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2018届高三数学(理)二轮复习课件:第1部分 专题7 第1讲 坐标系与参数方程(选修4-4)

资料类别: 数学/课件

所属版本: 通用

所属地区: 全国

上传时间:2018/3/16

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* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 题组突破 考点一 简单曲线的极坐标方程及应用 题组突破 考点一 简单曲线的极坐标方程及应用 题组突破 考点一 简单曲线的极坐标方程及应用 误区警示 考点一 简单曲线的极坐标方程及应用 考点二  参数方程 方法结论 考点二  参数方程 方法结论 考点二  参数方程 方法结论 题组突破 考点二  参数方程 题组突破 考点二  参数方程 题组突破 考点二  参数方程 题组突破 考点二  参数方程 题组突破 考点二  参数方程 题组突破 考点二  参数方程 误区警示 考点二  参数方程 考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用 考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用 考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用 类题通法 考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用 演练通关 演练通关 演练通关 演练通关 * * * * * * * * * * 专题七   系列4选讲  第一讲 坐标系与参数方程(选修4-4) 热点聚焦  题型突破 限时规范训练 高考体验  真题自检 目  录 ONTENTS 考情分析 1 考情分析 1 考情分析 1 考情分析 1 真题自检 2 真题自检 2 真题自检 2 2 真题自检 2 真题自检 2 真题自检 2 真题自检 2 真题自检 2 真题自检 2 真题自检 2 真题自检 方法结论 考点一 简单曲线的极坐标方程及应用 方法结论 考点一 简单曲线的极坐标方程及应用 方法结论 考点一 简单曲线的极坐标方程及应用 题组突破 考点一 简单曲线的极坐标方程及应用 题组突破 考点一 简单曲线的极坐标方程及应用 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1.(2017·高考全国卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.
解析:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).
由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是OAB面积
S=|OA|·ρB·sinAOB=4cos α·|sin|
=2|sin-|≤2+.
当α=-时,S取得最大值2+.
所以OAB面积的最大值为2+.
2.(2016·高考全国卷)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.
解析:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.
(2)法一:由直线l的参数方程(t为参数),
消去参数得y=x·tan α.
设直线l的斜率为k,则直线l的方程为kx-y=0.
由圆C的方程(x+6)2+y2=25知,圆心坐标为(-6,0),半径为5.
又|AB|=,由垂径定理及点到直线的距离公式得=
,即=,
整理得k2=,解得k=±,
即l的斜率为±.
法二:在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρR).
设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0,
于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.
|AB|=|ρ1-ρ2|==.
由|AB|=得cos2 α=,tan α=±.
所以l的斜率为或-.
3.(2016·高考全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中 α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
解析:(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0,由方程组得16 cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,
由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,
从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.
当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上.
所以a=1.
4.(2016·高考全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
解析:(1)C1的普通方程为+y2=1,C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sin α).
因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,
d(α)==,
当且仅当α=2kπ+(kZ)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.
1.圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为:ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程:
(1)当圆心位于极点,半径为r:ρ=r;
(2)当圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos θ;
(3)当圆心位于M,半径为a:ρ=2asin θ.
2.直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴与此直线所成的角为α,则它的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).
几个特殊位置的直线的极坐标方程:
(1)直线过极点:θ=θ0和θ=π+θ0;
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a;
(3)直线过M且平行于极轴:ρsin θ=b.
3.极坐标与直角坐标的互化方法

点M	直角坐标(x,y)	极坐标(ρ,θ)		互化
公式				
1.(2017·太原模拟)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点.
(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;
(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.
解析:(1)由ρcos=1,得ρ=1.因为所以C的直角坐标方程为x+y=1,
即x+y=2.
当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0).
当θ=时,ρ=,所以N.
(2)由(1)可知M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为.
所以P点的直角坐标为,
则P点的极坐标为.
所以直线OP的极坐标方程为θ=,ρ(-∞,+∞).
2.(2017·西安模拟)已知曲线C:ρ=,直线l:ρ(cos θ-sin θ)=12.
(1)求直线l和曲线C的直角坐标方程;
(2)设点P在曲线C上,求到直线l的距离最小的点P的坐标.
解析:(1)由ρ=,得8ρ2sin2θ+ρ2=27,8y2+x2+y2=27,即+=1.
由ρ(cos θ-sin θ)=12,得ρcos θ-ρsin θ-12=0,即x-y-12=0.
(2)设点P(3cos θ,sin θ),点P到直线l的距离d==
=3,若点P到直线l的距离最小,则θ=-,此时点P.
1.极坐标方程与直角坐标方程互化时注意等价性.
2.在极坐标系中,若极角θR,则任一点的极坐标不唯一.
几种常见曲线的参数方程
(1)圆
以O′(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程是其中α是参数.
当圆心在(0,0)时,方程为其中α是参数.
(2)椭圆
椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数.
椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数.
(3)直线
经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数.
1.(2017·高考全国卷)选修4­4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.
解析:(1)曲线C的普通方程为+y2=1.
当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0,
由解得或
从而C与l的交点坐标为(3,0),.
(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离为d=.
当a≥-4时,d的最大值为 .由题设得=,所以a=8;
当a<-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=-16.
综上,a=8或a=-16.
2.(2017·惠州模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数).
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线l的倾斜角α的值.
解析:(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ.
x2+y2=ρ2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,
曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4.
(2)将代入曲线C的方程得(tcos α-1)2+(tsin α)2=4,化简得t2-2tcos α-3=0.
设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则.
∴|AB|=|t1-t2|===,
4cos2α=2,cos α=±,α=或.
对于直线l的参数方程(t为参数)
易忽视只有满足a2+b2=1时t才有几何意义.
[典例] (2017·贵阳模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)若A,B分别为曲线C1,C2上的动点,求当AB取最小值时AOB的面积.
解析:(1)由得C1的普通方程为(x-4)2+(y-5)2=9,由ρ=2sin θ得ρ2=2ρsin θ,
将x2+y2=ρ2,y=ρsin θ代入上式得C2的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1.
(2)如图,当A,B,C1,C2四点共线,且A,B在线段C1C2上时,|AB|取得最小值,

由(1)得C1(4,5),C2(0,1),
kC1C2==1,则直线C1C2的方程为x-y+1=0,
点O到直线C1C2的距离d==,
又|AB|=|C1C2|-1-3=-4=4-4,
S△AOB=d|AB|=××(4-4)=2-.
化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消参法、加减消参法、恒等式(三角的或代数的)消参法;极坐标方程与直角坐标方程的互化主要是用好“公式”.一般与极坐标方程和参数方程有关的问题多采用化为直角坐标方程的方法,结合图形,合理转化,加以求解.
1.(2017·沈阳模拟)在直角坐标系xOy中,直线l:y=x,圆C:(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线l与圆C的极坐标方程;
(2)设直线l与圆C的交点为M,N,求CMN的面积.

(1)将C的参数方程化为普通方程,得(x+1)2+(y+2)2=1,
x=ρcos θ,y=ρsin θ,直线l的极坐标方程为θ=(ρR),
圆C的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0.
(2)将θ=代入ρ2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0,得ρ2+3ρ+4=0,解得ρ1=-2,ρ2=-,|MN|=|ρ1-ρ2|=,
圆C的半径为1,CMN的面积为××1×sin =.
2.(2017·高考全国卷)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
解析:(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).
设P(x,y),由题设得消去k得x2-y2=4(y≠0).
所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).
联立得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).
故tan θ=-,从而cos2θ=,sin2θ=.
代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为.
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