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2018届高三数学(理)二轮复习课件:第1部分 专题4 第1讲 空间几何体

资料类别: 数学/课件

所属版本: 通用

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* * * * * * * * * * * * * * * * * 考点三  空间几何体与球的切、接问题 方法结论 考点三  空间几何体与球的切、接问题 方法结论 考点三  空间几何体与球的切、接问题 考点三  空间几何体与球的切、接问题 考点三  空间几何体与球的切、接问题 类题通法 考点三  空间几何体与球的切、接问题 类题通法 考点三  空间几何体与球的切、接问题 考点三  空间几何体与球的切、接问题 演练冲关 考点三  空间几何体与球的切、接问题 演练冲关 考点四   与球切、接有关的几何体的最值问题 考点四   与球切、接有关的几何体的最值问题 类题通法 考点四   与球切、接有关的几何体的最值问题 演练冲关 考点四   与球切、接有关的几何体的最值问题 演练冲关 考点四   与球切、接有关的几何体的最值问题 * * * * * * * * * * * * * * * * * * 专题四  立体几何 第一讲 空间几何体 热点聚焦  题型突破 限时规范训练 高考体验  真题自检 目  录 ONTENTS 考情分析 1 考情分析 1 考情分析 1 真题自检 2 B  2 真题自检 2 真题自检 2 真题自检 2 真题自检 2 真题自检 2 真题自检 2 真题自检 B  方法结论 考点一 空间几何体与三视图 题组突破 考点一 空间几何体与三视图 题组突破 考点一 空间几何体与三视图 误区警示 考点一 空间几何体与三视图 考点二 空间几何体的表面积与体积 方法结论 题组突破 考点二 空间几何体的表面积与体积 题组突破 考点二 空间几何体的表面积与体积 题组突破 考点二 空间几何体的表面积与体积 误区警示 考点二 空间几何体的表面积与体积 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1.(2017·高考全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为(  )
A.10 B.12C.14 	D.16
解析:由三视图可知该多面体是一个组合体,下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱,上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥,等腰直角三角形的腰长为2,直三棱柱的高为2,三棱锥的高为2,易知该多面体有2个面是梯形,这些梯形的面积之和为×2=12,故选B.
解析:法一:由题意知,该几何体由底面半径为3,高为10的圆柱截去底面半径为3,高为6的圆柱的一半所得,故其体积V=π×32×10-×π×32×6=63π.
法二:依题意,该几何体由底面半径为3,高为10的圆柱截去底面半径为3,高为6的圆柱的一半所得,其体积等价于底面半径为3,高为7的圆柱的体积,所以它的体积V=π×32×7=63π,选择B.
答案:B
3.(2016·高考全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为(  )

A.20π 	B.24π
C.28π 	D.32π
解析:由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体,设圆柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为l,圆柱高为h.由图得r=2,c=2πr=4π,h=4,由勾股定理得:l==4,S表=πr2+ch+cl=4π+16π+8π=28π.
答案:C
4.(2016·高考全国卷)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为(  )

A.18+36 	B.54+18
C.90 	D.81
解析:由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱,其中有两个侧面为矩形,另两个侧面为平行四边形,则表面积为(3×3+3×6+3×3)×2=54+18.故选B.
答案:B
5.(2016·高考全国卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是(  )
A.4π   B.C.6π  D.
解析:设球的半径为R,ABC的内切圆半径为=2,R≤2.又2R≤3,R≤,Vmax=×π×3=.故选B.
一个物体的三视图的排列规则
俯视图放在正视图的下面,长度与正视图的长度一样,侧视图放在正视图的右面,高度与正视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.
侧视图从图形的左面向右面看,看到一个矩形,在矩形上有一条对角线,对角线是由左下角到右上角的线,故选C.

1.(2017·吉林实验中学模拟)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(  )



C
由三视图还原出原几何体的直观图如图所示,因为AB⊥平面BCD,AE平面ABC,CD平面ABC,所以平面ABE平面BCD,平面AEB平面ABC,平面BCD平面ABC,平面AEDC平面ABC,故选B.

B
2.(2017·安徽六校素质测试) 如图,网格纸上每个小正方形的边长为1,图中粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的表面中互相垂直的平面有(  )

A.3对     	B.4对
C.5对 	D.6对
要熟悉各种基本几何体的三视图.同时要注意画三视图时,能看到的轮廓线画成实线,看不到的轮廓线画成虚线.
求解几何体的表面积或体积
(1)对于规则几何体,可直接利用公式计算.
(2)对于不规则几何体,可采用割补法求解;对于某些三棱锥,有时可采用等体积转换法求解.
(3)求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形的应用.
由三视图可知,该几何体是半径为1的半球,其表面积为2π+π=3π.选A.

1.(2017·长沙模拟)如图是某几何体的三视图,其正视图、侧视图均是直径为2的半圆,俯视图是直径为2的圆,则该几何体的表面积为(  )
A.3π 	B.4π
C.5π 	D.12π

A
2.(2017·贵阳模拟)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是边长为2的等边三角形,俯视图为正六边形,则该几何体的体积是(  )
A.    B.1C.2  D.
依题意得,题中的几何体是一个倒立的正六棱锥,其中底面是边长为1的正六边形,高为2×=,因此题中的几何体体积等于×(6××12)×=,选D.

D
3.已知简单组合体的三视图如图所示,则此简单组合体的体积为(  )

A.π B.14πC.π-8 D.π-4
依题意知,该简单组合体是从一个圆锥(底面半径为2、高为4)中截去一个正四棱柱(底面正方形边长为、高为2)后剩余的部分,因此该简单组合体的体积为π×22×4-()2×2=-4,选D.

D
1.求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面;
2.在求几何体的表面积和体积时,注意等价转化思想的运用,如用“割补法”把不规则几何体转化为规则几何体、立体几何问题转化为平面几何问题等.
1.解决与球有关的“切”“接”问题,一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面,把空间问题转化为平面问题,从而寻找几何体各元素之间的关系.
2.记住几个常用的结论:
(1)正方体的棱长为a,球的半径为R.
正方体的外接球,则2R=a;
正方体的内切球,则2R=a;
球与正方体的各棱相切,则2R=a.
(2)在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,球的半径为R,则2R=.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.
[典例](1)已知S,A,B,C是球O表面上的不同点,SA平面ABC,ABBC,AB=1,BC=.若球O的表面积为4π,则SA=(  )
A. 	B.1
C.  D.

根据已知把SABC补成如图所示的长方体.因为球O的表面积为4π,所以球O的半径R=1,2R==2,解得SA=1,故选B.
B
(2)(2017·高考全国卷)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为(  )
A.π  B.
C.  	D.

设圆柱的底面半径为r,则r2=12-2=,所以,圆柱的体积V=π×1=,故选B.

B
(3)(2017·广西三市联考)已知长方体ABCDA1B1C1D1内接于球O, 底面ABCD是边长为2的正方形,E为AA1的中点,OA平面BDE,则球O的表面积为________.

取BD的中点为O1,连接OO1,OE,O1E,O1A,则四边形OO1AE为矩形,OA⊥平面BDE,OA⊥EO1,即四边形OO1AE为正方形,则球O的半径R=OA=2,球O的表面积S=4π×22=16π.

16π
1.构造法在定几何体外接球球心中的应用
常见的构造条件及构造方法有:
(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥,可将三棱锥补形成长方体或正方体;(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥,可将三棱锥补形成长方体或正方体;(3)若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补形成长方体或正方体;(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补形成长方体或正方体.
2.性质法在定几何体外接球球心中的应用
立体几何问题转化为平面几何问题,体现了等价转化思想与数形结合思想,方法是利用球心O与截面圆圆心O′的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质,确定球心.
1.(2017·贵阳模拟)三棱锥PABC的四个顶点都在体积为的球的表面上,底面ABC所在的小圆面积为16π,则该三棱锥的高的最大值为(  )
A.4 	B.6
C.8 	D.10

依题意,设题中球的球心为O、半径为R,ABC的外接圆半径为r,则=,解得R=5, 由πr2=16π,解得r=4,又球心O到平面ABC的距离为=3,因此三棱锥PABC的高的最大值为5+3=8,选C.
C
2.正三棱锥ABCD内接于球O,且底面边长为,侧棱长为2,则球O的表面积为________.

如图, 设三棱锥ABCD的外接球的半径为r,M为正BCD的中心,因为BC=CD=BD=,AB=AC=AD=2,AM平面BCD,所以DM=1,AM=,又OA=OD=r,所以(-r)2+1=r2,解得r=,所以球O的表面积S=.

   [方法结论]
与球切、接有关的几何体的最值问题多涉及体积最值问题、截面面积问题.
[典例] (2017·洛阳统考)已知点A,B,C,D均在球O上,AB=BC=,AC=2.若三棱锥DABC体积的最大值为3,则球O的表面积为________.

由题意可得,ABC=,ABC的外接圆半径r=,当三棱锥的体积最大时,VDABC=SABC·h(h为D到底面ABC的距离),即3=×××hh=3,即R+=3(R为外接球半径),解得R=2,球O的表面积为4π×22=16π.
16π

求解此类问题的关键是结合图形分析取得最值的条件转化求解,有时也可建立目标函数转化为函数最值求解.
1.(2016·长春质量监测)正四面体ABCD的外接球半径为2,过棱AB作该球的截面,则截面面积的最小值为________.

由题意,面积最小的截面是以AB为直径的圆,在正四面体ABCD中,如图,设E为△BCD的中心,连接AE,BE,则球心O在AE上,延长AE交球面于F,则AF是球的直径,ABF=90°,又AEBE,所以在ABF中,由射影定理得AB2=AE·AF=4AE,又AE==AB,所以AB=,故截面面积的最小值为π2=.

2.(2017·贵州适应性考试)已知正三棱柱(底面是正三角形,侧棱与底面垂直)的体积为3 cm3,其所有顶点都在球O的球面上,则球O的表面积的最小值为________cm2.

球O的表面积最小球O的半径R最小.设正三棱柱的底面边长为a,高为b,则正三棱柱的体积V=a2b=3, 所以a2b=12.底面正三角形所在截面圆的半径r=a,则R2=r2+2=+=×+=+,令f(b)=+,0<b<2R,则f′(b)=,令f′(b)=0,解得b=2 ,当0<b<2时,f′(b)<0,函数f(b)单调递减,当b>2时,f′(b)>0,函数f(b)单调递增,所以当b=2时,f(b)取得最小值3, 即(R2)min=3,故球O的表面积的最小值为12π.
12π
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