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2018届高三数学(理)二轮复习课件:第1部分 专题5 第3讲 第1课时 圆锥曲线的最值、范围、证明问题

资料类别: 数学/课件

所属版本: 通用

所属地区: 全国

上传时间:2018/3/16

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(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.
解析:(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.
又由+>+知,C不经过点P1,所以点P2在C上.
因此解得
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.
如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐标分别为
,.
则k1+k2=-=-1,得t=2,不符合题设.
从而可设l:y=kx+m(m≠1).将y=kx+m代入+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.
由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=.
而k1+k2=+=+
=
由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.
即(2k+1)·+(m-1)·=0.
解得k=-.
当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),
所以l过定点(2,-1).
2.(2016·高考全国卷)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;
(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
解析:由题意知F,
设直线l1的方程为y=a,直线l2的方程为y=b,
则ab≠0,且A,B,
P,Q,R.
记过A,B两点的直线为l,
则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.
(1)证明:由于F在线段AB上,故1+ab=0.
记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则
k1=====-b==k2.
所以ARFQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),
则SABF=|b-a||FD|=|b-a|,
SPQF=.由题意可得|b-a|=,
所以x1=1或x1=0(舍去).
设满足条件的AB的中点为E(x,y).
当AB与x轴不垂直时,
由kAB=kDE可得=(x≠1).
而=y,所以y2=x-1(x≠1).
当AB与x轴垂直时,E与D重合,此时E点坐标为(1,0),
满足方程y2=x-1.
所以所求的轨迹方程为y2=x-1.
3.(2017·高考全国卷)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明:坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.
解析:(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2,
由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.
又x1=,x2=,故x1x2==4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·==-1,
所以OAOB,故坐标原点O在圆M上.
(2)由(1)可得y1+y2=2m,
x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4,
故圆心M的坐标为(m2+2,m),
圆M的半径r=.
由于圆M过点P(4,-2),因此·=0,
故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,
即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.
由(1)可知y1y2=-4,x1x2=4,
所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.
当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,
圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.
当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为 ,圆M的半径为,
圆M的方程为2+2=.
第一课时 圆锥曲线的最值、范围、证明问题
求解圆锥曲线中的最值问题主要有两种方法:一是利用几何方法,即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
[典例] (1)(2017·长沙模拟)P是双曲线C:-y2=1右支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线,P在l上的射影为Q,F1是双曲线C的左焦点,则|PF1|+|PQ|的最小值为(  )
A.1          	B.2+
C.4+ 	D.2+1

设F2是双曲线C的右焦点,因为|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|+|PQ|=2+|PF2|+|PQ|,显然当F2,P,Q三点共线且P在F2,Q之间时,|PF2|+|PQ|最小,且最小值为F2到l的距离.易知l的方程为y=或y=-,F2(,0),求得F2到l的距离为1,故|PF1|+|PQ|的最小值为2+1.选D.

D
(2)设抛物线y2=6x的焦点为F,已知A,B为抛物线上的两个动点,且满足AFB=60°,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线为MN,垂足为N,则的最大值为________.

过A,B分别向准线作垂线,垂足分别为A1,B1,设|AF|=a,|BF|=b,如图,根据梯形中位线性质知|MN|=.在△AFB中,由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos 60°=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-32=.所以|AB|≥,≤1.

1

解析:由题设条件可得,椭圆的方程为+y2=1,直线AB的方程为x+2y-2=0.
设D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1<x2,
由,得(1+4k2)x2=4,解得x2=-x1=.
由=6,得x0-x1=6(x2-x0),
∴x0=(6x2+x1)=x2= .
由D在AB上,得x0+2kx0-2=0,x0=.
=,化简,得24k2-25k+6=0,
解得k=,或k=.
②根据点到直线的距离公式和式可知,点E,F到AB的距离分别为d1==,d2==,
又|AB|==,四边形AEBF的面积为
S=|AB|(d1+d2)=··==
2=2=
2≤2=
2,当且仅当4k=(k>0),即k=时,等号成立.
故四边形AEBF面积的最大值为2.
求圆锥曲线中的最值问题常用的方法
1.几何法:题中给出的条件有明显的几何特征,考虑用图象性质来解决,这是几何法,充分体现了数形结合思想.
2.代数法:题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求这个函数的最值.
1.(2017·江西南昌重点中学模拟)设椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率与双曲线x2-y2=1的离心率互为倒数,且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆M的方程;
(2)若直线y=x+m交椭圆M于A,B两点,P(1,)为椭圆M上一点,求PAB面积的最大值.

解析:(1)由题可知,双曲线的离心率为,
则椭圆的离心率e==,
由2a=4,=,b2=a2-c2,得a=2,c=,b=,
故椭圆M的方程为+=1.
(2)联立方程
得4x2+2mx+m2-4=0,
由Δ=(2m)2-16(m2-4)>0,得-2<m<2.
且
所以|AB|=|x1-x2|
=·
=·=·.又P到直线AB的距离为d=,
所以S△PAB=|AB|·d=··==≤·=.
当且仅当m=±2(-2,2)时取等号,所以PAB面积的最大值为.
2.如图,设椭圆C:+=1(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.

(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;
(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b.
解析:(1)设直线l的方程为y=kx+m(k<0),
由消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0.
由于l与C只有一个公共点,故Δ=0,即b2-m2+a2k2=0,解得点P的坐标为.
又点P在第一象限,
故点P的坐标为.
(2)证明:由于直线l1过原点O且与l垂直,故直线l1的方程为x+ky=0,
所以点P到直线l1的距离
d=,
整理得d= .
因为a2k2+≥2ab,
所以≤
=a-b,
当且仅当k2=时等号成立.
所以,点P到直线l1的距离的最大值为a-b.
圆锥曲线中的范围问题
(1)解决这类问题的基本思路是建立目标函数和不等关系.
(2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题;建立不等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理.
[典例] (2017·广西三市联考)已知右焦点为F2(c,0)的椭圆C:+=1(a>b>0)过点(1,),且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点(,0)作直线l与椭圆C交于E,F两点,线段EF的中点为M,点A是椭圆C的右顶点,求直线MA的斜率k的取值范围.
解析:(1)椭圆C过点(1,),
+=1,
∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点,a=2c,
a2=b2+c2,b2=a2,
由得a2=4,b2=3,
椭圆C的方程为+=1.
(2)依题意,直线l过点(,0)且斜率不为零,故可设其方程为x=my+.
由消去x,并整理得4(3m2+4)y2+12my-45=0.
设E(x1,y1),F(x2,y2),M(x0,y0),
∴y1+y2=-,y0==-,
x0=my0+=,k==.
当m=0时,k=0;当m≠0时,k=,
|4m+|=4|m|+≥8,0<≤,
0<|k|≤,-≤k≤且k≠0.
综合可知,直线MA的斜率k的取值范围是[-,].
求圆锥曲线中的范围问题常用等价转化思想与数形结合思想,常用方法有:
(1)几何法:根据圆锥曲线自身的几何性质以及几何量之间的不等关系建立不等式,求出参数的取值范围.
(2)代数法.常从以下五个方面入手:
若直线和圆锥曲线有两个不同的交点,则可以利用判别式求范围;若已知曲线上任意一点、一定点或与定点构成的图形,则利用圆锥曲线的性质(性质中的范围)求解;利用隐含或已知的不等关系式直接求范围;利用基本不等式求范围;利用函数值域的方法求范围.
1.过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若<k<,则椭圆C的离心率的取值范围是(  )

A.(,) B.(,1)C.(,) 	D.(0,)
由题图可知,|AF|=a+c,|BF|=,于是k=.又<k<,所以<<,化简可得<<,从而可得<e<,选C.

C
2.(2017·怀化模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的两焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在点P,使得F1PF2=120°,则椭圆的离心率的取值范围是________.

由题意可得,椭圆的上顶点和两个焦点构成的等腰三角形中,顶角大于等于120°,所以底角小于等于30°,则≥, 即e≥,又e<1,所以椭圆的离心率的取值范围是[,1).

[,1)

1.圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).
2.解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
[典例] (2017·山西四校联考)如图,圆C与x轴相切于点T(2,0),与y轴正半轴相交于两点M、N(点M在点N的下方),且|MN|=3.

(1)求圆C的方程;
(2)过点M任作一条直线与椭圆+=1相交于两点A、B,连接AN、BN,求证:ANM=BNM.
解析:(1)设圆C的半径为r(r>0),依题意,圆心C的坐标为(2,r).
|MN|=3,r2=2+22,解得r2=.
圆C的方程为(x-2)2+2=.
(2)证明:把x=0代入方程(x-2)2+2=,解得y=1或y=4,即点M(0,1)、N(0,4).
①当ABx轴时,可知ANM=BNM=0°.
当AB与x轴不垂直时,可设直线AB的方程为y=kx+1.
联立方程,消去y得,(1+2k2)x2+4kx-6=0.
设直线AB交椭圆于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则
x1+x2=,x1x2=.
∴kAN+kBN=+=+=.
若kAN+kBN=0,则ANM=BNM.
∵2kx1x2-3(x1+x2)=+=0,
ANM=BNM.
圆锥曲线中的证明问题常以椭圆、抛物线为载体,借助设而不求法,考查数形结合思想、方程思想、化归与转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力.
1.(2017·长沙模拟)如图,P是直线x=4上一动点,以P为圆心的圆Γ过定点B(1,0),直线l是圆Γ在点B处的切线,过A(-1,0)作圆Γ的两条切线分别与l交于E,F两点.

(1)求证:|EA|+|EB|为定值;
(2)设直线l交直线x=4于点Q,证明:|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|.
证明:(1)设AE切圆Γ于点M,直线x=4与x轴的交点为N,
故|EM|=|EB|.
从而|EA|+|EB|=|AM|=====4.
所以|EA|+|EB|为定值4.
(2)由(1)同理可知|FA|+|FB|=4,
故E,F均在椭圆+=1上.
设直线EF的方程为x=my+1(m≠0).
令x=4,求得y=,即Q点纵坐标yQ=.
由得,(3m2+4)y2+6my-9=0.
设E(x1,y1),F(x2,y2),
则有y1+y2=-,y1y2=-.
因为E,B,F,Q在同一条直线上,
所以|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|等价于(yB-y1)·(yQ-y2)=(y2-yB)(yQ-y1),
即-y1·+y1y2=y2·-y1y2,等价于2y1y2=(y1+y2)·.
将y1+y2=-,y1y2=-代入,知上式成立.
所以|EB|·|FQ|=|FB|·|EQ|.
2.如图,椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,x轴被曲线C2:y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长.

(1)求C1,C2的方程;
(2)设C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交于点D,E.
证明:MDME.
解析:(1)由题意,知e==,从而a=2b.
又2=a,解得a=2,b=1,
故C1,C2的方程分别为+y2=1,y=x2-1.
(2)证明:由题意,知直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y=kx.
由,得x2-kx-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实数根,于是x1+x2=k,x1x2=-1.
又点M的坐标为(0,-1),所以kMA·kMB=·====-1,
故MAMB,即MDME.
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