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2018届高三数学(理)二轮复习课时作业:第1部分 专题4 第2讲 空间点、线、面位置关系的判断

资料类别: 数学/同步

所属版本: 通用

所属地区: 全国

上传时间:2018/3/16

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一、选择题
1.(2017·郑州模拟)设α,β分别为两个不同的平面,直线lα,则“lβ”是“αβ”成立的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:依题意,由lβ,lα可以推出αβ;反过来,由αβ,lα不能推出lβ.因此“lβ”是“αβ”成立的充分不必要条件,选A.
答案:A
2.在空间中,a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则真命题是(  )
A.若aα,bα,则ab
B.若aα,bβ,αβ,则ab
C.若aα,ab,则bα
D.若αβ,aα,则aβ
解析:对于A,平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面,因此选项A不正确;对于B,分别位于两个相互垂直的平面内的两条直线可能是平行的,因此选项B不正确;对于C,直线b可能位于平面α内,此时结论不正确;对于D,直线a与平面β没有公共点,因此aβ,选项D正确,故选D.
答案:D
3.如图,在三棱锥D­ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的是(  ) 
A.平面ABC平面ABD
B.平面ABD平面BCD
C.平面ABC平面BDE,且平面ACD平面BDE
D.平面ABC平面ACD,且平面ACD平面BDE
解析:因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BEAC,同理,DEAC,由于DE∩BE=E,于是AC平面BDE.因为AC平面ABC,所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD,所以平面ACD平面BDE.故选C.
答案:C
4.如图所示,在斜三棱柱ABC­A1B1C1中,BAC=90°,BC1AC,则C1在底面ABC上的射影H必在(  )
A.直线AB上      	B.直线BC上
C.直线AC上 	D.ABC内部
解析:BAC=90°,AB⊥AC,
又ACBC1,BC1∩AB=B,
AC⊥平面ABC1,
又AC平面ABC,
平面ABC平面ABC1.
平面ABC1∩平面ABC=AB,
点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上,故选A.
答案:A
5.(2017·菏泽模拟)如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是(  )
A.异面
B.平行
C.相交
D.以上均有可能
解析:在三棱柱ABC­A1B1C1中,ABA1B1,
AB⊂平面ABC,A1B1平面ABC,
A1B1∥平面ABC,
过A1B1的平面与平面ABC交于DE,
DE∥A1B1,DE∥AB.故选B.
答案:B
6.(2017·贵阳模拟)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,P点在AEF内的射影为O,则下列说法正确的是(  )

A.O是AEF的垂心
B.O是AEF的内心
C.O是AEF的外心
D.O是AEF的重心
解析:由题意可知PA、PE、PF两两垂直,
所以PA平面PEF,从而PAEF,
而PO平面AEF,则POEF,因为PO∩PA=P,
所以EF平面PAO,
EF⊥AO,同理可知AEFO,AFEO,
O为AEF的垂心.故选A.
答案:A
7.已知点E,F分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AB,AA1的中点,点M,N分别是线段D1E与C1F上的点,则满足与平面ABCD平行的直线MN有(  )
A.0条 	B.1条
C.2条 	D.无数条
解析:如图所示,作平面KSHG平面ABCD,C1F,D1E交平面KSHG于点N,M,连接MN,由面面平行的性质得MN平面ABCD,由于平面KSHG有无数多个,所以平行于平面ABCD的MN有无数多条,故选D.
答案:D
8.如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将ADE沿直线DE翻折成A1DE.若M为线段A1C的中点,则在ADE翻折过程中,下面四个命题中不正确的是(  )
A.BM是定值
B.点M在某个球面上运动
C.存在某个位置,使DEA1C
D.MB平面A1DE
解析:取CD的中点F,连接MF,BF,AF(图略),则MFDA1,BFDE,平面MBF平面A1DE,
MB∥平面A1DE,故D正确.
A1DE=MFB,MF=A1D,FB=DE,由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF·FB·cosMFB,MB是定值,故A正确.B是定点,BM是定值,M在以B为球心,MB为半径的球上,故B正确.A1C在平面ABCD中的射影是点C与AF上某点的连线,不可能与DE垂直,不存在某个位置,使DEA1C.故选C.
答案:C
二、填空题
9.(2017·高考全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥SABC的体积为9,则球O的表面积为________.解析:如图,连接OA,OB.
由SA=AC,SB=BC,SC为球O的直径,知OASC,OBSC.
由平面SCA平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,OASC,知OA平面SCB.
设球O的半径为r,则
OA=OB=r,SC=2r,
三棱锥SABC的体积
V=×·OA=,
即=9,r=3,S球表=4πr2=36π.
答案:36π
10.如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:
直线AM与CC1是相交直线;
直线AM与BN是平行直线;
直线BN与MB1是异面直线;
直线MN与AC所成的角为60°.
其中正确的结论为________(把你认为正确结论的序号都填上).
解析:AM与CC1是异面直线,AM与BN是异面直线,BN与MB1为异面直线.因为D1CMN,所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角,为60°.
答案:
11.如图,PAO所在的平面,AB是O的直径,C是O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:
AF⊥PB;EF⊥PB;AF⊥BC;AE⊥平面PBC.其中正确命题的序号是________.
解析:PA⊥⊙O所在的平面,AB是O的直径,
CB⊥PA,CBAC,又PA∩AC=A,
CB⊥平面PAC.
又AF平面PAC,CB⊥AF.
又F是点A在PC上的射影,
AF⊥PC,又PC∩BC=C,PC,BC平面PBC,
AF⊥平面PBC,
故正确.又E为A在PB上的射影,AE⊥PB,
PB⊥平面AEF,故正确.
而AF平面PCB,AE不可能垂直于平面PBC.故错.
答案:
12.如图是一个正方体的平面展开图.在这个正方体中,BM与ED是异面直线;CN与BE平行;CN与BM成60°角;DM与BN垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是________.

解析:由题意画出该正方体的图形如图所示,连接BE,BN,显然正确;对于,连接AN,易得ANBM,ANC=60°,所以CN与BM成60°角,所以正确;对于,易知DM平面BCN,所以DMBN正确.

答案:
三、解答题
13.(2017·高考全国卷)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD.
(1)证明:ACBD;
(2)已知ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
解析:(1)证明:如图,取AC的中点O,
连接DO,BO.
因为AD=CD,所以ACDO.
又由于ABC是正三角形,
所以ACBO.
从而AC平面DOB,
故ACBD.
(2)连接EO.
由(1)及题设知ADC=90°,所以DO=AO.
在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.
又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,
故DOB=90°.
由题设知AEC为直角三角形,所以EO=AC.
又ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=BD.
故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.
14.(2017·高考全国卷)如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC=90°.
(1)证明:直线BC平面PAD;
(2)若PCD的面积为2,求四棱锥PABCD的体积.
解析:(1)证明:在平面ABCD内,因为BAD=ABC=90°,所以BCAD.又BC平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD.
(2)如图,取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=AD及BCAD,ABC=90°得四边形ABCM为正方形,则CMAD.

因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PMAD,PM底面ABCD.
因为CM底面ABCD,所以PMCM.
设BC=x,则CM=x,CD=x,PM=x,PC=PD=2x.
如图,取CD的中点N,连接PN,则PNCD,
所以PN=x.
因为PCD的面积为2,所以×x×x=2,
解得x=-2(舍去)或x=2.
于是AB=BC=2,AD=4,PM=2.
所以四棱锥PABCD的体积V=××2=4.
15.(2017·长春质量监测)如图,在四棱锥P­ABCD中,PA平面ABCD,PA=AB=AD=2,四边形ABCD满足ABAD,BCAD,且BC=4,点M为PC的中点.
(1)求证:平面ADM平面PBC;
(2)求点P到平面ADM的距离.

解析:(1)取PB的中点N,连接MN、AN,

M是PC的中点,MN∥BC,MN=BC=2,
又BCAD,MN∥AD,MN=AD,
四边形ADMN为平行四边形.
AP⊥AD,ABAD,AD⊥平面PAB,AD⊥AN,
AN⊥MN.
∵AP=AB,AN⊥PB,AN⊥平面PBC,
又AN平面ADM,平面ADM平面PBC.
(2)由(1)知,PNAN,PNAD,
PN⊥平面ADM,即点P到平面ADM的距离为PN,
在RtPAB中,由PA=AB=2,得PB=2,
PN=PB=.













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