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2018届高三数学(理)二轮复习课时作业:第1部分 专题5 第3讲 第1课时 圆锥曲线的最值、范围、证明问题

资料类别: 数学/同步

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A组——高考热点强化练
一、选择题
1.已知双曲线C:x2-=1,其渐近线上的点到焦点的最小距离为(  )
A.        	B.1
C.  	D.
解析:其最小距离是焦点到渐近线的距离为b=.
答案:D
2.(2017·上海浦东新区模拟)方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是(  )
A.k>4 	B.k=4
C.k<4 	D.0b>0),则使三角形面积最大时,三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点,
所以S=×2c×b=bc=1≤=.
所以a2≥2.所以a≥ .
所以长轴长2a≥2,故选D.
答案:D
5.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是(  )
A.  B.
C.  	D.
解析:由题意知a2=2,b2=1,所以c2=3,不妨设F1(-,0),F2(,0),所以=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),所以·=x-3+y=3y-1<0,所以-0,b>0)右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点,则双曲线的离心率的取值范围是________.
解析:由题意可知双曲线的渐近线y=x的倾斜角小于45°,所以0<<1,即b20)的焦点为F,ABC的顶点都在抛物线上,且满足++=0,则++=________.
解析:由题易知F,设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
由++=0知,++=(0,0),
故y1+y2+y3=0,===,同理可知=,=,
++==0.
答案:0
三、解答题
13.(2017·高考浙江卷)如图,已知抛物线x2=y,点A,B,抛物线上的点P(x,y).过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.

(1)求直线AP斜率的取值范围;
(2)求|PA|·|PQ|的最大值.
解析:(1)设直线AP的斜率为k,k==x-,
因为-<x<,
所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).
(2)联立直线AP与BQ的方程

解得点Q的横坐标是xQ=.
因为|PA|==(k+1),
|PQ|=(xQ-x)=-.
所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.
令f(k)=-(k-1)(k+1)3,
因为f′(k)=-(4k-2)(k+1)2,
所以f(k)在区间上单调递增,上单调递减,
因此当k=时,|PA|·|PQ|取得最大值.
14.若椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F内分成了31的两段.
(1)求椭圆的离心率;
(2)过点C(-1,0)的直线l交椭圆于不同两点A,B,且=2,当AOB的面积最大时,求直线l和椭圆的方程.

解析:(1)由题意知c+=3,
b=c,a2=2b2,e== =.
(2)设直线l:x=ky-1,A(x1,y1),B(x2,y2),
=2,(-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2),
即2y2+y1=0, 
由(1)知a2=2b2,椭圆方程为x2+2y2=2b2.
由消去x得(k2+2)y2-2ky+1-2b2=0,
y1+y2=, 
y1y2=, 
由知y2=-,y1=.
S△AOB=|y1|+|y2|=|y1-y2|,
S=3·=3·≤3·=,
当且仅当|k|2=2,即k=±时取等号,此时直线的方程为x=y-1或x=-y-1.
又当|k|2=2时,y1y2=·=-=-1,
由y1y2=得b2=,椭圆方程为+=1.
15.(2017·青岛模拟)已知椭圆C1:+=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点F2也为抛物线C2:y2=8x的焦点,过点F2的直线l交抛物线C2于A,B两点.
(1)若点P(8,0)满足|PA|=|PB|,求直线l的方程;
(2)T为直线x=-3上任意一点,过点F1作TF1的垂线交椭圆C1于M,N两点,求的最小值.
答案:(1)y=±(x-2)或x=2
(2)
B组——高考能力提速练
一、选择题
1.(2017·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为(  )
A.(0,0)      B.
C.(1,) 	D.(2,2)
解析:过M点作左准线的垂线,垂足是N,则|MF|+|MA|=|MN|+|MA|,当A,M,N三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值,此时M(2,2).
答案:D
2.(2017·湖南师大附中月考)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线y2=x的一个交点的横坐标为x0,若x0>1,则双曲线C的离心率e的取值范围是(  )
A. 	B.(,+∞)
C.(1,)  D.
解析:联立消去y得x2=x,由x0>1知<1,即<1,故e2<2,又e>1,所以1b>0)的短轴位于x轴下方的端点,过B作斜率为1的直线交椭圆于点M,点P在y轴上,且PMx轴,·=9,若点P的坐标为(0,t),则t的取值范围是(  )

A.(0,3) 	B.(0,3]
C.  D.
解析:因为P(0,t),B(0,-b),所以M(t+b,t).
所以=(0,t+b),=(t+b,t+b).
因为·=9,所以(t+b)2=9,t+b=3.
因为0e2),则e1+2e2的最小值是(  )
A.  B.
C.  	D.
解析:当动圆M与圆O1、O2都相内切时,|MO2|+|MO1|=4-r=2a,e1=.
当动圆M与圆O1相内切,与圆O2相外切时,|MO1|+|MO2|=4+r=2a′,
e2=,
e1+2e2=+=,
令12-r=t(100,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P为双曲线上任一点,且·的最小值的取值范围是,则该双曲线的离心率的取值范围为(  )
A.(1,] 	B.[,2]
C.(1,) 	D.[2,+∞)
解析:设P(m,n),则-=1,即m2=a2,
设F1(-c,0),F2(c,0),则=(-c-m,-n),=(c-m,-n),
则·=m2-c2+n2=a2-c2+n2=n2+a2-c2≥a2-c2(当n=0时取等号),
则·的最小值为a2-c2,
由题意可得-c2≤a2-c2≤-c2,
即c2≤a2≤c2,即c≤a≤c,
则≤e≤2,故选B.
答案:B
7.如图,已知双曲线-=1(a>0,b>0)上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为双曲线的右焦点,且满足AFBF,设ABF=α,且α,则双曲线的离心率e的取值范围为(  )

A.[,2+] 	B.[,+1]
C.[,2+] 	D.[,+1]
解析:设双曲线的左焦点为F′,连接AF′,
令|AF|=r1,|AF′|=r2,则|BF|=|F′A|=r2,
r2-r1=2a,点A关于原点O的对称点为B,AFBF,|OA|=|OB|=|OF|=c,r+r=4c2,
r1r2=2(c2-a2),S△ABF=2SAOF,
r1r2=2·c2·sin 2α,
r1r2=2c2sin 2α,c2sin 2α=c2-a2,
e2=,
α=,sin 2α∈,
e2=[2,(+1)2],e∈[,+1],故选B.
答案:B
8.(2017·湖北华师一附中联考)已知F是抛物线x2=4y的焦点,P为抛物线上的动点,且A的坐标为(0,-1),则的最小值是(  )
A.  B.
C.  	D.
解析:抛物线的准线为l:y=-1,过点P作PDl于D,则|PD|=|PF|,且点A在准线上,如图所示,所以==sin PAD,当直线PA与抛物线相切时,==sin PAD有最小值,由y=得y′=,设切点为(x0>0),则=,解得x0=2,此时PAD=,所以min=sin =,故选C.

答案:C
二、填空题
9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是________.
解析:双曲线渐近线的斜率为k=,直线的斜率为k1=tan 60°=,故有≥,e==≥=2,所求双曲线离心率的取值范围是e≥2.
答案:[2,+∞)
10.(2017·湖北七校联考)已知抛物线方程为y2=-4x,直线l的方程为2x+y-4=0,在抛物线上有一动点A,点A到y轴的距离为m,到直线l的距离为n,则m+n的最小值为________.
解析:如图,过A作AHl,AN垂直于抛物线的准线,则|AH|+|AN|=m+n+1,连接AF,则|AF|+|AH|=m+n+1,由平面几何知识,知当A,F,H三点共线时,|AF|+|AH|=m+n+1取得最小值,最小值为F到直线l的距离,即=,即m+n的最小值为-1.

答案:-1
11.已知点P是椭圆+=1(x≠0,y≠0)上的动点,F1,F2为椭圆的两个焦点,O是原点,若M是F1PF2的角平分线上一点,且,则||的取值范围是________.
解析:采用特殊点法,当点P在椭圆短轴端点,垂足M与原点重合时,||最小大于0(x≠0).当点P在椭圆长轴端点,垂足M与F1重合时,此时||最大为||=c=2,但此时F1PF2=0°,所以||(0,2).
答案:(0,2)
12.(2017·温州模拟)已知斜率为的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于x轴上方的不同两点A、B,记直线OA、OB的斜率分别为k1、k2,则k1+k2的取值范围是________.
解析:设直线l的方程为y=x+b(b>0),即x=2y-2b,代入抛物线方程y2=2px,可得y2-4py+4pb=0,
由Δ=16p2-16pb>0,得p>b,即>1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),得y1+y2=4p,y1y2=4pb,
k1+k2=+==
==>2.
答案:(2,+∞)
三、解答题
13.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:2x2-y2=1.
(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点.若|MF|=2,求点M的坐标;
(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;
(3)设斜率为k(|k|<)的直线l交C于P、Q两点.若l与圆x2+y2=1相切,求证:OPOQ.
解析:(1)双曲线C:-y2=1,左焦点F.
设M(x,y),则|MF|2=2+y2=2,
由M点是右支上一点,知x≥,
所以|MF|=x+=2,得x=.
所以M.
(2)左顶点A,渐近线方程为y=±x.
过点A与渐近线y=x平行的直线方程为
y=,即y=x+1.
解方程组得
所求平行四边形的面积为S=|OA||y|=.
(3)证明:设直线PQ的方程是y=kx+b.因直线PQ与已知圆相切,故=1,
即b2=k2+1.(*)
由得(2-k2)x2-2kbx-b2-1=0,
设P(x1,y1)、Q(x2,y2),
则
又y1y2=(kx1+b)(kx2+b),所以
·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2
=++b2=.
由(*)知,·=0,所以OPOQ.
14.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,B(0,1)为椭圆的一个顶点,直线l交椭圆于P,Q(异于点B)两点,BPBQ.
(1)求椭圆方程;
(2)求BPQ面积的最大值.
解析:(1)依题意b=1,=,b2=a2-c2,解得a=3,
所以椭圆方程为+y2=1.
(2)设l:y=kx+m代入+y2=1,
得(9k2+1)x2+18kmx+9m2-9=0,
由Δ=(18km)2-4(9k2+1)(9m2-9)>0,
得9k2+1-m2>0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
x1+x2=,x1x2=,
BPBQ⇒·=x1x2+(y1-1)·(y2-1)=0,
(k2+1)x1x2+k(m-1)(x1+x2)+(m-1)2=0,
(k2+1)+k(m-1)+(m-1)2=0.
整理得5m2-m-4=0,m=-或m=1(舍).
直线l:y=kx+m过定点M,
S=|BM||x1-x2|=
=·
=·
=·
=≤.
此时 =,k2=,k=±,
BPQ面积的最大值为.
15.(2017·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.

(1)求椭圆E的方程;
(2)如图,动直线l:y=k1x-交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2=.M是线段OC延长线上一点,且|MC||AB|=23,M的半径为|MC|,OS,OT是M的两条切线,切点分别为S,T.求SOT的最大值,并求取得最大值时直线l的斜率.
解析:(1)由题意知e==,2c=2,所以a=,b=1,
所以椭圆E的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程得(4k+2)x2-4k1x-1=0.
由题意知Δ>0,且x1+x2=,x1x2=-,
所以|AB|=|x1-x2|= .
由题意可知圆M的半径r为
r=|AB|=.
由题设知k1k2=,所以k2=,
因此直线OC的方程为y=x.
联立方程
得x2=,y2=,
因此|OC|==.
由题意可知sin==,
而==
,
令t=1+2k,则t>1,∈(0,1),
因此==
=≥1,
当且仅当=,即t=2时等号成立,此时k1=±,
所以sin≤,因此≤,
所以SOT的最大值为.
综上所述,SOT的最大值为,取得最大值时直线l的斜率为k1=±.









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