r,再两式相减消去参数r,则满足双曲线的定义,问题解决.
【解答】解:设动圆的圆心为P,半径为r,而圆x2y2=1的圆心为O(0,0),半径为1;圆x2y2﹣8x12=0的圆心为F(4,0),半径为2.
依题意得PF|=2+r,PO|=1+r,则PF|﹣PO|=(2r)﹣(1r)=1FO|,所以点P的轨迹是双曲线的一支.
故选B.
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系,考查双曲线的定义,属于基础题.
 
12.已知p:“x∈[1,2,x2﹣a0”,q:“x∈R”,使得x22ax+2﹣a=0,那么命题“pq”为真命题的充要条件是(  )
A.a﹣2或a=1	B.a﹣2或1a≤2	C.a1	D.﹣2a≤1
【分析】p:“x∈[1,2,x2﹣a0”,可得a(x2)min.q:“x∈R”,使得x22ax+2﹣a=0,则0,解得a,即可得出命题“pq”为真命题的充要条件.
【解答】解:p:“x∈[1,2,x2﹣a0”,a≤(x2)min,a≤1.
q:“x∈R”,使得x22ax+2﹣a=0,则=4a2﹣4(2﹣a)0,解得a1,或a﹣2.
那么命题“pq”为真命题的充要条件是,解得a=1或a﹣2.
故选:A.
【点评】本题考查了不等式的解法、充要条件的判定、函数的性质、一元二次方程的实数根与判别式的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
 
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
13.(4分)双曲线x2﹣y2=1的离心率为  .
【分析】根据题意,由双曲线的方程分析可得a=1,b=1,结合双曲线的几何性质可得c的值,进而由离心率计算公式计算可得答案.
【解答】解:根据题意,双曲线的方程为x2﹣y2=1,变形可得﹣=1,
则a=1,b=1,
则有c==,
则其离心率e==,
故答案为:.
【点评】本题考查双曲线的几何性质,要从双曲线的标准方程分析得到a、b的值.
 
14.(4分)命题“若x|≠3,则x3”的真假为 真 .(填“真”或“假”)
【分析】若x|≠3,则x3且x﹣3,x≠3
【解答】解:若x|≠3,则x3且x﹣3,x≠3,
故答案为:真
【点评】本题考查了命题真假的判定,属于基础题.
 
15.(4分)(2014•开封一模)椭圆的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若PF1|=4,F1PF2的大小为 120° .
【分析】由PF1|+|PF2|=6,且PF1|=4,易得PF2|,再利用余弦定理,即可求得结论.
【解答】解:PF1|+|PF2|=2a=6,PF1|=4,
PF2|=6﹣PF1|=2.
在F1PF2中,cosF1PF2==﹣,
F1PF2=120°.
故答案为:120°
【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题,考查余弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于基础题.
 
16.(4分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影O为AC的中点,A1O=2,ABBC,AB=BC=点P在线段A1B上,且cosPAO=,则直线AP与平面A1AC所成角的正弦值为  .

【分析】取AA1的中点H,连结PO,PH,AN.则PH面AA1C,APO为直角三角形,且cosPAO=,得AP
PAH为直线AP与平面A1AC所成角,sinPAH=.
【解答】解:AB⊥BC,AB=BC=,AC=2,AO=1.
点A1在平面ABC内的射影O为AC的中点,A1O=2,ABBC,
AO,BO,A1O互相垂直,即面ABC,面AA1C,面A1OB互相垂直,
取AA1的中点H,连结PO,PH,AN.则PH面AA1C
APO为直角三角形,且cosPAO=,AP=,
PAH为直线AP与平面A1AC所成角,sinPAH=.
故答案为:

【点评】本题考查了空间角的求解,属于中档题.
 
三、解答题:本大题共7小题,共48分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.(8分)已知命题p:x∈R,x|+x≥0;q:关于x的方程x2mx+1=0有实数根.
(1)写出命题p的否定,并判断命题p的否定的真假;
(2)若命题“pq”为假命题,求实数m的取值范围.
【分析】(1)命题p的否定:存在x0R,x0|+x0<0.容易判断真假.
(2)命题p:x∈R,x|+x≥0是真命题;命题“pq”为假命题,可得q为假命题.因此关于x的方程x2mx+1=0没有实数根.因此0,解得m范围.
【解答】解:(1)命题p的否定:存在x0R,x0|+x0<0.是一个假命题.
(2)命题p:x∈R,x|+x≥0是真命题;命题“pq”为假命题,q为假命题.
因此关于x的方程x2mx+1=0没有实数根.=m2﹣40,解得﹣2m<2.
实数m的取值范围是(﹣2,2).
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、充要条件的判定、一元二次方程的实数根与判别式的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
 
18.(10分)已知空间四点A(2,0,0),B(0,2,1),C(1,1,1),D(﹣1,m,n).
(1)若ABCD,求实数m,n的值;
(2)若mn=1,且直线AB和CD所成角的余弦值为,求实数m的值.
【分析】(1)=(﹣2,2,1),=(﹣2,m﹣1,n﹣1),利用ABCD,即可求实数m,n的值;
(2)若mn=1,且直线AB和CD所成角的余弦值为,即=,即可求实数m的值.
【解答】解:(1)=(﹣2,2,1),=(﹣2,m﹣1,n﹣1),
AB∥CD,
m﹣1=2,n﹣1=1,
m=3,n=2;
(2)由题意,=,mn=1,
m=3.
【点评】本题考查空间角的计算,考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
 
19.(10分)已知抛物线y2=2px(p0)上一点M(1,y)到焦点F的距离为.
(1)求p的值;
(2)若圆(x﹣a)2y2=1与抛物线C有四个不同的公共点,求实数a的取值范围.
【分析】(1)根据抛物线的性质即可求出;
(2)联立方程组,根据题意可得,解得即可.
【解答】解:(1)抛物线y2=2px(p0)上一点M(1,y)到焦点F的距离为.
则1=,
解得p=,
(2)由(1)以及已知得,
即4x2(1﹣8a)x4a2﹣4=0有两个不相等的实数根,
则,
解得1a<,
则实数a的取值范围为(1,)
【点评】本题考查圆与抛物线的位置关系,考查学生分析转化问题的能力,考查计算能力,正确合理转化是关键.
 
20.(10分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PC平面ABC,ACB=45°,BC=2,AB=2.
(1)求AC的长;
(2)若PC=,点M在侧棱PB上,且,当λ为何值时,二面角B﹣AC﹣M的大小为30°.

【分析】(1)由已知条件利用余弦定理,利能求出AC.
(2)以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,过A作平面ABC的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,求出平面ACM的一个法向量和平面ABC的一个法向量,利用向量法能求出当λ=1时,二面角B﹣AC﹣M的大小为30°.
【解答】解::(1)在ABC中,
由余弦定理得AB2=BC2AC2﹣2BCAC×cos∠ACB,
得4=8AC2+﹣4AC,解得AC=2.
(2)PC⊥平面ABC,PAAB,AB⊥AC,
以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,过A作平面ABC的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,
B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,2,),
点M在侧棱PB上,且=,
M(,,),
设平面ACM的一个法向量为=(x,y,z),
则,取z=1,得=(﹣,0,1),
平面ABC的一个法向量=(0,0,1),
二面角B﹣AC﹣M的大小为30°,
cos30°===,
解得λ=1或λ=﹣1(舍),
当λ=1时,二面角B﹣AC﹣M的大小为30°.

【点评】本题考查线段长的求法,考查满足条件的实数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
 
21.如图,在三棱锥P﹣ABC中,PC平面ABC,PAC=30°,ACB=45°,BC=2,PAAB.
(1)求PC的长;
(2)若点M在侧棱PB上,且,当λ为何值时,二面角B﹣AC﹣M的大小为30°.

【分析】(1)以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,过A作平面ABC的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出PC.
(2)求出平面ACM的一个法向量和平面ABC的一个法向量,利用向量法能求出当λ=1时,二面角B﹣AC﹣M的大小为30°.
【解答】解:(1)PC⊥平面ABC,PAAB,AB⊥AC,
以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,过A作平面ABC的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,
PA⊥AB,=0,
()•()==0,
PC⊥平面ABC,•=0,=0,
﹣|•||cos∠ACB+||2=0,
即﹣,
解得AC=2,
在Rt中,PC=ACsin30°=.
(2)B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,2,),
点M在侧棱PB上,且,
M(,,),
设平面ACM的一个法向量为=(x,y,z),
则,取z=1,得=(﹣),
平面ABC的一个法向量=(0,0,1),
二面角B﹣AC﹣M的大小为30°,
cos30°==,
解得λ=1或λ=﹣1(舍),
当λ=1时,二面角B﹣AC﹣M的大小为30°.

【点评】本题考查线段长的求法,考查满足条件的实数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
 
22.(10分)已知椭圆E:=1(ab>0)的离心率为,右焦点为F,椭圆与y轴的正半轴交于点B,且BF|=.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若斜率为1的直线l经过点(1,0),与椭圆E相交于不同的两点M,N,在椭圆E上是否存在点P,使得PMN的面积为,请说明理由.
【分析】(1)由题意求得a,c的值,结合隐含条件求得b,则椭圆方程可求;
(2)设出P点坐标及直线l的方程,由PMN的面积为求得点P到直线l的距离为1,再设出过点P与直线l平行的直线l1:y=xm.与椭圆方程联立,由判别式等于0求得m值,再结合两平行线间的距离公式求出l与l1之间的距离,与1比较得答案.
【解答】解:(1)由题意,,得c=1,b2=a2﹣c2=1.
则椭圆E的方程为:;
(2)存在.
设点P(x,y),直线l的方程为y=x﹣1.
由,得M(0,﹣1),N(),
则MN|=.
则点P到直线l的距离为.
设过点P与直线l平行的直线l1:y=xm.
联立,得3x24mx+2m2﹣2=0.
由=16m2﹣12(2m2﹣2)=0,解得m=.
当m=时,l与l1之间的距离为1;
当m=﹣时,l与l1之间的距离为1.
则在椭圆E上存在点P,使得PMN的面积为.
【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了直线与椭圆位置关系的应用,属中档题.
 
23.已知椭圆E:=1(ab>0)的离心率为,过焦点垂直与x轴的直线被椭圆E截得的线段长为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)斜率为k的直线l经过原点,与椭圆E相交于不同的两点M,N,判断并说明在椭圆E上是否存在点P,使得PMN的面积为.
【分析】(1)由题意求得a,c的值,结合隐含条件求得b,则椭圆方程可求;
(2)设出P点坐标及直线l的方程,由PMN的面积为求得点P到直线l的距离为1,再设出过点P与直线l平行的直线l1:y=xm.与椭圆方程联立,由判别式等于0求得m值,再结合两平行线间的距离公式求出l与l1之间的距离,与1比较得答案.
【解答】解:(1)由题意,,得c=1,b2=a2﹣c2=1.
则椭圆E的方程为:;
(2)存在.
设点P(x,y),直线l的方程为y=x﹣1.
由,得M(0,﹣1),N(),
则MN|=.
则点P到直线l的距离为.
设过点P与直线l平行的直线l1:y=xm.
联立,得3x24mx+2m2﹣2=0.
由=16m2﹣12(2m2﹣2)=0,解得m=.
当m=时,l与l1之间的距离为1;
当m=﹣时,l与l1之间的距离为1.
则在椭圆E上存在点P,使得PMN的面积为.
【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了直线与椭圆位置关系的应用,属中档题.












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