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2018届高三数学(理)二轮复习课时作业:第1部分 专题5 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质

资料类别: 数学/同步

所属版本: 通用

所属地区: 全国

上传时间:2018/3/16

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一、选择题
1.(2017·高考浙江卷)椭圆+=1的离心率是(  )
A.        B.
C.  	D.
解析:椭圆方程为+=1,
a=3,c===.
e==.
故选B.
答案:B
2.(2017·高考天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为(  )
A.-=1  B.-=1
C.-y2=1 	D.x2-=1
解析:根据题意画出草图如图所示

.
由AOF是边长为2的等边三角形得到AOF=60°,c=|OF|=2.
又点A在双曲线的渐近线y=x上,=tan 60°=.
又a2+b2=4,a=1,b=,
双曲线的方程为x2-=1.
故选D.
答案:D
3.(2017·高考全国卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(  )
A.-=1  B.-=1
C.-=1  D.-=1
解析:由y=x可得=.
由椭圆+=1的焦点为(3,0),(-3,0),
可得a2+b2=9.
由可得a2=4,b2=5.
所以C的方程为-=1.
故选B.
答案:B
4.已知双曲线-=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为(  )
A.(1,) 	B.(1,]
C.(,+∞) 	D.[,+∞)
解析:双曲线的一条渐近线方程为y=x,则由题意得>2,e==>=.
答案:C
5.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是C上的点, PF2F1F2,PF1F2=30°,则C的离心率为(  )
A.  B.
C.  	D.
解析:在RtPF2F1中,令|PF2|=1,因为PF1F2=30°,所以|PF1|=2,|F1F2|=.所以e===.故选D.
答案:D
6.(2017·高考天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(  )
A.-=1  B.-=1
C.-=1  D.-=1
解析:由题意可得=,即c=a.
又左焦点F(-c,0),P(0,4),
则直线PF的方程为=,
化简即得y=x+4.
结合已知条件和图象易知直线PF与y=x平行,
则=,即4a=bc.
故解得
故双曲线方程为-=1.
故选B.
答案:B
7.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为(  )
A.y=x-1或y=-x+1
B.y=(x-1)或y=-(x-1)
C.y=(x-1)或y=-(x-1)
D.y=(x-1)或y=-(x-1)
解析:设直线AB与抛物线的准线x=-1交于点C.分别过A、B作AA1垂直准线于A1,BB1垂直准线于B1,由抛物线的定义可设|BF|=|BB1|=t,|AF|=|AA1|=3t.由三角形的相似得==,|BC|=2t,
B1CB=,
直线的倾斜角α=或π.
又F(1,0),直线AB的方程为y=(x-1)或y=-(x-1).故选C.

答案:C
8.(2017·高考全国卷)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上,且MNl,则M到直线NF的距离为(  )
A. 	B.2
C.2 	D.3
解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y=(x-1).
联立得方程组

解得  或
点M在x轴的上方,
M(3,2).
MN⊥l,
N(-1,2).
|NF|==4,
|MF|=|MN|=
=4.
MNF是边长为4的等边三角形.
点M到直线NF的距离为2.
故选C.
答案:C
二、填空题
9.若椭圆的方程为+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=________.
解析:对椭圆的焦点位置进行讨论.由椭圆的焦距为4得c=2,当20,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为____________.
解析:由抛物线y2=8x可知准线方程为x=-2,所以双曲线的左焦点为(-2,0),即c=2;又因为双曲线的离心率为2,所以e==2,故a=1,由a2+b2=c2知b2=3,所以该双曲线的方程为x2-=1.
答案:x2-=1
12.(2016·高考山东卷)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是________.
解析:由已知得|AB|=|CD|=,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.
因为2|AB|=3|BC|,所以=6c,2b2=3ac,=3e,2(e2-1)=3e,2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=-(舍去).
答案:2
三、解答题
13.已知点M(,)在椭圆C:+=1(a>b>0)上,且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求PAB的面积.
解析:(1)由已知得
解得
故椭圆C的方程为+=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为D(x0,y0).
由消去y,整理得4x2+6mx+3m2-12=0,
则x0==-m,y0=x0+m=m,
即D.
因为AB是等腰三角形PAB的底边,所以PDAB,即PD的斜率k==-1,解得m=2.
此时x1+x2=-3,x1x2=0,则|AB|=|x1-x2|=·=3,又点P到直线l:x-y+2=0的距离为d=,
所以PAB的面积为S=|AB|·d=.
14.已知P是圆C:x2+y2=4上的动点,P在x轴上的射影为P′,点M满足=′,当P在圆C上运动时,点M形成的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)经过点A(0,2)的直线l与曲线E相交于点C,D,并且=,求直线l的方程.
解析:(1)设M(x,y),则P(x,2y)在圆C:x2+y2=4上.

所以x2+4y2=4,即曲线E的方程为+y2=1.
(2)经检验,当直线lx轴时,题目条件不成立,所以直线l的斜率存在.

设直线l:y=kx+2,C(x1,y1),D(x2,y2),
则联立(1+4k2)x2+16kx+12=0.
Δ=(16k)2-4(1+4k2)·12>0,得k2>.
x1+x2=-, 
x1x2=. 
又由=,得x1=x2,
将它代入,得k2=1,k=±1(满足k2>).
所以直线l的斜率为k=±1.
所以直线l的方程为y=±x+2.
15.(2017·江西师大附中期末)已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点F(1,0),其准线与x轴的交点为K,过点K的直线l与C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为D.
(1)证明:点F在直线BD上;
(2)设·=,求BDK内切圆M的方程.
解析:(1)证明:由题可知K(-1,0),抛物线的方程为y2=4x,则可设直线l的方程为x=my-1,
A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1),
故整理得y2-4my+4=0,故
则直线BD的方程为y-y2=(x-x2),
即y-y2=,
令y=0,得x==1,所以F(1,0)在直线BD上.
(2)由(1)可知
所以x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2,
x1x2=(my1-1)(my2-1)=1,
又=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),
故·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+5=8-4m2,
则8-4m2=,m=±,
故直线l的方程为3x+4y+3=0或3x-4y+3=0,
y2-y1=±=±=±,
故直线BD的方程为3x+y-3=0或3x-y-3=0,
又KF为BKD的平分线,
故可设圆心M(t,0)(-1
        
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