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2018届高三数学(理)二轮复习课件:第1部分 专题3 第1讲 等差数列、等比数列

资料类别: 数学/课件

所属版本: 通用

所属地区: 全国

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* * * * * * * * * * * * * 考点三 等差数列、等比数列的判定与证明 方法结论 考点三 等差数列、等比数列的判定与证明 类题通法 考点三 等差数列、等比数列的判定与证明 考点三 等差数列、等比数列的判定与证明 演练冲关 考点三 等差数列、等比数列的判定与证明 演练冲关 考点四 等差、等比数列与其他知识的交汇 考点四 等差、等比数列与其他知识的交汇 类题通法 考点四 等差、等比数列与其他知识的交汇 考点四 等差、等比数列与其他知识的交汇 演练通关 考点四 等差、等比数列与其他知识的交汇 演练通关 类题通法 考点四 等差、等比数列与其他知识的交汇 演练通关 考点四 等差、等比数列与其他知识的交汇 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 专题三  数列  第一讲 等差数列、等比数列 热点聚焦  题型突破 限时规范训练 高考体验  真题自检 目  录 ONTENTS 考情分析 1 考情分析 1 真题自检 2 C  2 真题自检 C 2 真题自检 B  2 真题自检 2 真题自检 2 真题自检 方法结论 考点一 等差数列、等比数列的基本运算 题组突破 考点一 等差数列、等比数列的基本运算 题组突破 考点一 等差数列、等比数列的基本运算 题组突破 考点一 等差数列、等比数列的基本运算 题组突破 考点一 等差数列、等比数列的基本运算 误区警示 考点一 等差数列、等比数列的基本运算 考点二  等差数列、等比数列的性质 方法结论 考点二  等差数列、等比数列的性质 方法结论 题组突破 考点二  等差数列、等比数列的性质 题组突破 考点二  等差数列、等比数列的性质 题组突破 考点二  等差数列、等比数列的性质 误区警示 考点二  等差数列、等比数列的性质 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1.(2017·高考全国卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(  )
A.1  B.2C.4  	D.8
解析:设等差数列{an}的公差为d,
∴d=4,故选C.
2.(2016·高考全国卷)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=(  )
A.100 B.99C.98 	 D.97
解析:法一:{an}是等差数列,设其公差为d,
S9=(a1+a9)=9a5=27,a5=3.又a10=8,∴∴a100=a1+99d=-1+99×1=98.故选C.
法二:{an}是等差数列,S9=(a1+a9)=9a5=27,a5=3.
在等差数列{an}中,a5,a10,a15,…,a100成等差数列,且公差d′=a10-a5=8-3=5.故a100=a5+(20-1)×5=98.故选C.
3.(2015·高考全国卷)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=(  )
A.21 	B.42
C.63 	D.84
解析:a1=3,a1+a3+a5=21,3+3q2+3q4=21.1+q2+q4=7.解得q2=2或q2=-3(舍去).a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42.
解析:设等比数列{an}的公比为q,则由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=.又a1+a1q2=10,a1=8.
故a1a2…an=aq1+2+…+(n-1)=
记t=-+=-(n2-7n)=-2+,结合nN*可知n=3或4时,t有最大值6.
又y=2t为增函数,从而a1a2…an的最大值为26=64.
答案:B
5.(2015·高考全国卷)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=________.

解析:an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,
Sn+1-Sn=SnSn+1.Sn≠0,-=1,即-=-1.又=-1,是首项为-1,公差为-1的等差数列.
=-1+(n-1)×(-1)=-n,Sn=-.
-
1.两组求和公式
(1)等差数列:Sn==na1+d;
(2)等比数列:Sn==(q≠1).
2.在进行等差(比)数列项与和的运算时,若条件和结论间的联系不明显,则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解,但要注意消元法及整体计算,以减少计算量.
1.(2017·高考全国卷)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(  )
A.-24      	B.-3
C.3 	D.8

设等差数列{an}的公差为d,因为a2,a3,a6成等比数列,所以a2a6=a,即(a1+d)(a1+5d)=(a1+2d)2,又a1=1,所以d2+2d=0,又d≠0,则d=-2,所以a6=a1+5d=-9,所以{an}前6项的和S6=×6=-24,故选A.

A
2.(2017·贵阳模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a9=16,则S11=(  )
A.88      	B.48
C.96 	D.176

通解:依题意得S11====88,选A.
优解:依题意,可考虑将题目中的等差数列特殊化为常数列(注意慎用此方法),即an=8,因此S11=88,选A.

A
设数列{an}的公比为q,依题意有a1=1,4a2=4a1+a3,即4q=4+q2,故q=2,则S7==127.

3.(2017·陕西模拟)已知数列{an},an>0, 它的前n项和为Sn,且2a2是4a1与a3的等差中项.若{an}为等比数列,a1=1,则S7=________.

127
4.(2017·长沙模拟)已知数列{an}为等差数列,其中a2+a3=8,a5=3a2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{bn}中,b1=1,b2=2,从数列{an}中取出第bn项记为cn,若{cn}是等比数列,求{bn}的前n项和.

(1)设等差数列{an}的公差为d,依题意有,解得a1=1,d=2,从而{an}的通项公式为an=2n-1,nN*.
(2)c1=ab1=a1=1,c2=ab2=a2=3,
从而等比数列{cn}的公比为3,因此cn=1×3n-1=3n-1.
另一方面,cn=abn=2bn-1,所以2bn-1=3n-1,
因此bn=.记{bn}的前n项和为Sn,
则Sn==.
在运用等比数列前n项和公式时,一定要注意判断公比q是否为1,切忌盲目套用公式导数失误.
1.等差数列、等比数列常用性质:
	等差数列	等比数列		性
质	(1)若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq;
(2)an=am+(n-m)d;
(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等差数列	(1)若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq;
(2)an=amqn-m;
(3)Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍成等比数列(Sm≠0)	
2.等差数列中利用中项求和.
(1)若n为奇数,则Sn=.
(2)若n为偶数,则S 
3.在等差数列中,当项数为偶数2n时,有S偶-S奇=nd,=;当项数为奇数2n-1时,有S奇-S偶=an,=.
4.在等比数列中,当项数为偶数2n时,=q.
依题意得(a1+a10)2-2a1a10=(a5+a6)2-2a1a10=121-2a1a10=101,a1a10=10,又a1+a10=a5+a6=11,a1<a10,a1=1,a10=10,d==1,选A.
1.(2017·洛阳模拟)等差数列{an}为递增数列,若a+a=101,a5+a6=11,则数列{an}的公差d等于(  )
A.1      	B.2
C.9 	D.10

A
2.(2017·江西红色七校联考)等比数列{an}满足an>0,q>1,a3+a5=20,a2a6=64,则公比q为(  )
A.  B.
C.2 	D.4

通解:由已知可得aq6=64,即a1q3=8,得a4=8,所以+8q=20,化简得2q2-5q+2=0,解得q=2或q=(舍去),故q=2,选C.
优解:由已知可得,解得或(舍去),故==4=q2,故q=2,选C.

C
3.(2017·江西高安中学等九校联考)已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a1·a6·a11=3,b1+b6+b11=7π,则tan的值是(  )
A.1  B.
C.- 	D.-

{an}是等比数列,{bn}是等差数列,且a1·a6·a11=3,b1+b6+b11=7π,a=()3,3b6=7π,a6=,b6=,
tan=tan=tan=tan(-)=tan(-2π-)=-tan=-.
D
在等比数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m…仍成等比数列的前提是Sm≠0,易忽视这一条件.
1.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法:
(1)利用定义,证明an+1-an(nN*)为一常数;
(2)利用等差中项性质,即证明2an=an-1+an+1(n≥2).
2.证明{an}是等比数列的两种基本方法:
(1)利用定义,证明(nN*)为一常数;
(2)利用等比中项性质,即证明a=an-1an+1(n≥2,an≠0).
[典例] (2017·玉溪模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.
(1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;
(2)求数列{bn}的通项公式.

(1)证明:an+Sn=n ,
an+1+Sn+1=n+1 .
②-得an+1-an+an+1=1,2an+1=an+1,2(an+1-1)=an-1,
当n=1时,a1+S1=1,a1=,a1-1=-,=,又cn=an-1,{cn}是首项为-,公比为的等比数列.
(2)由(1)可知cn=(-)·()n-1=-()n,an=cn+1=1-()n.
当n≥2时,bn=an-an-1=1-()n-[1-()n-1]=()n-1-()n=()n.
又b1=a1=也符合上式,bn=()n.

1.等价转化思想在解决an与Sn关系问题中的应用
在已知an与Sn的关系问题中,通常利用an与Sn的关系转化为{an}中an与an-1或an+1与an的关系,然后再求解其他问题.
2.构建新数列是解决递推关系求通项公式中的一种常用方法.如本例(1)问中构造{an-1}为等比数列.
1.(2017·华南师大附中测试)在数列{an}中,a1=p,an+1=qan+d(nN*,p,q,d是常数),则d=0是数列{an}是等比数列的(  )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

当d=0,p=0时,an=0,数列{an}不是等比数列,所以充分性不成立;当q=0,p=d,d≠0时,an=d,则数列{an}为公比为1的等比数列,所以必要性不成立.综上所述,d=0是数列{an}是等比数列的既不充分也不必要条件,故选D.

D
2.(2017·临川一中模拟)已知数列{an}满足:a1=3,an+1=an+2n+2.
(1)证明:数列{}是等差数列;
(2)证明:+++…+<1.

(1)由an+1=an+2n+2得=+2,
即-=2,数列{}是首项为3,公差为2的等差数列.
(2)由(1)知,=3+(n-1)×2=2n+1,
an=n(2n+1),=<=-,
+++…+<(-)+(-)+(-)+…+(-)=-<1,+++…+<1.
交汇点 数列与其他知识的交汇
数列在中学教材中既有相对独立性,又有较强的综合性,很多数列问题一般转化为特殊数列求解,一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合,考查数列的基本运算与应用.
[典例1] (2017·宜昌月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若=a1+a2 016,且A,B,C三点共线(该直线不过点O),则S2 016等于(  )
A.1 007    	B.1 008
C.2 015 	D.2 016

∵A,B,C三点共线,a1+a2 016=1,
S2 016==1 008,故选B.
B
本题巧妙地将三点共线条件(=x+y且A,B,C三点共线x+y=1)与等差数列的求和公式结合,解决的关键是抓住整体求值思想.
1.(2017·铜仁质检)在由正数组成的等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值为(  )
A.  B.
C.1 	D.-

因为a3a4a5=3π=a,所以a4=,即log3a1+log3a2+…+log3a7=log3(a1a2…a7)=log3a==,所以sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)=.
B
创新点 新定义下数列的创新问题
[典例2] 设Sn为数列{an}的前n项和,若(nN*)是非零常数,则称该数列为“和等比数列”;若数列{cn}是首项为2,公差为d(d≠0)的等差数列,且数列{cn}是“和等比数列”,则d=________.

由题意可知,数列{cn}的前n项和为Sn=,前2n项和为S2n=,所以==2+=2+.因为数列{cn}是“和等比数列”,即为非零常数,所以d=4.
4
解决新定义下数列问题一般是直接扣定义进行求解.本例的关键是抓住为非零常数来确定参数值.
2.在数列{an}中,nN*,若=k(k为常数),则称{an}为“等差比数列”,下列是对“等差比数列”的判断:
k不可能为0;
等差数列一定是“等差比数列”;
等比数列一定是“等差比数列”;
“等差比数列”中可以有无数项为0.
其中所有正确判断的序号是________.

由等差比数列的定义可知,k不为0,所以正确,当等差数列的公差为0,即等差数列为常数列时,等差数列不是等差比数列,所以错误;当{an}是等比数列,且公比q=1时,{an}不是等差比数列,所以错误;数列0,1,0,1,…是等差比数列,该数列中有无数多个0,所以正确.

①④

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