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2017年高考北京卷理数试题(解析版)

资料类别: 数学/试题

所属版本: 通用

所属地区: 北京

上传时间:2017/6/13

下载次数:311次

资料类型:历年高考题

文档大小:1.23M

所属点数: 0

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绝密本科目考试启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
数  学(理)(北京卷)
      1.体现新课标理念,实现平稳过渡。试卷紧扣北京考试大纲,新增内容的考查主要是对基本概念、基本公式、基本运算的考查,难度不大。对传统内容的考查在保持平稳的基础上进行了适度创新,符合北京一贯的风格。
      2.关注通性通法,试卷淡化了特殊的技巧,全面考查通性通法,体现了以知识为载体,以方法为依托,题目没有偏怪题,以能力考查为目的的命题要求。 
          3.体现数学应用,联系实际,例如理科第17 题考查了样本型的概率问题,第三问要求不必证明、直接给出结论(已经连续6年),需注重理解概念的本质原理, 第8 题本着创新题的风格,结合生活中的实际模型进行考查,像14 年的成绩评定、15 年的汽车燃油问题,都是由生活中的实际模型转化来的,对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向。中·华.资*源%库 ziyuanku.com

本试卷共5页,150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
第一部分(选择题  共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项
(1)若集合A={x|–2x<1},B={x|x–1或x3},则AB=
(A){x|–2x<–1}                         (B){x|–2x<3}
(C){x|–1x<1}                          (D){x|1x<3}
【答案】A
【解析】
试题分析:利用数轴可知,故选A.
【考点】集合的运算
【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合,若集合个数比较少时可以用列举法表示,若集合是无限集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图进行处理.
(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是
(A)(–∞,1)           (B)(–∞,–1)
(C)(1,+∞)           (D)(–1,+∞)
【考点】复数的运算
【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,bR).复数z=a+bi(a,bR) 平面向量.
(3)执行如图所示的程序框图,输出的s值为

(A)2(B)(C)(D)【考点】循环结构
【名师点睛】解决此类型要注意:第一,要明确是当型循环结构,还是直到型循环结构.根据各自的特点执行循环体;第二,要明确图中的累计变量,明确每一次执行循环体前和执行循环体后,变量的值发生的变化;第三,要明确循环体终止的条件是什么,会判断什么时候终止循环体 
(4)若x,y满足 则x + 2y的最大值为
(A)1                    (B)3
(C)5                    (D)9 
表示斜率为的一组平行线,当过点时,目标函数取得最大值,故选D.
【考点】线性规划
【名师点睛】本题主要考查简单线性规划.解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域,将目标函数赋予几何意义;求目标函数的最值的一般步骤为:一画二移三求.其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义.常见的目标函数有:截距型:形如.求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式:,通过求直线的截距的最值间接求出的最值距离型:形如 斜率型:形如
(5)已知函数,则
(A)是奇函数,且在R上是增函数     	(B)是偶函数,且在R上是增函数
(C)是奇函数,且在R上是减函数     	(D)是偶函数,且在R上是减函数,所以函数是奇函数,并且是增函数, 是减函数,根据增函数-减函数=增函数,所以函数是增函数,故选A.
【考点】函数的性质
【名师点睛】本题属于基础题型,根据奇偶性的定义与的关系就可以判断函数的奇偶性,判断函数单调性的方法,1.平时学习过的基本初等函数的单调性;2.函数图象判断函数的单调性;3.函数的四则运算判断,增函数+增函数=增函数,增函数-减函数=增函数,判断函数的单调性;4.导数判断函数的单调性.
(6)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的
(A)充分而不必要条件           	(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件               	(D)既不充分也不必要条件
【考点】1.向量;2.充分必要条件.
【名师点睛】判断充分必要条件的的方法:1.根据定义,若,那么是的充分不必要 ,同时是的必要不充分条件,若,那互为充要条件,若,那就是既不充分也不必要条件,2.当命题是以集合形式给出时,那就看包含关系,若,若,那么是的充分必要条件,同时是的必要不充分条件,若,互为充要条件,若没有包含关系,就是既不充分也不必要条件,3.命题的等价性,根据互为逆否命题的两个命题等价,将是条件的判断,转化为是条件的判断.
(7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为

(A)3(B)2(C)2(D)2
红色线为三视图还原后的几何体,最长的棱长为正方体的对角线,,故选B.
【考点】三视图
【名师点睛】本题考查了空间想象能力,由三视图还原几何体的方法:


(8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是
(参考数据:lg3≈0.48)
(A)1033                           (B)1053 
(C)1073                           (D)1093
 ,两边取对数,,所以,即最接近,故选D.
【考点】对数运算
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力,本题以实际问题的形式给出,但本质就是对数的运算关系,以及指数与对数运算的关系,难点是时,两边取对数,对数运算公式包含,,.
第二部分(非选择题  共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分
(9)若双曲线的离心率为,则实数m=_________.2
【解析】
试题分析: ,所以 ,解得 .
【考点】双曲线的方程和几何性质
【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质,属于基础题.解题时要注意、、的关系,否则很容易出现错误.以及当焦点在轴时,哪些量表示 ,根据离心率的公式计算.
(10)若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1,a4=b4=8,则=_______. 和 , ,求得 ,那么 .
【考点】等差数列和等比数列
【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程(组),因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
(11)在极坐标系中,点A在圆上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为___________.Ziyuanku.com化为普通方程为 ,整理为 ,圆心,点是圆外一点,所以的最小值就是.
【考点】1.极坐标与直角坐标方程的互化;2.点与圆的位置关系.
【名师点睛】1.运用互化公式将极坐标直角坐标直角坐标方程与极坐标方程的互化,关键要掌握好互化公式,研究极坐标系下图形的性质,可转化直角坐标系的情境进行.(12)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若,=___________.
【解析】
试题分析:因为和关于轴对称,所以,那么,,这样.
【考点】1.同角三角函数;2.诱导公式;3.两角差的余弦公式.
【名师点睛】本题考查了角的对称的关系,以及诱导公式,常用的一些对称关系包含,与关于轴对称,则 ,若与关于 轴对称,则 ,若与关于原点对称,则 .
(13)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为______________________________.-1,-2,-3相矛盾,所以验证是假命题.
【考点】不等式的性质
【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题,一般采用举反例排除法.解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证,答案不唯一.
(14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=WWW.ziyuanku.comZiyuanku.com1,2,3.
记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是_________.
记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是_________.

【答案】;
【解析】
试题分析:作图可得纵坐标中点纵坐标,所以第一位选 
作原点的对称点比较直线 斜率,可得最大,所以选 WWW.ziyuanku.com
【名师点睛】考查了根据实际问题分析和解决问题的能力,以及转化与化归的能力,因为第名工人加工总的零件数是,比较总的零件数的大小,即可转化为比较的大小,而表示中点连线的纵坐标,而第二问也可转化为中点与原点连线的斜率.
三、解答题共6小题,共80分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程
(15)(本小题13分)
在△ABC中, =60°,c=a.
(Ⅰ)求sinC的值;
(Ⅱ)若a=7求△ABC的面积.
;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)根据正弦定理求的值;(Ⅱ)根据条件可知根据(Ⅰ)的结果求,再利用求解,最后利用三角形的面积.

【考点】1.正余弦定理;2.三角形面积;3.三角恒等变换.
【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.(16)(本小题14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD平面ABCD,点M在线段PB上,PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(I)求证:M为PB的中点;
(II)求二面角B-PD-A的大小;
(III)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.

 ;(Ⅲ) 
【解析】

试题解析:解:(I)设交点为,连接.
因为平面,平面平面,所以.
因为是正方形,所以为的中点,所以为的中点.

(II)取的中点,连接.
因为,所以.
又因为平面平面,且平面,所以平面.
因为平面,所以.
因为是正方形所以
如图建立空间直角坐标系,则,,
,.
设平面的法向量为,则即
令,则.于是
平面的法向量为所以
由题知二面角为锐角,所以它的大小为.

(III)由题意知,,.
设直线与平面所成角为,则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【考点】1.线线,线面的位置关系;2.向量法.
【名师点睛】本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质,全面考查立体几何中的证明与求解,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法,要注意建立适当的空间直角坐标系以及运算的准确性.
(17)(本小题13分)
为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.

(Ⅰ)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;
(Ⅱ)从图中A,B,C,D四人中随机.选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望E();
(Ⅲ)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)
数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
【解析】

(Ⅱ)由图知,A,B,C,D四人中,指标的值大于1.7的有2人:A和C.
所以的所有可能取值为0,1,2.
.
所以的分布列为
	0	1	2		 					故的期望.
(Ⅲ)在这100名患者中,服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差.
【考点】1.古典概型;2.超几何分布;3.方差的定义.
【名师点睛】求分布列的三种方法
1.由统计数据得到离散型随机变量的分布列;
2.由古典概型求出离散型随机变量的分布列;
3.由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列.

已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点(0,)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.
()求
()求证:
【答案】(Ⅰ)方程为,抛物线C的焦点坐标为(,0),准线方程为.(Ⅱ)详见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)代入点求得抛物线的方程,根据方程表示焦点坐标和准线方程;(Ⅱ)设直线l的方程为(),与抛物线方程联立,得到根与系数的关系,直线ON的方程为,联立求得点 的坐标,证明.
试题解析:解:(Ⅰ)由抛物线C:过点.
所以抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为(,0),准线方程为.
(Ⅱ)由题意,设直线l的方程为(),l与抛物线C的交点为,.
由,得,.
因Ziyuanku.com为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为,点.
直线ON的方程为,点.
因为




,
所以.
故A为线段BM的中点.
【考点】1.抛物线方程;2.直线与抛物线的位置关系
【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,考查了转换与化归能力,当看到题目中出现直线与圆锥曲线时,不需要特殊技巧,只要联立直线与圆锥曲线的方程,借助根与系数关系,找准题设条件中突显的或隐含的等量关系,把这种关系“翻译”出来,有时不一定要把结果及时求出来,可能需要整
体代换到后面的计算中去,从而减少计算量.
(19)(本小题13分)
已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.;(Ⅱ)最大值1;最小值.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)根据导数的几何意义,求斜率再代入切线方程公式;(Ⅱ)设,求,根据确定函数的单调性,根据单调减求函数的最大值,可以知道恒成立,所以函数是单调递减函数,根据单调性求最值.
试题解析:(Ⅰ)因为,所以.
又因为,所以曲线在点处的切线方程为
【考点】1.导数的几何意义;2.利用导数求函数的最值.
【名师点睛】这道导数题并不难,比一般意义上的压轴题要简单很多,第二问比较有特点是需要求二阶导数,因为不能判断函数的单调性,所以需要再求一次导数,设 ,再求,一般这时就可求得函数的零点,或是恒成立,这样就能知道函数的单调性,根据单调性求最值,从而判断的单调性,求得最值.
(20)(本小题13分)
设和是两个等差数列,记,
其中表示这个数中最大的数.
(Ⅰ)若,,求的值,并证明是等差数列;
()证明:或者对任意正数,存在正整数,当时,;或者存在正整数,使得是等差数列.,观察规律,再证明当时,所以关于单调递减,即证明;(Ⅱ)首先求的通项公式,分三种情况讨论证明.

(Ⅱ)设数列和的公差分别为,则
.
所以 
①当时,取正整数,则当时,,因此.
此时,是等差数列.
②当时,对任意,

此时,是等差数列.
③当时,
当时,有.
所以
 
对任意正数,取正整数,
故当时,.
【考点】1.新定义;2.数列的综合应用;3.推理与证明.
【名师点睛】近年北京卷理科压轴题一直为新信息题,本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力,本题属于偏难问题,反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力,本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法,即考查了数列(分段形函数)求值,又考查了归纳法证明和对数据的分析研究,考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力,本题属于拔高难题,特别是第二两步难度较大,适合选拔优秀学生.













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