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2018届高三数学(理)二轮复习课时作业:第1部分 专题2 第3讲 平面向量

资料类别: 数学/同步

所属版本: 通用

所属地区: 全国

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A组——高考热点强化练
一、选择题
1.设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若bc,则实数k的值等于(  )
A.-       	B.-
C.  D.
解析:因为c=a+kb=(1+k,2+k),又bc,所以1×(1+k)+1×(2+k)=0,解得k=-.
答案:A
2.(2017·山西四校联考)已知|a|=1,|b|=,且a(a-b),则向量a与向量b的夹角为(  )
A.  B.
C.  	D.
解析:a⊥(a-b),a·(a-b)=a2-a·b=1-cos〈a,b〉=0,cos〈a,b〉=,〈a,b〉=.
答案:B
3.已知A,B,C三点不共线,且点O满足++=0,则下列结论正确的是(  )
A.=+
B.=+
C.=-
D.=--
解析:++=0,O为ABC的重心,=-×(+)=-(+)=-(++)=-(2+)=--,故选D.
答案:D
4.设向量a=(cos α,-1),b=(2,sin α),若ab,则tan=(  )
A.-  B.
C.-1 	D.0
解析:由已知可得,a·b=2cos α-sin α=0,tan α=2,tan==,故选B.
答案:B
5.(2017·贵州模拟)若单位向量e1,e2的夹角为,向量a=e1+λe2(λR),且|a|=,则λ=(  )
A.-  B.-1
C.  D.
解析:由题意可得e1·e2=,|a|2=(e1+λe2)2=1+2λ×+λ2=,化简得λ2+λ+=0,解得λ=-,选项A正确.
答案:A
6.在ABC中,(+)·=||2,则ABC的形状一定是(  )
A.等边三角形 	B.等腰三角形
C.直角三角形 	D.等腰直角三角形
解析:由(+)·=||2得(+-)·=0,则2·=0,即BAAC,故选C.
答案:C
7.已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60°,则·=(  )
A.-a2 	B.-a2
C.a2  	D.a2
解析:·=(+)·=·+2=a2+a2=a2.
答案:D
8.已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量在方向上的投影为(  )
A.  B.
C.- 	D.-
解析:=(2,1),=(5,5),||=5,
故在上的投影为==.
答案:A
9.已知向量a,b,c中任意两个向量都不共线,但a+b与c共线,b+c与a共线,则a+b+c=(  )
A.a 	B.b
C.c 	D.0
解析:a+b与c共线,b+c与a共线,可设a+b=λc,b+c=μa,两式作差整理后得到(1+λ)c=(1+μ)a,向量a,c不共线,1+λ=0,1+μ=0,即λ=-1,μ=-1,a+b=-c,即a+b+c=0.故选D.
答案:D
10.(2017·山西质检)已知a,b是单位向量,且a·b=-.若平面向量p满足p·a=p·b=,则|p|=(  )
A. 	B.1
C. 	D.2
解析:由题意,不妨设a=(1,0),b=,p=(x,y),p·a=p·b=,
解得
|p|==1,故选B.
答案:B
11.(2017·辽宁沈阳质检)在ABC中,|+|=|-|,AB=2,AC=1,E,F为BC的三等分点,则·=(  )
A.  B.
C.  	D.
解析:由|+|=|-|,化简得·=0,又因为AB和AC为三角形的两条边,它们的长不可能为0,所以与垂直,所以ABC为直角三角形.以AC所在直线为x轴,以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(0,2),C(1,0).不妨令E为BC的靠近C的三等分点,则E,F,所以=,=,所以·=×+×=.

答案:B
12.设x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且ac,bc,则|a+b|=(  )
A.  B.
C.2 	D.10
解析:由⇒
∴a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1),
|a+b|=,故选B.
答案:B
二、填空题
13.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λR),则|λ|=________.
解析:λa+b=0,即λa=-b,|λ||a|=|b|.
|a|=1,|b|=,|λ|=.
答案:
14.已知向量,||=3,则·=________.
解析:⊥,·=0,
即·(-)=0,
·==9.
答案:9
15.(2017·兰州模拟)已知mR,向量a=(m,1),b=(2,-6),且ab,则|a-b|=________.
解析:a⊥b,a·b=2m-6=0,m=3,a-b=(1,7),|a-b|==5.
答案:5
16.(2017·合肥质检)已知等边ABC的边长为2,若=3,=,则·=________.
解析:如图所示,·=(-)·(+)=·
=
·=-=×4-×4=-2.
答案:-2
B组——12+4高考提速练
一、选择题
1.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为(  )
A.  B.
C.  	D.
解析:A(1,3),B(4,-1),
=(3,-4),又||=5,
与同向的单位向量为=.故选A.
答案:A
2.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角为(  )
A.  B.
C.  	D.
解析:由|a+b|=|a-b|可知ab,设=b,=a,作矩形ABCD,可知=a+b,=a-b,设AC与BD的交点为O,结合题意可知OA=OD=AD,AOD=,DOC=,又向量a+b与a-b的夹角为与的夹角,故所求夹角为,选D.

答案:D
3.A,B,C是圆O上不同的三点,线段CO与线段AB交于点D,若=λ+μ(λR,μR),则λ+μ的取值范围是(  )
A.(0,1) 	B.(1,+∞)
C.(1,] 	D.(-1,0)
解析:由题意可得=k=kλ+kμ(0<k<1),又A,D,B三点共线,所以kλ+kμ=1,则λ+μ=>1,即λ+μ的取值范围是(1,+∞),选项B正确.
答案:B
4.已知向量a=(1,),b=(3,m),若向量a,b的夹角为,则实数m=(  )
A.2  B.
C.0 	D.-
解析:a=(1,),b=(3,m),
|a|=2,|b|=,a·b=3+m,
又a,b的夹角为,
=cos ,即=,
+m=,解得m=.
答案:B
5.设向量a=(1,cos θ)与b=(-1,2cos θ)垂直,则cos 2θ等于(  )
A.  B.
C.0 	D.-1
解析:a⊥b,1×(-1)+cos θ·2cos θ=0,即2cos2 θ-1=0.cos 2θ=2cos2 θ-1=0,故选C.
答案:C
6.已知向量a是与单位向量b夹角为60°的任意向量,则对任意的正实数t,|ta-b|的最小值是(  )
A.0  B.
C. 	D.1
解析:a·b=|a||b|cos 60°=|a|,
|ta-b|==,
设x=t|a|,x>0,
|ta-b|==≥=.
故|ta-b|的最小值为,选C.
答案:C
7.已知平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则的值为(  )
A. 	B.-
C. 	D.-
解析:由已知得向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)反向,则3a+2b=0,即3(x1,y1)+2(x2,y2)=(0,0),解得x1=-x2,y1=-y2,故=-.
答案:B
8.ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若2=+且||=||,则向量在方向上的投影为(  )
A.  B.
C.- 	D.-
解析:由2=+可知O是BC的中点,即BC为ABC外接圆的直径,所以||=||=||,由题意知||=||=1,故OAB为等边三角形,所以ABC=60°.所以向量在方向上的投影为||cosABC=1×cos 60°=.故选A.
答案:A
9.在平面直角坐标系中,点A与B关于y轴对称.若向量a=(1,k),则满足不等式2+a·≤0的点A(x,y)的集合为(  )
A.{(x,y)|(x+1)2+y2≤1}
B.{(x,y)|x2+y2≤k2}
C.{(x,y)|(x-1)2+y2≤1}
D.{(x,y)|(x+1)2+y2≤k2}
解析:由A(x,y)可得B(-x,y),则=(-2x,0),不等式()2+a·≤0可化为x2+y2-2x≤0,即(x-1)2+y2≤1,故选C.
答案:C
10.已知ABC中,||=10,·=-16,D为边BC的中点,则||等于(  )
A.6 	B.5
C.4 	D.3
解析:由题知=(+),·=-16,||·||cos∠BAC=-16.
在ABC中,||2=||2+||2-2||||·cosBAC,
102=|A|2+||2+32,||2+||2=68,
||2=(2+2+2·)=(68-32)=9,||=3.
答案:D
11.(2017·广州五校联考)已知RtAOB的面积为1,O为直角顶点,设向量a=,b=,=a+2b,则·的最大值为(  )
A.1 	B.2
C.3 	D.4
解析:如图,设A(m,0),B(0,n),mn=2,则a=(1,0),b=(0,1),=a+2b=(1,2),=(m-1,-2),=(-1,n-2),·=5-(m+2n)≤5-2=1,当且仅当m=2n,即m=2,n=1时,等号成立.
答案:A
12.已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是(  )
A.[-1,+1] 	B.[-1,+2]
C.[1,+1] 	D.[1,+2]
解析:由a,b为单位向量且a·b=0,可设a=(1,0),b=(0,1),又设c=(x,y),代入|c-a-b|=1得(x-1)2+(y-1)2=1,又|c|=,故由几何性质得-1≤|c|≤+1,即-1≤|c|≤+1.
答案:A
二、填空题
13.在平面直角坐标系xOy中,已知=(-1,t),=(2,2).若ABO=90°,则实数t的值为________.
解析:=-=(3,2-t),由题意知·=0,所以2×3+2(2-t)=0,解得t=5.
答案:5
14.若平面向量a,b满足|2a-b|≤3,则a·b的最小值是________.
解析:由|2a-b|≤3可知,4a2+b2-4a·b≤9,所以4a2+b2≤9+4a·b,而4a2+b2=|2a|2+|b|2≥2|2a|·|b|≥-4a·b,所以a·b≥-,当且仅当2a=-b时取等号.
答案:-
15.在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且=,=,则·的值为________.
解析:作COAB于O,建立如图所示的平面直角坐标系,则A,B,C,D,所以E,F,所以·=·=+=.

答案:
16.已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF.若·=1,则λ的值为________.

解析:如图,=+=+,=+=+=+,所以·=·=·+2+2=×2×2×cos 120°++=1,解得λ=2.
答案:2









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