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2018届高三数学(理)二轮复习专题集训:专题5 立体几何5.3

资料类别: 数学/同步

所属版本: 通用

所属地区: 全国

上传时间:2018/3/16

下载次数:110次

资料类型:

文档大小:257KB

所属点数: 2

普通下载 VIP下载 【下载此资源需要登录并付出 2 点,如何获得点?
A级
1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,点D在棱BB1上,若BD=3,则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为(  )
A. 	B.
C. 	D.

解析: 如图,可得·=(+)·=·=4×2×=12=5×2×cos θ(θ为与的夹角),
所以cos θ=,sin θ=,tan θ=,又因为BE平面AA1C1C,所以所求角的正切值为.
答案: D
2.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E为AD的中点,现分别沿BE,CE将ABE,DCE翻折,使得点A,D重合于F,此时二面角E­BC­F的余弦值为(  )

A. 	B.
C. 	D.

解析: 如图所示,取BC的中点P,连接EP,FP,由题意得BF=CF=2,
PF⊥BC,又EB=EC,EP⊥BC,EPF为二面角E­BC­F的平面角,而FP==,在EPF中,cosEPF===.
答案: B
3.在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的ABC是以BC为斜边的直角三角形,则实数x的值为________.
解析: 由题意得=(6,-2,-3),
=(x-4,3,-6),
·=(6,-2,-3)·(x-4,3,-6)
=6(x-4)-6+18=0,
解之得x=2.
答案: 2
4.(2017·全国卷)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;
当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;
直线AB与a所成角的最小值为45°;
直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是________.(填写所有正确结论的编号)
解析: 依题意建立如图所示的空间直角坐标系.设等腰直角三角形ABC的直角边长为1.
由题意知点B在平面xOy中形成的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆.
设直线a的方向向量为a=(0,1,0),直线b的方向向量为b=(1,0,0),以Ox轴为始边沿逆时针方向旋转的旋转角为θ,θ[0,2π),则B(cos θ,sin θ,0),
=(cos θ,sin θ,-1),||=.
设直线AB与a所成夹角为α,
则cos α==|sin θ|,

45°≤α≤90°,正确,错误.
设直线AB与b所成夹角为β,
则cos β==|cos θ|.
当直线AB与a的夹角为60°,
即α=60°时,
则|sin θ|=cos α=cos 60°=,
|cos θ|=.cos β=|cos β|=.
0°≤β≤90°,β=60°,即直线AB与b的夹角为60°.
正确.错误.
答案: 

5.(2017·惠州市第三次调研考试)如图,四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面,点P在圆柱OQ的底面圆周上,G是DP的中点,圆柱OQ的底面圆的半径OA=2,侧面积为8π,AOP=120°.
(1)求证:AGBD;
(2)求二面角P­AG­B的平面角的余弦值.
解析: 建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz,

由题意可知8π=2×2π×AD,解得AD=2.
则A(0,0,0),B(0,4,0),D(0,0,2),P(,3,0),
G是DP的中点,
可求得G.
(1)证明:=(0,-4,2),=.
·=·(0,-4,2)=0,
AG⊥BD.
(2)=(,-1,0),=,=,=,
·=0,·=0,
是平面APG的法向量.
设n=(x,y,1)是平面ABG的法向量,
由n·=0,n·=0,
解得n=(-2,0,1),
cos〈,n〉===-.
二面角P­AG­B的平面角的余弦值为.

6.(2017·太原市模拟试题)如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,BE平面ABCD,DFBE,且DF=2BE=2,EF=3.
(1)证明:平面ACF平面BEFD;
(2)若二面角A­EF­C是直二面角,求直线AE与平面ABCD所成角的正切值.
解析: (1)证明:四边形ABCD是菱形,AC⊥BD.
∵BE⊥平面ABCD,BE⊥AC,
BD∩BE=B,
AC⊥平面BEFD,
AC平面ACF,
平面ACF平面BEFD.

(2)设AC与BD的交点为O,由(1)得ACBD,分别以OA,OB为x轴和y轴,过点O作垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz,
BE⊥平面ABCD,BE⊥BD,
DF∥BE,DF⊥BD,
BD2=EF2-(DF-BE)2=8,
BD=2.
设OA=a(a>0),则A(a,0,0),C(-a,0,0),E(0,,1),F(0,-,2),=(0,-2,1),
=(-a,,1),=(a,,1).
设m=(x1,y1,z1)是平面AEF的法向量,
则即,令z1=2,
m=是平面AEF的一个法向量,
设n=(x2,y2,z2),是平面CEF的法向量,
则即令z2=2,
n=是平面CEF的一个法向量,
二面角A­EF­C是直二面角,
m·n=-+9=0,a=.
BE⊥平面ABCD,
BAE是直线AE与平面ABCD所成的角,
AB==2,tan ∠BAE==.
故直线AE与平面ABCD所成角的正切值为.
B级

1.(2017·安徽省两校阶段性测试)已知四棱锥P­ABCD中,底面ABCD是梯形,BCAD,ABAD,且AB=BC=1,AD=2,顶点P在平面ABCD内的射影H在AD上,PAPD.
(1)求证:平面PAB平面PAD;
(2)若直线AC与PD所成角为60°,求二面角A­PC­D的余弦值.
解析: (1)证明:PH⊥平面ABCD,AB平面ABCD,
PH⊥AB.
∵AB⊥AD,AD∩PH=H,AD,PH平面PAD,
AB⊥平面PAD.
又AB平面PAB,平面PAB平面PAD.

(2)以A为原点,建立空间直角坐标系A­xyz,如图,PH⊥平面ABCD,
z轴PH.
则A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),设AH=a,PH=h(00).
则P(0,a,h).
=(0,a,h),=(0,a-2,h),=(1,1,0).
PA⊥PD,·=a(a-2)+h2=0.
AC与PD所成角为60°,
|cos(,)|==,
(a-2)2=h2,(a-2)(a-1)=0,
00,h=1,P(0,1,1).
=(0,1,1),=(1,1,0),=(1,0,-1),=(1,-1,0),设平面APC的法向量为n=(x,y,z),由,
得平面APC的一个法向量为n=(1,-1,1),
设平面DPC的法向量为m=(x,y,z).
由得平面DPC的一个法向量为(1,1,1).
cos〈m,n〉==.
二面角A­PC­D的平面角为钝角,
二面角A­PC­D的余弦值为-.
2.已知长方形ABCD中,AB=1,AD=.现将长方形沿对角线BD折起,使AC=a,得到一个四面体A­BCD,如图所示.

(1)试问:在折叠的过程中,异面直线AB与CD,AD与BC能否垂直?若能垂直,求出相应的a值;若不垂直,请说明理由;
(2)当四面体A­BCD的体积最大时,求二面角A­CD­B的余弦值.
解析: (1)若ABCD,因为ABAD,AD∩CD=D,
所以AB平面ACD,AC平面ACD,所以ABAC.
即AB2+a2=BC2,即12+a2=()2,所以a=1.
若ADBC,因为ADAB,BC∩AB=B,
所以AD平面ABC,所以ADAC.
即AD2+a2=CD2,即()2+a2=12,
所以a2=-1,无解.
故ADBC不成立.
(2)要使四面体A­BCD的体积最大, 
因为BCD的面积为定值,

所以只需三棱锥A­BCD的高最大即可,此时平面ABD平面BCD.
过点A作AOBD于点O,
则AO平面BCD,以O为原点建立空间直角坐标系O­xyz(如图),
则易知A,C,D,
显然,平面BCD的一个法向量为=.
设平面ACD的法向量为n=(x,y,z).
因为=,=,
则即
令y=,得n=(1,,2).
故二面角A­CD­B的余弦值为
|cos〈,n〉|==.













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