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2018届高三数学(理)二轮复习课时作业:第1部分 专题5 第3讲 第2课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题

资料类别: 数学/同步

所属版本: 通用

所属地区: 全国

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1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为-.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A、B两点,若在x轴上存在一点E,使AEB=90°,求直线l的斜率k的取值范围.
解析:(1)设椭圆的半焦距长为c,则由题设有:
解得:a=,c=,b2=1,
故椭圆C的方程为+x2=1.
(2)由已知可得,以AB为直径的圆与x轴有公共点.
设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB中点为M(x0,y0),
将直线l:y=kx+2代入+x2=1,得(3+k2)x2+4kx+1=0,Δ=12k2-12,
x0==,y0=kx0+2=,
|AB|==,

解得:k4≥13,即k≥或k≤-.
2.已知动点P到直线l:x=-1的距离等于它到圆C:x2+y2-4x+1=0的切线长(P到切点的距离).记动点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程.
(2)点Q是直线l上的动点,过圆心C作QC的垂线交曲线E于A,B两点,问是否存在常数λ,使得|AC|·|BC|=λ|QC|2?若存在,求λ的值;若不存在,说明理由.
解析:(1)由已知得圆心为C(2,0),半径r=.设P(x,y),依题意可得|x+1|=,整理得y2=6x.
故曲线E的方程为y2=6x.
(2)设直线AB的方程为my=x-2,
则直线CQ的方程为y=-m(x-2),可得Q(-1,3m).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
将my=x-2代入y2=6x并整理得y2-6my-12=0,那么y1y2=-12,
则|AC|·|BC|=(1+m2)|y1y2|=12(1+m2),|QC|2=9(1+m2),即|AC|·|BC|=|QC|2,所以λ=.
3.如图所示,已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线上.

(1)求椭圆C的标准方程;
(2)点P(2,),Q(2,-)在椭圆上,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,当A,B运动时,满足APQ=BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
解析:(1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).
椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线y=-2上,
-b=-2,解得b=2.
又=,a2=b2+c2,
a=4,c=2.
可得椭圆C的标准方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
APQ=BPQ,则PA,PB的斜率互为相反数,
可设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为-k,
直线PA的方程为:y-=k(x-2),
联立
化为(1+4k2)x2+8k(-2k)x+4(-2k)2-16=0,
x1+2=.
同理可得:x2+2==,
x1+x2=,x1-x2=,
kAB===.
直线AB的斜率为定值.
4.如图,设P是抛物线C1:x2=y上的动点,过点P作圆C2:x2+(y+3)2=1的两条切线,交直线l:y=-3于A,B两点.

(1)求圆C2的圆心M到抛物线C1准线的距离.
(2)是否存在点P,使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解析:(1)因为抛物线C1的准线方程为y=-,所以圆心M到抛物线C1准线的距离为=.
(2)设存在满足题意的点P,其坐标为(x0,x),抛物线C1在点P处的切线交直线l于点D.
再设A,B,D的横坐标分别为xA,xB,xD,
过点P(x0,x)的抛物线C1的切线方程为
y-x=2x0(x-x0).
当x0=1时,过点P(1,1)的圆C2的切线PA为
y-1=(x-1),
可得xA=-,xB=1,xD=-1,xA+xB≠2xD.
当x0=-1时,过点P(-1,1)的圆C2的切线PB为
y-1=-(x+1),
可得xA=-1,xB=,xD=1,xA+xB≠2xD.
所以x-1≠0,
设切线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则
PA:y-x=k1(x-x0),
PB:y-x=k2(x-x0).
将y=-3分别代入得
xD=(x0≠0);xA=x0-;xB=x0-(k1,k2≠0).
从而xA+xB=2x0-(x+3),
又=1,
即(x-1)k-2(x+3)x0k1+(x+3)2-1=0,
同理,(x-1)k-2(x+3)x0k2+(x+3)2-1=0.
所以k1,k2是方程(x-1)k2-2(x+3)x0k+(x+3)2-1=0的两个不相等的根,从而k1+k2=,
k1·k2=.
因为xA+xB=2xD,
所以2x0-(3+x)=,即+=.
从而=,
进而得x=8,x0=±.
综上所述,存在点P满足题意,点P的坐标为(±,2).
5.椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点为A,P是C上的一点,以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F.
(1)求椭圆C的方程;
(2)动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,问:在x轴上是否存在两个定点,它们到直线l的距离之积等于1?如果存在,求出这两个定点的坐标;如果不存在,请说明理由.
解析:(1)F(c,0),A(0,b),由题设可知·=0,
c2-c+=0. 
又点P在椭圆C上,+=1,a2=2. 
又b2+c2=a2=2, 
联立,解得c=1,b2=1,
故所求椭圆的方程为+y2=1.
(2)当直线l的斜率存在时,
设其方程为y=kx+m,代入椭圆方程,

消去y整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,(*)
方程(*)有且只有一个实根,又2k2+1>0,
所以Δ=0,得m2=2k2+1,
假设存在M1(λ1,0),M2(λ2,0)满足题设,
则d1·d2=
=
==1对任意的实数k恒成立.
所以解得
或
当直线l的斜率不存在时,经检验符合题意.
综上所述,存在两个定点M1(1,0),M2(-1,0),使它们到直线l的距离之积等于1.
6.(2017·湖北黄冈模拟)如图,已知点F1,F2是椭圆C1:+y2=1的两个焦点,椭圆C2:+y2=λ经过点F1,F2,点P是椭圆C2上异于F1,F2的任意一点,直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A,B和C,D.设AB,CD的斜率分别为k,k′.

(1)求证:k·k′为定值;
(2)求|AB|·|CD|的最大值.
解析:(1)证明:因为点F1,F2是椭圆C1的两个焦点,故F1,F2的坐标是F1(-1,0),F2(1,0).
而点F1,F2是椭圆C2上的点,将F1,F2的坐标代入C2的方程得,λ=.
设点P的坐标是(x0,y0),
直线PF1和PF2的斜率分别是k,k′(k≠0,k′≠0)
kk′=·=,
又点P是椭圆C2上的点,故+y=,
联立两式可得kk′=-,即k·k′为定值.
(2)直线PF1的方程可表示为y=k(x+1)(k≠0),
与椭圆C1的方程联立,
得到方程组
由方程组得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.
|AB|=|x1-x2|=
=
.
同理可求得|CD|=,
则|AB|·|CD|=
=4≤,
当且仅当k=±时等号成立.
故|AB|·|CD|的最大值等于.









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