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2018届高三数学(理)二轮复习课时作业:第1部分 专题7 第1讲 坐标系与参数方程(选修4-4)

资料类别: 数学/同步

所属版本: 通用

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1.在极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ2=4ρ(cos θ+sin θ)-6.若以极点O为原点,极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.
(1)求圆C的参数方程;
(2)在直角坐标系中,点P(x,y)是圆C上一动点,试求x+y的最大值,并求出此时点P的直角坐标.
解析:(1)因为ρ2=4ρ(cos θ+sin θ)-6,
所以x2+y2=4x+4y-6,
所以x2+y2-4x-4y+6=0,
即(x-2)2+(y-2)2=2为圆C的直角坐标方程.
所以所求的圆C的参数方程为
(θ为参数).
(2)由(1)可得x+y=4+(sin θ+cos θ)=4+2sin.
当θ=,即点P的直角坐标为(3,3)时,
x+y取得最大值,为6.
2.(2017·豫南九校联考)在直角坐标系xOy中,设倾斜角为α的直线l:(t为参数)与曲线C:(θ为参数)相交于不同的两点A,B.
(1)若α=,求线段AB的中点M的坐标;
(2)若|PA|·|PB|=|OP|2,其中P(2,),求直线l的斜率.
解析:(1)将曲线C的参数方程化为普通方程是+y2=1.
当α=时,设点M对应的参数为t0.
直线l的方程为(t为参数),
代入曲线C的普通方程+y2=1,得13t2+56t+48=0,
设直线l上的点A,B对应参数分别为t1,t2.
则t0==-,所以点M的坐标为.
(2)将代入曲线C的普通方程+y2=1,
得(cos2α+4sin2α)t2+(8sin α+4cos α)t+12=0,
因为|PA|·|PB|=|t1t2|=
,|OP|2=7,
所以=7,得tan2α=.
由于Δ=32cos α(2sin α-cos α)>0,
故tan α=.所以直线l的斜率为.
3.在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆,射线θ=与曲线C2交于点D.
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)已知极坐标系中两点A(ρ1,θ0),B,若A、B都在曲线C1上,求+的值.
解析:(1)C1的参数方程为
C1的普通方程为+y2=1.
由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ=2acos θ(a为半径),将D代入,得2=2a×,a=2,圆C2的圆心的直角坐标为(2,0),半径为2,
C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.
(2)曲线C1的极坐标方程为+ρ2sin2θ=1,即ρ2=.
ρ=,
ρ=
=.
+=+=.
4.在直角坐标系xOy中,已知点P(0,),曲线C的参数方程为(φ为参数).以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ=.
(1)判断点P与直线l的位置关系,说明理由;
(2)设直线l与曲线C的两个交点为A、B,求|PA|·|PB|的值.
解析:(1)点P在直线l上.理由如下:
直线l:2ρcos=,即ρcos θ+ρsin θ=,直线l的直角坐标方程为x+y=,点P在直线l上.
(2)直线l的参数方程为
(t为参数),
曲线C的普通方程为+=1.
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程,得32+2=15,
t2+2t-8=0,设两根为t1,t2,
|PA|·|PB|=|t1||t2|=|t1t2|=|-8|=8.













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