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2018届高三数学(理)二轮复习课件:第2部分 专题1 选择、填空题常用的10种解法

资料类别: 数学/课件

所属版本: 通用

所属地区: 全国

上传时间:2018/3/16

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_____________________________________________________
所谓定义法,就是直接利用数学定义解题,数学中的定理、公式、性质和法则等,都是由定义和公理推演出来的.简单地说,定义是对数学实体的高度抽象,用定义法解题是最直接的方法.一般地,涉及圆锥曲线的顶点、焦点、准线、离心率等问题,常用定义法解决.
解析:由双曲线C1的方程可得|F1F2|=2=10,
由双曲线的定义可得|F1A|-|F2A|=2=8,
由已知可得|F1A|=|F1F2|=10,
所以|F2A|=|F1A|-8=2.
设椭圆的长轴长为2a,则由椭圆的定义可得2a=|F1A|+|F2A|=10+2=12.
所以椭圆C2的离心率e===.故选A.
答案:A
[增分有招] 利用定义法求解动点的轨迹或圆锥曲线的有关问题,要注意动点或圆锥曲线上的点所满足的条件,灵活利用相关的定义求解.如本例中根据双曲线的定义和已知条件,分别把A到两个焦点的距离求出来,然后根据椭圆定义求出其长轴长,最后就可根据离心率的定义求值.
由题意得,抛物线C:y2=4x的焦点为(1,0),准线为x=-1,由抛物线的定义,可知|P1F|=x1+1,|P2F|=x2+1,…,|PnF|=xn+1,故|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=x1+x2+…+xn+n=n+10,选A.
A
1.(2017·广州模拟)如果P1,P2,…,Pn是抛物线C:y2=4x上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,…,xn,F是抛物线C的焦点,若x1+x2+…+xn=10,则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=(  )
A.n+10 	B.n+20
C.2n+10 	D.2n+20
2.(2016·高考浙江卷)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是________.
解析:借助双曲线的定义、几何性质及余弦定理解决.
双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,|F1F2|=4,||PF1|-|PF2||=2.若F1PF2为锐角三角形,则由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-16>0,可化为(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|>16.由||PF1|-|PF2||=2,得(|PF1|+|PF2|)2-4|PF1||PF2|=4.故2|PF1||PF2|=,代入不等式可得(|PF1|+|PF2|)2>28,解得|PF1|+|PF2|>2.不妨设P在左支上,|PF1|2+16-|PF2|2>0,即(|PF1|+|PF2|)·(|PF1|-|PF2|)>-16,又|PF1|-|PF2|=-2,|PF1|+|PF2|<8.故2<|PF1|+|PF2|<8.
答案:(2,8)
方法二 特例法
______________________________________________________
特例法,包括特例验证法、特例排除法,就是充分运用选择题中单选题的特征,解题时,可以通过取一些特殊数值、特殊点、特殊函数、特殊数列、特殊图形、特殊位置、特殊向量等对选项进行验证的方法.对于定性、定值的问题可直接确定选项;对于其他问题可以排除干扰项,从而获得正确结论.这是一种求解选项之间有着明显差异的选择题的特殊化策略.
[例2] (2016·高考浙江卷)已知实数a,b,c(  )
A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100
B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100
C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100
D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100

结合特殊值,利用排除法选择答案.对于A,取a=b=10,c=-110,显然|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1成立,但a2+b2+c2>100,即a2+b2+c2<100不成立.对于B,取a2=10,b=-10,c=0,显然|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1成立,
但a2+b2+c2=110,即a2+b2+c2<100不成立.
对于C,取a=10,b=-10,c=0,
显然|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1成立,
但a2+b2+c2=200,即a2+b2+c2<100不成立.
综上知,A,B,C均不成立,所以选D.
D
[增分有招] 应用特例排除法的关键在于确定选项的差异性,利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应,从而排除干扰选项.
函数的定义域为(-∞,0)(0,+∞),且f()=coslog2||=-cos,f(-)=cos(-)·log2|-|=-cos,所以f(-)=f(),排除A,D;又f()=-cos<0,故排除C.综上,选B.
1.函数f(x)=cos x·log2|x|的图象大致为(  )

B 
2.已知E为ABC的重心,AD为BC边上的中线,令=a,=b,过点E的直线分别交AB,AC于P,Q两点,且=ma,=nb,则+=(  )
A.3 	B.4
C.5  D.

解析:由于题中直线PQ的条件是过点E,所以该直线是一条“动”直线,所以最后的结果必然是一个定值.故可利用特殊直线确定所求值.

法一:如图1,PQBC,则=,=,此时m=n=,故+=3.故选A.
法二:如图2,取直线BE作为直线PQ,显然,此时=,=,故m=1,n=,所以+=3.故选A.
答案:A
方法三 数形结合法
_____________________________________________________
数形结合法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用分为两种情形:一是代数问题几何化,借助形的直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是几何问题代数化,借助于数的精确性阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
[例3] (2017·安庆模拟)已知函数f(x)=,g(x)=x2-2x,设a为实数,若存在实数m,使f(m)-2g(a)=0,则实数a的取值范围为(  )
A.[-1,+) 								B.[-1,3]
C.(-∞,-1][3,+) 		D.(-,3]
解析:∵g(x)=x2-2x,a为实数,2g(a)=2a2-4a.函数f(x)=,作出函数f(x)的图象可知,其值域为[-2,6],存在实数m,使f(m)-2g(a)=0,-2≤2a2-4a≤6,即-1≤a≤3,故选B.

答案:B
[增分有招] 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,如本例中求解,可通过作出图象,数形结合求解.
1.(2017·珠海摸底)已知|a|=|b|,且|a+b|=|a-b|,则向量a与b的夹角为(  )
A.30° 	B.45°
C.60° 	D.120°
优解:由|a|=|b|,且|a+b|=|a-b|可构造边长为|a|=|b|=1的菱形,如图,则|a+b|与|a-b|分别表示两条对角线的长,且|a+b|=,|a-b|=1,故a与b的夹角为60°,选C.
答案:C
2.已知点P在抛物线y2=4x上,则点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线的焦点F的距离之和取得最小值时,点P的坐标为(  )
A.(,1) 	B.(,-1)
C.(1,2) 	D.(1,-2)

如图,因为点Q(2,-1)在抛物线的内部,由抛物线的定义可知,|PF|等于点P到准线x=-1的距离.过Q(2,-1)作x=-1的垂线QH,交抛物线于点K,则点K为点P到点Q(2,-1)的距离与点P到准线x=-1的距离之和取得最小值时的点.将y=-1代入y2=4x得x=,
所以点P的坐标为(,-1),选B.
B
方法四 待定系数法
______________________________________________________
要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫作待定系数法,其理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等.使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决.待定系数法主要用来解决所求解的数学问题具有某种确定的数学表达式,例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等.
由题意可得2c=4,故c=2,又e==,解得a=2,故b==2,因为焦点在y轴上,故选C.

[例4] (2017·天津红桥区模拟)已知椭圆C的焦点在y轴上,焦距等于4,离心率为,则椭圆C的标准方程是(  )
A.+=1  B.+=1
C.+=1  D.+=1
C
[增分有招] 待定系数法主要用来解决已经定性的问题,如本例中已知椭圆的焦点所在坐标轴,设出标准方程,根据已知列方程求解.
设等差数列{an}的公差为d,依题意,得,则前65项的和为65a1+d=65×+×=780.
1.若等差数列{an}的前20项的和为100,前45项的和为400,则前65项的和为(  )
A.640 	B.650
C.660 	D.780

D
2.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则f()的值为(  )

A. B.0C.1 D.
解析:由题图可知,A=2,T=-=π,T==π,ω=2,即f(x)=2sin(2x+φ),由f()=2sin(2×+φ)=2得2×+φ=2kπ+,kZ,即φ=+2kπ,kZ,又0<φ<π,φ=,f(x)=2sin(2x+),f()=2sin(2×+)=2cos =,故选D.
答案:D
方法五 估值法
______________________________________________________
估值法就是不需要计算出代数式的准确数值,通过估计其大致取值范围从而解决相应问题的方法.该种方法主要适用于比较大小的有关问题,尤其是在选择题或填空题中,解答不需要详细的过程,因此可以猜测、合情推理、估算而获得,从而减少运算量.
 [例5] 若a=20.5,b=logπ3,c=log2sin ,则(  )
A.a>b>c 	B.b>a>c
C.c>a>b 	D.b>c>a
解析:由指数函数的性质可知y=2x在R上单调递增,而0<0.5<1,所以a=20.5(1,2).由对数函数的性质可知y=logπx,y=log2x均在(0,+∞)上单调递增,而1<3<π,所以b=logπ3(0,1);因为sin (0,1),所以c=log2sin <0.
综上,a>1>b>0>c,即a>b>c.故选A.
[增分有招] 估算,省去很多推导过程和比较复杂的计算,节省时间,是发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法.但要注意估算也要有依据,如本例是根据指数函数与对数函数的单调性估计每个值的取值范围,从而比较三者的大小,其实质就是找一个中间值进行比较.
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1,其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π.若f(x)>1对于任意的x恒成立,则φ的取值范围是(  )
A.  B.
C.  	D.

解析:因为函数f(x)的最小值为-2+1=-1,由函数f(x)的图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π可得,该函数的最小正周期为T=π,所以=π,解得ω=2.故f(x)=2sin(2x+φ)+1.由f(x)>1,可得sin(2x+φ)>0.又x,所以2x.对于选项B,D,若取φ=,则2x+,在上,sin(2x+φ)<0,不合题意;对于选项C,若取φ=,则2x+,在上,sin(2x+φ)<0,不合题意.选A.
答案:A
方法六 反证法
__________________________________________________
反证法是指从命题正面论证比较困难,通过假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立的证明方法.反证法证明问题一般分为三步:(1)反设,即否定结论;(2)归谬,即推导矛盾;(3)得结论,即说明命题成立.
假设a,b,c均小于1,即a<1,b<1,c<1,则有a+b+c<3,而a+b+c=2x2-2x+=22+3≥3.显然两者矛盾,所以假设不成立.故a,b,c至少有一个不小于1.选A.
[例6] 已知xR,a=x2+,b=1-3x,c=x2+x+1,则下列说法正确的是(  )
A.a,b,c至少有一个不小于1
B.a,b,c至多有一个不小于1
C.a,b,c都小于1
D.a,b,c都大于1

A
[增分有招] 反证法证明全称命题以及“至少”“至多”类型的问题比较方便.其关键是根据假设导出矛盾——与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾.如本例中导出等式的矛盾,从而说明假设错误,原命题正确.
如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值,则(  )
A.A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形
B.A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形
C.A1B1C1是钝角三角形,A2B2C2是锐角三角形
D.A1B1C1是锐角三角形,A2B2C2是钝角三角形

解析:由条件知A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则A1B1C1是锐角三角形.
假设A2B2C2是锐角三角形,
则由题意可得
解得
所以A2+B2+C2=++,即π=-π,显然该等式不成立,所以假设不成立.
易知A2B2C2不是锐角三角形,所以A2B2C2是钝角三角形.故选D.
答案:D
方法七 换元法
______________________________________________________
换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化.换元的实质是转化,关键是构造元和设元.理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.
[例7] 已知正数x,y满足4y-=1,则x+2y的最小值为________.
解析:由4y-=1,得x+2y=4xy,即+=1,所以x+2y=(x+2y)·=1++≥1+2=2.所以x+2y的最小值为2.
答案:2
 [增分有招] 换元法主要有常量代换和变量代换,要根据所求解问题的特征进行合理代换.如本例中就是使用常数1的代换,将已知条件改写为“+=1”,然后利用乘法运算规律,任何式子与1的乘积等于本身,再将其展开,通过构造基本不等式的形式求解最值.
由题意得1+3x+a·9x≥0的解集为(-∞,1],即2+x+a≥0的解集为(-∞,1].令t=x,则t≥,即方程t2+t+a≥0的解集为,
2++a=0,所以a=-.
1.(2016·成都模拟)若函数f(x)=,其定义域为(-∞,1],则a的取值范围是(  )
A.a=-   B.a≥-
C.a≤- D.-≤a<0

A
y=cos2x-sin x=-sin2x-sin x+1.
令t=sin x,又x,t∈,
y=-t2-t+1,t.
∵函数y=-t2-t+1在上单调递减,
t=0时,ymax=1.
2.函数y=cos2x-sin x在x上的最大值为________.

1

方法八 补集法
_____________________________________________________
补集法就是已知问题涉及的类别较多,或直接求解比较麻烦时,可以通过求解该问题的对立事件,求出问题的结果,则所求解问题的结果就可以利用补集的思想求得.该方法在概率、函数性质等问题中应用较多.
[例8] 某学校为了研究高中三个年级的数学学习情况,从三个年级中分别抽取了1,2,3个班级进行问卷调查,若再从中任意抽取两个班级进行测试,则两个班级不来自同一年级的概率为________.
解析:记高一年级中抽取的班级为a1,高二年级中抽取的班级为b1,b2,高三年级中抽取的班级为c1,c2,c3.
从已抽取的6个班级中任意抽取两个班级的所有可能结果为(a1,b1),(a1,b2),(a1,c1),(a1,c2),(a1,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共15种.
设“抽取的两个班级不来自同一年级”为事件A,则事件为抽取的两个班级来自同一年级.
由题意,两个班级来自同一年级的结果为(b1,b2),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共4种.
所以P()=,故P(A)=1-P()=1-=.
所以两个班级不来自同一年级的概率为.
答案:
[增分有招] 利用补集法求解问题时,一定要准确把握所求问题的对立事件.如本例中,“两个班级不来自同一年级”的对立事件是“两个班级来自同一年级”,而高一年级只有一个班级,所以两个班级来自同一年级的可能性仅限于来自于高二年级,或来自于高三年级,显然所包含基本事件的个数较少.
依题意可知“x∈R,2x2+(a-1)x+>0”为真命题,所以Δ=(a-1)2-4×2×<0,即(a+1)·(a-3)<0,解得-1<a<3.故选B.

1.(2016·四川雅安中学月考)已知命题“x0∈R,使2x+(a-1)x0+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是(  )
A.(-∞,-1) 	B.(-1,3)
C.(-3,+∞) 	D.(-3,1)

B 
2.已知函数f(x)=ax2-x+ln x在区间(1,2)上不单调,则实数a的取值范围为________.
解析:f′(x)=2ax-1+.
(1)若函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,则f′(x)≥0在(1,2)上恒成立,所以2ax-1+≥0,得a≥.
令t=,因为x(1,2),所以t,
设h(t)=(t-t2)=-2+,t,
显然函数y=h(t)在区间上单调递减,
所以h(1)<h(t)<h,即0<h(t)<.
由可知,a≥.
(2)若函数f(x)在区间(1,2)上单调递减,则f′(x)≤0在(1,2)上恒成立,所以2ax-1+≤0,得a≤.
结合(1)可知,a≤0.
综上,若函数f(x)在区间(1,2)上单调,则实数a的取值范围为(-∞,0].
所以若函数f(x)在区间(1,2)上不单调,则实数a的取值范围为.
答案:
方法九 分离参数法
______________________________________________________
分离参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法,通过分离参数将问题转化为相应函数的最值或范围问题求解,从而避免对参数进行分类讨论的繁琐过程.该种方法也适用于含参方程有解、无解等问题的解决.但要注意该种方法仅适用于分离参数后能够求解相应函数的最值或值域的情况.
[例9] 若不等式x2+ax+1≥0对一切x恒成立,则a的最小值是________.
解析:由于x>0,则由已知可得a≥-x-在x上恒成立,而当x时,max=-,
a≥-,故a的最小值为-.
-
[增分有招] 分离参数法解决不等式恒成立问题或有解问题,关键在于准确分离参数,然后将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系.分离参数时要注意参数系数的符号是否会发生变化,如果参数的系数符号为负号,则分离参数时应注意不等号的变化,否则就会导致错解.
1.(2016·长沙调研)若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间[1,4]上单调递减,则实数t的取值范围是(  )
A. 	B.(-∞,3]
C. 	D.[3,+∞)

 f′(x)=3x2-2tx+3,由于f(x)在区间[1,4]上单调递减,则有f′(x)≤0在[1,4]上恒成立,
即3x2-2tx+3≤0在[1,4]上恒成立,则t≥在[1,4]上恒成立,因为y=在[1,4]上单调递增,所以t≥=,故选C.
C
若方程=2+x有解,则2+x=a-2x有解,即x+2x=a有解,x+2x≥1,故a的最小值为1.

2.(2016·湖南五校调研)方程=2+x有解,则a的最小值为________.

1
方法十 构造法
______________________________________________________
构造法是指利用数学的基本思想,经过认真的观察,深入的思考,构造出解题的数学模型,从而使问题得以解决.构造法的内涵十分丰富,没有完全固定的模式可以套用,它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对具体问题的特点采取相应的解决办法,其基本的方法是借用一类问题的性质,来研究另一类问题的相关性质.常见的构造法有构造函数、构造方程、构造图形等.
[例10] 已知m,n(2,e),且-n 	B.m2+ 	D.m,n的大小关系不确定
解析:由不等式可得-0,故函数f(x)在(2,e)上单调递增.
因为f(n)
        
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