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2018届高三数学(理)二轮复习课时作业:第1部分 专题6 第1讲 算法、复数、推理与证明

资料类别: 数学/同步

所属版本: 通用

所属地区: 全国

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一、选择题
1.(2017·高考全国卷)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=(  )
A.         B.
C. 	D.2
解析:法一:由(1+i)z=2i得z==1+i,
|z|=.
故选C.
法二:2i=(1+i)2,
由(1+i)z=2i=(1+i)2,得z=1+i,
|z|=.
故选C.
答案:C
2.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是(  )

A.-2        	B.0
C.-1 	D.-3
解析:第一次循环:x=2×1=2,y=1-1=0,满足条件继续循环;第二次循环:x=2×2=4,y=0-1=-1,满足条件继续循环;第三次循环:x=2×4=8,y=-1-1=-2,不满足条件,跳出循环体,输出的y=-2,故选A.
答案:A
3.(2017·高考山东卷)已知aR,i是虚数单位.若z=a+i,z·=4,则a=(  )
A.1或-1  B.或-
C.-  D.
解析:z·=4,|z|2=4,即|z|=2.
z=a+i,|z|=,
=2,a=±1.
故选A.
答案:A
4.(2017·高考全国卷)执行如图所示的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为(  )

A.5 	B.4
C.3 	D.2
解析:假设N=2,程序执行过程如下:
t=1,M=100,S=0,
1≤2,S=0+100=100,M=-=-10,t=2,
2≤2,S=100-10=90,M=-=1,t=3,
3>2,输出S=90<91.符合题意.
N=2成立.显然2是最小值.
故选D.
答案:D
5.(2017·高考全国卷)设有下面四个命题
p1:若复数z满足R,则zR;
p2:若复数z满足z2R,则zR;
p3:若复数z1,z2满足z1z2R,则z1=2;
p4:若复数zR,则R.
其中的真命题为(  )
A.p1,p3 	B.p1,p4
C.p2,p3 	D.p2,p4
解析:设z=a+bi(a,bR),z1=a1+b1i(a1,b1R),z2=a2+b2i(a2,b2R).
对于p1,若R,即=R,则b=0z=a+bi=aR,所以p1为真命题.
对于p2,若z2R,即(a+bi)2=a2+2abi-b2R,则ab=0.
当a=0,b≠0时,z=a+bi=biR,所以p2为假命题.
对于p3,若z1z2R,即(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)iR,则a1b2+a2b1=0.而z1=2,即a1+b1i=a2-b2ia1=a2,b1=-b2.因为a1b2+a2b1=0a1=a2,b1=-b2,所以p3为假命题.
对于p4,若zR,即a+biR,则b=0=a-bi=aR,所以p4为真命题.
故选B.
答案:B
6.(2017·高考山东卷)执行如图所示的程序框图,当输入的x的值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为(  )

A.x>3 	B.x>4
C.x≤4 	D.x≤5
解析:输入x=4,若满足条件,则y=4+2=6,不符合题意;若不满足条件,则y=log24=2,符合题意,结合选项可知应填x>4.
故选B.
答案:B
7.(2017·高考全国卷)如图所示的程序框图是为了求出满足3n-2n>1 000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入(  )

A.A>1 000和n=n+1
B.A>1 000和n=n+2
C.A≤1 000和n=n+1
D.A≤1 000和n=n+2
解析:因为题目要求的是“满足3n-2n>1 000的最小偶数n”,所以n的叠加值为2,所以内填入“n=n+2”.由程序框图知,当内的条件不满足时,输出n,所以内填入“A≤1 000”.
故选D.
答案:D
8.(2017·高考全国卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则(  )
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
解析:由甲说:“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀,1个良好”.乙看丙的成绩,结合甲的说法,丙为“优秀”时,乙为“良好”;丙为“良好”时,乙为“优秀”,可得乙可以知道自己的成绩.丁看甲的成绩,结合甲的说法,甲为“优秀”时,丁为“良好”;甲为“良好”时,丁为“优秀”,可得丁可以知道自己的成绩.故选D.
答案:D
二、填空题
9.(2017·高考天津卷)已知aR,i为虚数单位,若为实数,则a的值为________.
解析:a∈R,===-i为实数,-=0,a=-2.
答案:-2
10.(2016·高考山东卷)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出的S的值为________.

解析:第一次循环:S=-1,1<3,i=2;第二次循环:S=-1,2<3,i=3;第三次循环:S=-1=1,3≥3,输出S=1.
答案:1
11.(2017·河南三市联考)设n为正整数,f(n)=1+++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3.观察上述结果,按照上面规律,可推测f(128)>________.
解析:观察f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3可知,等式及不等式右边的数构成首项为,公差为的等差数列,故f(128)>+6×=.
答案:
12.(2017·高考全国卷改编)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案.已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是________.
解析:设首项为第1组,接下来的两项为第2组,再接下来的三项为第3组,依此类推,则第n组的项数为n,前n组的项数和为.
由题意知,N>100,令>100n≥14且nN*,即N出现在第13组之后.
第n组的各项和为=2n-1,前n组所有项的和为-n=2n+1-2-n.
设N是第n+1组的第k项,若要使前N项和为2的整数幂,则N-项的和即第n+1组的前k项的和2k-1应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(kN*,n≥14),k=log2(n+3)n最小为29,此时k=5,则N=+5=440.
答案:440
三、解答题
13.(2017·高考全国卷)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:
(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2) a+b≤2.
证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6
=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.
(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,
所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.
14.(2017·高考山东卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.

(1)证明:A1O平面B1CD1;
(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.
证明:(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,
由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱,
所以A1O1OC,A1O1=OC,
因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1OO1C.
又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,
所以A1O平面B1CD1.

(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点,
所以EMBD.
又A1E平面ABCD,BD平面ABCD,
所以A1EBD.
因为B1D1BD,
所以EMB1D1,A1EB1D1.
又A1E,EM平面A1EM,A1E∩EM=E,
所以B1D1⊥平面A1EM.
又B1D1⊂平面B1CD1,
所以平面A1EM⊥平面B1CD1.
15.(2017·高考浙江卷)已知数列{xn}满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN*).
证明:当nN*时,(1)0<xn+1<xn;
(2)2xn+1-xn≤;
(3)≤xn≤.
证明:(1)用数学归纳法证明:xn>0.
当n=1时,x1=1>0.
假设n=k时,xk>0,
那么n=k+1时,
若xk+1≤0,则0<xk=xk+1+ln(1+xk+1)≤0,矛盾,
故xk+1>0.
因此xn>0(nN*).
所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1.
因此0<xn+1<xn(nN*).
(2)由xn=xn+1+ln(1+xn+1)得
xnxn+1-4xn+1+2xn
=x-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1).
记函数f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x≥0),
f′(x)=+ln(1+x)>0(x>0),
函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0,
因此x-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)≥0,
故2xn+1-xn≤(nN*).
(3)因为xn=xn+1+ln(1+xn+1)≤xn+1+xn+1
=2xn+1,
所以xn≥.
由≥2xn+1-xn得-≥2>0,
所以-≥2≥…≥2n-1=2n-2,
故xn≤.
综上,≤xn≤(nN*).









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